一种名为“记忆合金发动机”的科学玩具最近火了起来,这种“发动机”能在热水中以较快的速度转动,其装置结构简单,操作方便,且具有很好的观赏性,通常用来做趣味性物理实验给观众带来视觉冲击和激发他们的无限遐想。如图1所示。

但是,为什么这种结构极其简单的装置,可以在水中飞快转动呢?难道真的是有什么超自然的魔力在趋使它转动吗?有人认为,可能是这两个轮子存在蹊跷;也有人认为可能是圈在两个 轮子上的“丝”在发挥作用。当知道是“丝”在发生作用之后,多数人的理解是这根“丝”放在水中因为热胀冷缩而发生转动,这种解释似乎颇有道理,但是却仅仅停留在很浅显的表面现象上。为了揭开“发动机”转动的奥秘,本文从物理学的角度来定量分析到底有哪些因素影响了“发动机”的转动。

“记忆合金发动机”是由两个大小不同的铝制轮子以及一根由镍钛材料做成的记忆合金丝组成,如图2所示是将其拆开之后的结构,图3是其安装好之后的样子。

当把这种科学玩具向观众进行演示时,只需将玩具倾斜一定角度让小轮的部分浸入一定温度的热水中,就可以惊奇地看到小轮带动大轮转动起来;如果玩具是垂直放入热水中,则需要用手轻轻拨动一下轮子才会使其转动。其他情况如大轮浸入,则无论如何倾斜与拨动都无法使其转动。

该玩具所采用的记忆合金丝是由镍和钛组成的二元合金,这种合金受温度和机械压力的改变存在两种不同的晶体结构相,即奥氏体相和马氏体相。当高于一定温度时(本装置中的转变温度为60$^\circ$C),镍钛合金处于母相奥氏体结构状态,其立方晶体的各个阵点和中心各有一个原子,钛原子任意分布在某一阵点上,其他阵点则为镍原子,这是一种无序的晶体结构,如图4所示。但当温度逐渐冷却至60$^\circ$C以下时,晶体结构中的钛原子将回到立方体的中心,从而转变为一种有序的晶体结构,即为马氏体结构,如图5所示。这种从奥氏体向马氏体转变的过程即为马氏体相变。

在马氏体相变及其逆相变过程中会出现类似弹性似的扩大和缩小^[1],这在宏观上就表现为记忆合金丝的伸长与收缩。正是合金丝的这种伸长与收缩为转轴提供了动力矩才使得“发动机”转动起来。下面,从物理学的角度分别对“记忆合金 发动机”小轮垂直放入和倾斜放入热水中时的动力学参数进行定量分析,并定性说明大轮放入热水中不动的原因。

分析“记忆合金发动机”的动力学特征时,把镍钛型形状记忆合金当做弹性材料处理,转动过程视为理想的带传动来构建物理模型。当主动轮部分垂直置于热水中时,没入热水中的记忆合金由马氏体相转变为奥氏体相,从而产生拉力而拉伸合金丝,这个拉力将为主动轮提供动力矩,但是由于轮的左右两边受力$F_{1}=F_{2}$ ($F_{1} $为主动力,$F_{2}$为阻力),合外力矩为零,如图6所示,“发动机”将保持平衡。如果记忆合金丝不处在一个“发动机”的循环中时,记忆合金丝将被拉直如图7所示。

当沿顺时针轻轻拨动传动带时,被拉伸的一部分合金丝${\rm d}l$将离开热水且被拉开一些,而另一边则会有长度同为${\rm d}l$的一段合金进入热水中,但由于传热过程有一定时间间隔,所以,处于奥氏体相的总长度未变,而主动轮的受力不再对称。如图8所示。

$A_{1} B_{1} $为初始时刻的受热部分,$A_{2} B_{2}$为被拨动之后的受热部分。将$B_{1} B_{2}$拿出来单独分析。设主动轮的半径为$R$,记忆合金丝的半径为$r$,$B_{1} B_{2}$的长度为${\rm d}l$,该段弧长所对应的角度为$\theta$,这一段被弯曲的圆弧中存在力偶,如图9(a)所示,现选取$DD'$和$EE'$为上下两个横断面,$CC'$为中性层,当两个横断面比整个${\rm d}l$短很多且形变微小时,记忆合金丝的横截面依然可以看成是平面,只是相对转过${\rm d}\theta$,$DD'$和$EE'$分别发生拉伸形变和压缩形变,由于弹性体是连续的,其形变也是连续的,故中性层$CC'$既不拉伸也不压缩。为计算${\rm d}\theta$这一段的力矩,我们选取该段合金丝的一个横截面如图9(b)所示。

建立$yOz$坐标系,$Oy$轴在中性层内,用$\sigma$表示作用于与$Oy$轴相距$z$处狭条形面积上的应力^[2],则作用于弹性体上的力矩为

形变前后中性层的长度相同,因为$r\ll R$,设$R$为中性层的曲率半径,则形变之后,$EE'$层伸长量为$Rz{\rm d}\theta$,中性层$CC'$的长度仍为$R{\rm d}\theta $,$EE'$的绝对伸长量为$(R+z){\rm d}\theta-R{\rm d}\theta =z{\rm d}\theta$^[2],则其拉伸应变为

$\begin{eqnarray*} \varepsilon =\frac{z{\rm d}\theta }{R{\rm d}\theta }=\frac{z}{R} \end{eqnarray*}$

由胡克定律,相距中性层为$z$处的应力$\sigma =E\varepsilon =Ez/R$ (其中$E$为弹性材料的杨氏模量)将其代入到式(1)得

此即为记忆合金丝因受热而发生马氏体相变之后所产生的动力矩,再由力矩公式$M=RF$得

此$F$即为带传动中的动力,亦即紧边拉力,则$F=F_{1}$为紧边拉力,现在我们将“发动机”的转动过程视为理想的带传动,如图10所示,主动轮半径为$R$,主被动轮轴之间的距离为$O_{1}O_{2} =a$,紧边和松边拉力分别为$F_{1}$和$F_{2}$,主动轮沿顺时针方向以$\omega$的角速度转动。单独分析主动轮的受力情况如图11所示。

在主动轮上取一小段${\rm d}l$,由牛顿第二定律,该${\rm d}l$所受各力的平衡条件为

式中,$F$为有效拉力;${\rm d}\alpha $为${\rm d}l$对应的中心角,rad; ${\rm d}F$为紧边拉力增量,N;${\rm d}F_{\rm N}$为主动轮给传送带的正压力,N;$q$为传送带单位长度的质量,kg/m;$\mu $为传送带与轮之间的摩擦因数。仅保留一阶小量可得

对式(6)从0到$\alpha $积分可得

此即紧边拉力$F_{1} $与松边拉力$F_{2}$之间的关系,根据这个关系可以求出松边拉力

$\begin{eqnarray*} F_{2} =\frac{E\pi r^{4}}{4R^{2}}\cdot \frac{1}{{\rm e}^{\mu \alpha }} \end{eqnarray*}$

又因为有效拉力$F=F_{1} -F_{2} $,所以可得

其中$\mu $由材料本身决定,$\alpha =\pi -({d_{d1} -d_{d2}})/{a}$,$d_{d1}$和$d_{d2}$为主动轮和从动轮的直径,$a$为主动轮和从动轮轴之间的距离,因此包角$\alpha$由“发动机”本身的构造决定,于是可以令$1-{1}/{{\rm e}^{\mu \alpha }}=k$,则有效拉力为

有效力矩则为

所以该有效力矩对主动轮转轴转动所做的功为

由图8可知$\Delta \theta =2\theta $,又由刚体的定轴转动动能定理可得

将主动轮近似视为是圆盘,其质量为$m$,则转动惯量$J=mR^{2}w^{2}/4$,由此可得主动轮转动的角速度为

由此可见,“记忆合金发动机”转动的角速度与记忆合金丝的截面半径的二次方成正比,与主动轮半径的二分之三次方成反比,与合金丝因为受热而被拉伸的长度所对应的圆心角的二分之一次方成正比。此外,由$v=wR$可得主动轮转动的线速度为

进而根据公式$p=Fv$可以求得主动转动的功率为

因此“发动机”的功率$p_{1}$与记忆合金半径$r^{6}$成正比,和主动轮半径$R^{5/2}$成反比。

将“记忆合金发动机”倾斜一定角度放入热水中,“发动机”可以立即转动,同样以前面的思路进行分析,其受力分析如图12所示。

弧$AB$是与热水接触的部分,其对应的圆心角为$\theta$,$OC$为对称轴。当把主动轮与竖直方向成$\beta$角放入热水中时,对称轴的两边明显不对称,对称轴两边角度的差值为${\theta}/{2}+\beta -({\theta }/{2}-\beta )=2\beta $。 由式(10)可知,记忆合金为主动轮所提供的有效转动力矩只与材料本身的杨氏模量$E$、半径$r$以及主动轮的半径$R$有关,故倾斜放入热水中时,其有效转动力矩与垂直放入相等,即

$\begin{eqnarray*} M_{\mbox{有}} =\frac{kE\pi r^{4}}{4R} \end{eqnarray*}$

所以根据刚体的定轴转动定理可得

由此可以得到其角速度、线速度和功率分别为

$\begin{eqnarray*} &&w_{2} =r^{2}\sqrt {\frac{2kE\pi \beta }{mR^{3}}}\\ &&v_{2} =r^{2}\sqrt {\frac{2kE\pi \beta }{mR}}\\ &&p_{2} =\frac{r^{6}}{4}\sqrt {\frac{2k^{3}E^{3}\pi^{3}\beta }{mR^{5}}} \end{eqnarray*}$

所以,由此可以看出,倾斜放入热水中与垂直放入热水中相比,影响其动力参数的是其倾斜角度。

通过前面对小轮作为主动轮的动力学分析,已经知道了记忆合金对“发动机”所提供的有效动力矩为$M_{\mbox{有}} =FR={kE\pi r^{4}}/({4R})$,即“发动机”的有效力矩与发动机主动轮的半径$R$成反比。因此当使用大轮作为主动轮时,有效力矩将减小,摩擦力矩$M_{\mbox{摩}}=Rf$增大,记忆合金丝所提供的动力矩将无法超过阻力矩,故而将大轮作为主动轮放入热水中时,“发动机”总是无法转动。

本文定量分析了科学玩具“记忆合金发动机”的动力学参数。通过弹性体的弯曲原理构建物理模型,计算出了“记忆合金发动机”的有效转动力矩大小;由带传动原理得出了其工作时的角速度、线速度、功率与记忆合金丝的半径$r$、拨动角度$\theta$以及倾斜角度$\beta$成正相关,与主动轮半径$R$成负相关。并分析了一定的有效转动力矩是“发动机”转动的首要条件。