材料力学中通常认为应变很小且位移相较于原始尺寸很微小的情况为小变形,在这种情况下通常可以按照结构原始几何构型分析受力情况,并使用原始尺寸表达应变和构建变形协调关系,这两种方法统称为小变形假设^[1-4]。许多学者都对小变形假设产生的相对误差进行了分析。常学平等^[5]分析了拉、压静不定情况下小变形假设背后的力学本质是变形量度基准的选取;尚新春等^[6]介绍了在平面三角桁架结构中原始尺寸原理的适用性,强调了不同材料参数对小变形假设适用范围的影响;邓宗白等^[7]讨论了对称平面桁架结构中采用小变形假设时应变对误差的影响,并对比了对称与非对称结构、静定与非静定结构在误差上的差异;张晓艳等^[8]对拉压超静定结构的变形协调条件做出了进一步的讨论,给出了不同形式下变形协调条件的表达形式。本文从一道利用小变形假设计算平面三角桁架结构节点位移的典型例题出发,着重探讨了杆件的夹角对判断零力杆问题的影响,并进一步指出了结构几何特征与小变形假设的关系。第一部分主要介绍了基本问题并给出了理论推导,第二部分主要展示了具体算例下理论计算与有限元分析的结果,探讨了小变形假设的适用范围,第三部分总结了本文的主要结论,阐释了文章在材料力学教学中的作用和意义。

图1是一个拉压杆件变形部分经典例题,竖直的杆1和与其夹角为$\theta$的杆2铰接于$D$,$B$和$C$是固定铰支座。由杆1和杆2组成的三角桁架结构在铰点$D$受到竖直向下集中载荷$P$的作用。

设杆1的长度为$L_{1}$,两杆的杨氏模量均为$E$,横截面面积均为$A$,变形后$D$点的水平方向位移为$u$,竖直方向位移为$v$。利用原始尺寸原理,可以求得$D$点的竖直位移为

图2给出了小变形假设条件下变形后的结构示意图,$F$为$D$变形后的位置,$DF$与杆2相互垂直,$EF$与杆1相互垂直。根据几何关系,$D$点的水平位移

根据水平位移$u$的表达式,当其他各参数确定时,两杆初始夹角$\theta$越大,则$u$越小。当$\theta$趋近于0$^\circ$时,$u$趋于无限大,如图2(a)所示。此时$F$点向水平方向无限延伸,这显然与客观事实相悖。小变形假设失效,杆2也不再是零力杆。为了进一步探究真实的情况,下面解除小变形假设对结构的变形进行分析。需要注意的是,这里仍然遵循材料力学关于连续性,均匀性和各向同性的基本假设。依旧假设$D$点变形到$F$点,其水平位移为$u$,竖直位移为$v$,$DF$不再与杆2相互垂直,如图3。

设变形后杆1与竖直方向夹角为$\alpha $,杆2与竖直方向夹角为$\beta $。其中

杆2的初始长度为

杆1和杆2的伸长量分别为

根据小变形情况下应变的定义$\varepsilon =\Delta L/L$,将式(3)$\sim$式(7)代入其中并利用胡克定律,有

设$F_{1}$和$F_{2}$分别为杆1和杆2的内力。根据力的平衡关系可以列出方程组

将式(8)和式(9)根据应力的定义$F=\sigma A$代入式(10),此时方程组中的未知量仅为$u$和$v$。利用数值方法解出该方程,即可得到变形后的结构几何构型。

为了对小变形假设的适用情况给出定性和定量的解释,考虑采用图1的模型作为算例并通过有限元仿真和数值计算进行求解。设结构参数为杨氏模量$E =200$ GPa,杆1的长度$L_{1}= 20$ mm,截面面积$A =1$ mm$^{2}$,外载荷$P = 400$ N竖直向下。有限元分析使用商用有限元软件ABAQUS,模型为二维空间的桁架结构,采用二节点二维桁架单元D2T2。结构的应变较小,且位移相对于原始尺寸也很小,一般认为可以使用小变形假设。有限元仿真结果和理论计算结果如下。

在有限元分析中关闭大变形选项。图4给出了小变形条件下节点$D$的水平和竖直位移随夹角$\theta$的变化情况。首先,有限元分析的结果基本落在理论解曲线上,也就是ABAQUS内置的桁架单元在不开启大变形的条件下也遵循原始尺寸原理和"切线代圆弧"的小变形假设。其次,根据式(2),水平位移$u$随夹角$\theta$的变化呈余切关系,当夹角$\theta $趋近于0$^\circ$时,水平位移趋于无穷大,小变形假设失效。此外,竖直位移$v$仅与材料参数、杆1长度和外载荷相关,与夹角$\theta$无关,这一点从图4(b)可以得到印证。

图5展示了杆1和杆2的应力随夹角$\theta$的变化情况。根据小变形假设,杆2是应力为0的零力杆,而外载荷$P$的作用全部由杆1承担,其应力在数值上等于相同杆件单独承受外载荷$P$。

在前面的公式推导中,已给出了$D$点水平位移$u$和竖直位移$v$关于外载荷$P$和夹角$\theta$的方程组关系,利用数值方法解出位移$u$与$v$,绘制出它们随夹角$\theta$的变化,如图6所示。在有限元分析中打开大变形选项,其余与小变形情况下的仿真计算保持完全一致。可以看到,有限元计算和数值解基本吻合。随着夹角$\theta$逐渐增大,水平位移首先迅速增加,在4$^\circ$附近达到峰值,这是由于夹角较小的情况下杆2在一定程度上分担了外载荷$P$的作用,从而需要一定的水平位移来满足力的平衡的需要。而随着夹角$\theta$的继续增加,水平位移逐渐衰减,并且在夹角$\theta$接近90$^\circ$时趋近于0。此时两杆的夹角较大,杆2几乎不再分担外载荷作用。图7也显示了随着夹角逐渐增大,杆1迅速承担大部分外载荷而杆2应力迅速降低至接近0的趋势。另一方面,竖直位移则呈现随着夹角增大而升高随后不变的趋势。为了定量分析杆2的受力情况,考虑杆2应力仅为在杆1完全单独承受外载荷情况下产生应力的10%,则可以得到当夹角大于临界值$\theta _{\rm CR}=7.23^{\circ}$时杆2是近似零力杆的结论;如果将百分比减小到5%,则临界夹角提高到$\theta_{\rm CR}=10.83^{\circ}$。以$\theta _{\rm CR}$为界限,将夹角大于$\theta_{\rm CR}$的大变形结果与小变形结果进行对比,可以看到变化趋势和数值结果都高度一致。

对于如图1所示的三角桁架结构来说,当两杆夹角非常小时,使用小变形假设会使得铰点$D$出现极大的水平位移,这不再符合客观物理规律。在很多材料力学课程中,都仅给出了小变形假设所导致的误差与应变之间的关系,并没有说明对于特殊几何构型下不适用的情况。本文从探究三角桁架结构零力杆问题入手,创新地将夹角$\theta$与"杆2是否可以看作零力杆"这一特征问题联系在一起,帮助学生对小变形假设的条件进行定性理解,同时定量给出了在不同对相对误差的要求下使用小变形假设对夹角$\theta$的要求。

在本例中,小变形假设是原始尺寸原理和"切线代圆弧"共同作用的结果。本文可以补充现有课程中对小变形假设的适用条件,解决了学生对"小变形情况下是否都可以使用小变形假设"这一问题的困扰,具有一定的教学意义。