EXAMPLIFICATION OF THE PRINCIPLE OF MINIMUM POTENTIAL ENERGY FOR PLANE PROBLEMS OF STRUCTURAL MECHANICS
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摘要:
最小势能原理作为结构力学的提高部分，很少在该课程中看到关于它的完整介绍。本文以等刚度连续梁为研究对象，在只考虑弯曲变形的情况下，讨论了位移法典型方程的适用条件。在此基础上，分析了势能法和位移法之间的对偶关系。得出：等刚度连续梁在平面载荷与支座反力构成的平衡力系作用下，可能的小位移状态由虚力方程控制。若真实位移还能利用叠加原理进行求解，则可能位移状态下的总势能在真实位移处取极小值。等刚度连续梁弯曲变形的分析验证了最小势能原理，有助于对一般情况下最小势能原理的深刻认识。
Abstract:The principle of minimum potential energy is an advanced part of structural mechanics, whose complete introduction is rarely seen in this subject. This paper discussed the application of canonical equations in displacement method when considering the bending deformation for beam with constant stiffness. On this basis, the dual relationship between the potential energy method and the displacement method was analyzed. It is concluded that under the balanced force composed of in-plane loads and support reactions, the possible small displacement of the beam is controlled by the equation of virtual force. Meanwhile, if the real displacement can also be solved by using the superposition principle, then the total potential energy at the real displacement will be the minimum. The principle of minimum potential energy is thereby examined by the analysis of bending deformation for beam of constant stiffness, which is helpful to understand the principle of minimum potential energy in general.
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最小势能原理作为有限元法的基础，在弹性力学和结构力学的近似计算中均有重要应用。由于弹性力学的研究对象为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等，因此能量法和有限元法是求解弹性力学问题的常用方法。相比之下，由于结构力学只研究杆状结构，并且引用各种近似的计算假设来简化问题，因此对于一些边界条件简单、平衡微分方程能够积分为有限形式的结构力学问题而言，可直接采用静力（动力）法进行求解[1]，并不需要借助能量原理作近似求解。正因为最小势能原理在弹性力学中的地位十分重要，因此有关弹性力学中最小势能原理的证明过程相当严密。相比之下，最小势能原理在结构力学中的体系并不完整[2]，甚至有的结构力学教材并不介绍最小势能原理[1, 3]。客观地讲，由于结构力学所涉及的问题具有多样性，加之最小势能原理求近似解的简便性，因此在结构力学中阐述最小势能原理很有必要。本文在教材[4]以平面问题为例证明势能原理的基础上，将研究对象由刚架换为连续梁，补充说明了位移法解的结构对成立最小势能原理的重要性，以及平衡问题有初应变时的势能法和位移法之间的对偶关系，有助于认识最小势能原理在结构力学中蕴含的机理。
1. 位移法典型方程的适用条件
1.1 物理方程
在结构力学中，物理方程用于描述材料的应力–应变关系。采用位移法计算时，材料的应力–应变关系必须是线性的，并且结构在卸载时的变形特性与加载时的变形特性相同。
1.2 几何方程
几何方程用于描述可能位移和可能应变之间的关系。采用位移法计算时，可能位移与可能应变之间的关系由虚力方程控制。当只考虑结构的弯曲变形时，虚力方程为
$$ {\varPhi _i} = \sum {\int_A^B {\overline M } } \kappa \text{d}{s} - \sum {\overline {{F_{\text{Rk}}}} } {C_\text k} = 0\quad (i = 1,2, \cdots \;,a) $$ (1) 式中，${\varPhi _i}$为原结构与约束$i$之间的相对位移；$ \overline M $是由单位约束力产生的内力；$\kappa $为可能应变，其由载荷、温度变化和支座移动共同引起；${C_\text k}$为给定的支座位移；$\overline {{F_{{{\rm{R}}}\text{k}}}}$是由单位约束力引起的相应于${C_\text k}$处的支座反力。
1.3 平衡方程
平衡方程用于描述可能外力和可能内力之间的关系。采用位移法计算时，可能外力和可能内力之间的关系由虚位移方程控制。当只考虑结构的弯曲变形时，虚位移方程为
$$ {F_j} = \sum \mathop \int \nolimits_A^B M\bar \kappa {\text{d}}s - \sum {F_{\text{P}}}\bar D= 0\;( {j = 1,2, \cdots ,b} ) $$ (2) 式中，${F_j}$为节点$j$处的总约束力；$M$为可能内力，其由载荷、温度变化和支座移动共同引起；$\bar \kappa $是由单位节点位移产生的应变；${F_{\text{P}}}$为载荷；$\bar D$是由单位节点位移引起的相应于${F_{\text{P}}}$处的位移。
1.4 真实状态
联立物理、几何和平衡方程，就可描述结构的真实状态。采用位移法计算时，结构的真实内力和位移可利用叠加原理得到。这里需指出，叠加原理只适用于线性弹性结构的小位移平衡问题[5]。下面以图1所示的平面问题为例，说明利用叠加原理建立位移法典型方程的过程。已知连续梁的截面抗弯刚度沿跨度不变，而剪切及轴向刚度对变形的影响可以忽略。
基本未知量的选取如下。取节点角位移${\theta _B}$和${\theta _C}$作为基本未知量。虽然支座$A$和$D$有角位移，但是为了简化计算可不将它们选做基本未知量。
基本结构在载荷作用下的计算如图2所示。
基本结构在温度变化下的计算如图3所示。
基本结构在单位${\theta _B}$和${\theta _C}$作用下的计算如图4和图5所示。
基本结构在单位支座移动下的计算如图6所示。
假定结构的物理方程是线性弹性的，并且位移是微小的，那么载荷、温度变化、支座移动及节点位移在附加约束中产生的总约束力${F_B}$，${F_C}$和${F_D}$，可表示为
$$\begin{array}{l} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_B}}\\ {{F_C}}\\ {{F_D}} \end{array}} \right] = EI\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.7}&{0.2}&0\\ {0.2}&{0.7}&{ - 0.03}\\ 0&{ - 0.03}&{0.003} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _B}}\\ {{\theta _C}}\\ {{\Delta _D}} \end{array}} \right] + \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {{F_{RD}}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.5}\\ { - 0.5}\\ { - 0.15} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \dfrac{{0.5EI\alpha \Delta t}}{h}}\\ {\dfrac{{0.5EI\alpha \Delta t}}{h}}\\ { - \dfrac{{0.15EI\alpha \Delta t}}{h}} \end{array}} \right]\; = 0 \end{array}$$ (3) 式中，${F_{{\text{R}}D}}$为$D$处的支座反力，$EI$为截面抗弯刚度，$h$为梁的横截面高度，$\alpha $为线膨胀系数。
通过以上例子，可归纳总结出如下的位移法典型方程
$$ \begin{split} &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{\delta _{11}}}&{{\delta _{12}}} \\ {{\delta _{21}}}&{{\delta _{22}}} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} \cdots &{{\delta _{1m}}} \\ \cdots &{{\delta _{2m}}} \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} \vdots & \vdots \\ {{\delta _{m1}}}&{{\delta _{m2}}} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}& \vdots \\ \cdots &{{\delta _{mm}}} \end{array}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varDelta _1}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varDelta _2}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} \vdots \\ {{\varDelta _m}} \end{array}} \end{array}} \end{array}} \right] + \\ &\qquad \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_{1{{\rm{P}}}}}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_{2{{\rm{P}}}}}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} \vdots \\ {{F_{m{{\rm{P}}}}}} \end{array}} \end{array}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_{1{{\rm{T}}}}}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_{2{{\rm{T}}}}}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} \vdots \\ {{F_{m{{\rm{T}}}}}} \end{array}} \end{array}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_{{\text{R}}2}}} \\ \vdots \\ {{F_{{\text{R}}m}}} \end{array}} \end{array}} \right] = {\boldsymbol{0}}\end{split}$$ (4) 式中，${\varDelta }_{i}\left( i=1,2,\cdots ,m\right)$是独立的节点位移；${F_{i{\text{P}}}}$，${F_{i{\text{T}}}}$，${F_{{\text{R}}i}}$分别是由载荷、温度变化、支座移动引起的相应于${{{\varDelta }}_i}$处的约束力；${\delta _{ij}}\left( {i,j = 1,2, \cdots ,m} \right)$为刚度系数。
1.5 位移法解的结构
对于等刚度连续梁而言，式（4）中的刚度系数可改写为
$$ {\delta _{ij}} = EI\mathop \int \nolimits_0^l {\overline v _i}^{''}{\overline v _j}^{''}{\text{d}}s\quad \left( {i,j = 1,2, \cdots ,m} \right) $$ (5) 式中，${\overline v _i}$为基本结构由单位位移${{{\varDelta }}_i} = 1$引起的挠度。
设${\boldsymbol{\delta}}$为式（4）中的系数矩阵，再令$ {\kappa _i} = {\overline v _i}^{''} $，则${\boldsymbol{\delta}}$的各阶顺序主子式为
$$ \begin{split}& {\left|{\boldsymbol{ \delta}} \right|_n}\left( {n = 1,2, \cdots ,m} \right) = {\left( {EI} \right)^n}\int \int \cdots \int {\kappa _1}\left( {{s_1}} \right){\kappa _2}\left( {{s_2}} \right) \cdots \\ &\qquad {\kappa _n} \left( {{s_n}} \right)\Bigg[ {\mathop \sum \limits_{{j_1}{j_2} \cdots {j_n}} {{\left( { - 1} \right)}^{N\left( {{j_1}{j_2} \cdots {j_n}} \right)}}{\kappa _{{j_1}}}\left( {{s_1}} \right){\kappa _{{j_2}}} \left( {{s_2}} \right) \cdots } \\ &\qquad {\rm{ }} {{\kappa _{{j_n}}}\left( {{s_n}} \right)} \Bigg]{\rm{d}}{{\varOmega}} {\rm{ }} \\[-11pt] \end{split} $$ (6) 式中，${{\varOmega }}:0\leqslant {s}_{1}\leqslant l;0\leqslant {s}_{2}\leqslant l;\cdots ;0\leqslant {s}_{n}\leqslant l$。
由于${{\varOmega}}$ 关于${s_i}$($i = 1,2, \cdots ,n$)具有轮换对称性，故对于全排列中的任意一项“${\kappa _{{j_1}}},{\kappa _{{j_2}}}, \cdots ,{\kappa _{{j_n}}}$”，都有
$$ \begin{split} &{\left| {\boldsymbol{\delta}} \right|_n}\left( {n = 1,2, \cdots ,m} \right) = {\left( {EI} \right)^n}\int \int \cdots \int {\left( { - 1} \right)^{N\left( {{j_1}{j_2} \cdots {j_n}} \right)}} \cdot \\ &\qquad {\kappa _{{j_1}}} \left( {{s_1}} \right) {\kappa _{{j_2}}} \left( {{s_2}} \right) \cdots {\kappa _{{j_n}}}\left( {{s_n}} \right) \Bigg[ {\mathop \sum \limits_{{j_1}{j_2} \cdots {j_n}} {{\left( { - 1} \right)}^{N\left( {{j_1}{j_2} \cdots {j_n}} \right)}}} \cdot \\ &\qquad {{\kappa _{{j_1}}}\left( {{s_1}} \right){\kappa _{{j_2}}}\left( {{s_2}} \right) \cdots {\kappa _{{j_n}}}\left( {{s_n}} \right)} \Bigg]{\rm{d}}{{\varOmega}} \\[-11pt] \end{split}$$ (7) 又因为“${\kappa _1},{\kappa _2}, \cdots ,{\kappa _n}$”的全排列共有$n!$项，所以
$$\begin{split} &{\left| {\boldsymbol{\delta }} \right|_n}\left( {n = 1,2, \cdots ,m} \right) = \frac{{{{\left( {EI} \right)}^n}}}{{n!}}\int \int \cdots \int \\&\qquad \Bigg[ {\mathop \sum \limits_{{j_1}{j_2} \cdots {j_n}} {{\left( { - 1} \right)}^{N\left( {{j_1}{j_2} \cdots {j_n}} \right)}}{\kappa _{{j_1}}}\left( {{s_1}} \right){\kappa _{{j_2}}}\left( {{s_2}} \right) \cdots } \\&\qquad { {{\kappa _{{j_n}}}\left( {{s_n}} \right)} \Bigg]^2}{\rm{d}}{\varOmega} = \frac{{{{\left( {EI} \right)}^n}}}{{n!}}\int \int \cdots \int \\&\qquad {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{\kappa _1}\left( {{s_1}} \right)}&{{\kappa _1}\left( {{s_2}} \right)}\\ {{\kappa _2}\left( {{s_1}} \right)}&{{\kappa _2}\left( {{s_2}} \right)} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} \cdots &{{\kappa _1}\left( {{s_n}} \right)}\\ \cdots &{{\kappa _2}\left( {{s_n}} \right)} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} \vdots & \vdots \\ {{\kappa _n}\left( {{s_1}} \right)}&{{\kappa _n}\left( {{s_2}} \right)} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}& \vdots \\ \cdots &{{\kappa _n}\left( {{s_n}} \right)} \end{array}} \end{array}} \right|^2}{\rm{d}}{{\varOmega}} \end{split} $$ (8) 在式（8）中，由于$ {\kappa _i} (s)\left( {i = 1,2, \cdots ,n} \right) $是相互独立的，因此至少存在一点${s_0}$，使得式（8）中的被积函数不为零。又因为${\kappa _i} = \bar v_i^{''}(s) $的线性组合在$ \left[0，l\right] $上是几何可能的，因此还存在${s_0}$的某一去心邻域${{U}}\left( {{{{s}}_0},{{ }}\delta } \right)$，使得式（8）中的被积函数不为零。又因为式（8）中的被积函数非负，所以
$$ {\left| {\boldsymbol{\delta}} \right|_n}> 0\quad \left( {n = 1,2, \cdots ,m} \right) $$ (9) 综上所述，位移法典型方程的系数矩阵正定，且位移法有唯一解。
2. 位移法和势能法的对偶关系
在结构力学中，联立物理、几何和平衡方程然后解之的过程也被称为静力法，而位移法是静力法求解某些平衡问题的一个特例。采用位移法计算时，由于结构的可能状态用虚功方程来概括，因此其上的载荷和支座反力构成平面平衡力系，并且位移是微小的。又因为结构在载荷作用下的内力和位移可利用叠加原理得到，因此其物理方程还必须是线性弹性的。下面通过对势能泛函的变分分析导出等刚度连续梁只考虑弯曲变形时的位移法典型方程，并证明在所有的几何可能位移中，真实位移使结构的总势能取极小值。
2.1 势能驻值原理
假定物理方程是线性弹性的，并且结构的位移是微小的，那么等刚度连续梁由载荷产生的弯曲应变能表达式为
$$ {V_{{\varepsilon }}} = \frac{1}{2}EI\mathop \int \nolimits_0^l {(v_\text e^{''})^2}{\text{d}}s{\text{ }} $$ (10) 式中，${v_{\text{e}}}$是由载荷引起的挠度。
在叠加原理成立的情况下，${v_{\text{e}}}$可改写为
$$ {v_{\text{e}}} = \mathop \sum \limits_{i = 1}^q ({\varDelta _i} - \varDelta _i^{\text{T}} - \varDelta _i^{\text{C}})\overline {{v_i}} + {v_\text p}{\text{ }} $$ (11) 式中，$ {\varDelta }_{i}^{\text{T}}$是由温度变化引起的相应于${\Delta _i}$处的位移；$\varDelta _i^{\text{C}}$是由支座移动引起的相应于${\varDelta _i}$处的位移；${v_\text p}$为基本结构由载荷引起的挠度。
由虚功方程可知
$$ EI{{\displaystyle \int }}_{ 0}^{l}{\overline{v}}_{i}{}''{v}_{{\rm{p}}}'' \text{d}s=0 \,\, \left(i=1,2,\cdots ,q\right)\text{ } $$ (12) 联立式（10）~式（12）得
$$\begin{split} &{V_\varepsilon } = \frac{1}{2}\left[{\mathop \sum \limits_{i = 1}^q \mathop \sum \limits_{j = 1}^q {\delta _{ij}}({\varDelta _i} - \varDelta _i^{\rm{T}} - \varDelta _i^{\rm{C}})({\varDelta _j} - \varDelta _j^{\rm{T}} - \varDelta _j^{\rm{C}})} \right.{\rm{ }} + \\&\qquad \left. { EI\mathop \int \nolimits_0^l {{(v_{\rm{p}}^{''})}^2}{\rm{d}}s} \right] \\[-15pt] \end{split}$$ (13) 而外载荷所对应的弹性势能为
$$ \begin{split} & {V_{\rm{P}}} = - \sum {{F_{\rm{P}}}} D = - \Bigg[ {\sum\limits_{i = 1}^q {{F_{i{\rm{P}}}}} \left( {{\varDelta _i} - } \right.} \\& \qquad {\left. {\varDelta _i^{\rm{T}} - \varDelta _i^{\rm{C}}} \right)+\sum {{F_{\rm{P}}}} {D_{\rm{P}}}} \Bigg] \end{split} $$ (14) 式中，$D$是原结构中与${F_{\text{p}}}$对应的位移；${D_{\text{P}}}$是基本结构中与${F_{\text{p}}}$对应的位移。
于是原结构在几何可能位移状态下的总势能为
$$ {E}_{\text{P}}={V}_{\varepsilon }+{V}_{\text{P}} $$ (15) 假设真实位移$D$所对应的总势能已由式（15）给出，则$\left( {D + {\text{d}}D} \right)$处的势能可利用泰勒公式展开为
$$ \begin{split} &{E_{\rm{P}}}\left( {D + {\rm{d}}D} \right) = E_{\rm{p}}\left( D \right) + \left[ {\mathop \sum \limits_{i = 1}^q \mathop \sum \limits_{j = 1}^q {\delta _{ij}}({\varDelta _j} - \varDelta _j^{\rm{T}} - \varDelta _j^{\rm{C}})} \right. \cdot \\&\qquad \left. {\left( {{\rm{d}}{\varDelta _i}} \right) - \mathop \sum \limits_{i = 1}^q {F_{i{\rm{P}}}}\left( {{\rm{d}}{\varDelta _i}} \right)} \right] + \Bigg[{EI\mathop \int \nolimits_0^l v_\text{p}^{''}\left( {{\rm{d}}v_\text{p}^{''}} \right){\rm{d}}s - } \\&\qquad {\sum {F_{\rm{P}}}\left( {{\rm{d}}{D_{\rm{P}}}} \right)} \Bigg] + \frac{1}{2}\Bigg[ {EI\mathop \int \nolimits_0^l {{\left( {{\rm{d}}v_\text{p}^{''}} \right)}^2}{\rm{d}}s + } \\&\qquad {\mathop \sum \limits_{i = 1}^q \mathop \sum \limits_{j = 1}^q {\delta _{ij}}\left( {{\rm{d}}{\varDelta _i}} \right)({\rm{d}}{\varDelta _j})} \Bigg]{\rm{ }}\\[-20pt] \end{split}$$ (16) 根据虚功原理有
$$E I \int_0^l v_{\mathrm{p}}^{\prime \prime}\left(\mathrm{d} v_{\mathrm{p}}^{\prime \prime}\right) \mathrm{d} s-\sum F_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{d} D_{\mathrm{p}}\right)=0 $$ (17) 于是势能泛函在真实位移处的一阶变分为
$${\rm{d}}{E_{\rm{P}}} = \mathop \sum \limits_{i = 1}^q \mathop \sum \limits_{j = 1}^q {\delta _{ij}}({\varDelta _j} - \varDelta _j^{\rm{T}} - \varDelta _j^{\rm{C}})\left( {{\rm{d}}{\varDelta _i}} \right) - \mathop \sum \limits_{i = 1}^q {F_{i{\rm{P}}}}\left( {{\rm{d}}{\varDelta _i}} \right){\rm{ }}$$ (18) 当${\text{d}}{E_{\text{P}}} = 0$时，由于dΔi(i=1, 2, ···, q)具有任意性，所以
$$ \begin{split} & \left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{\delta }_{11}& {\delta }_{12}\\{\delta }_{21}& {\delta }_{22}\end{array}& \begin{array}{cc} \cdots & {\delta }_{1q}\\ \cdots & {\delta }_{2q}\end{array}\\\begin{array}{cc}& \vdots \\{\delta }_{n1}& {\delta }_{n2}\end{array}& \begin{array}{cc}& \vdots \\ \cdots & {\delta }_{nq}\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\varDelta }_{1}-{\varDelta }_{1}^\text{T}-{\varDelta }_{1}^\text{C}\\{\varDelta }_{2}-{\varDelta }_{2}^\text{T}-{\varDelta }_{2}^\text{C}\\ \vdots \\{\varDelta }_{q}-{\varDelta }_{q}^\text{T}-{\varDelta }_{q}^\text{C}\end{array}\right]-\\ &\qquad \left[\begin{array}{c}{F}_{1\text{P}}\\\begin{array}{c}{F}_{2\text{P}}\\\begin{array}{c} \vdots \\{F}_{q\text{P}}\end{array}\end{array}\end{array}\right]={\bf{0}} \\[-20pt] \end{split}$$ (19) 式（19）即为位移法典型方程，但与式（4）有所不同，${C_\text{k}}$处的支座反力并不能直接由式（19）得到。
通过以上讨论可知：在所有几何可能位移中，真实位移使结构的总势能取驻值。
2.2 最小势能原理
由式（16）可知，势能泛函在真实位移处的二阶变分为
$$ \begin{split} &{{\rm{d}}^2}{E_{\rm{P}}} = \frac{1}{2}EI\mathop \int \nolimits_0^l {\left( {{\rm{d}}v_\rm{p}^{''}} \right)^2}{\rm{d}}s + \\&\qquad \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{d}}{{{\varDelta }}_1}}& {{\rm{d}}{{{\varDelta }}_2}}& \cdots &{{\rm{d}}{{{\varDelta }}_q}} \end{array}} \right] \cdot \\&\qquad \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{\delta _{11}}}&{{\delta _{12}}}\\ {{\delta _{21}}}&{{\delta _{22}}} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} \cdots &{{\delta _{1q}}}\\ \cdots &{{\delta _{2q}}} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} \vdots & \vdots \\ {{\delta _{q1}}}&{{\delta _{q2}}} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}& \vdots \\ \cdots &{{\delta _{qq}}} \end{array}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{d}}{{{\varDelta }}_1}}\\ {{\rm{d}}{{{\varDelta }}_2}} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} \vdots \\ {{\rm{d}}{{{\varDelta }}_q}} \end{array}} \end{array}} \right]{\rm{ }} \end{split} $$ (20) 因为${\rm{d}}D \ne 0 $，而系数矩阵$\delta $正定，所以
$$ {{\text{d}}^2}{E_{\text{P}}} > 0{\text{ }} $$ (21) 通过以上讨论可知：在所有几何可能位移中，真实位移不仅使总势能取驻值，而且使总势能取极小值。此外由式（19）可以看出：虽然结构由于支座移动和温度变化可能会产生内力，但这种情况下的内力由多余约束引起，因此结构的内力状态始终由载荷与支座反力决定。综上所述，等刚度连续梁在平面载荷与支座反力构成的平衡力系作用下，可能的小位移状态由虚力方程控制，如果真实位移还能利用叠加原理进行求解，那么可能位移状态下的总势能在真实位移处取极小值。
3. 总结
为便于理解最小势能原理在结构力学中蕴含的机理，本文以等刚度连续梁为研究对象，在只考虑弯曲变形的情况下，讨论了位移法典型方程的适用条件。在此基础上，分析了势能法与位移法之间的对偶关系。主要结论如下。
（1）位移法典型方程只适用于线性弹性结构的小位移平衡问题有唯一解的情况，并且要求结构受平面载荷与支座反力构成的平衡力系作用。
（2）等刚度连续梁在平面载荷与支座反力构成的平衡力系作用下，可能的小位移状态由虚力方程控制，如果真实位移还能利用叠加原理进行求解，那么可能位移状态下的总势能在真实位移处取极小值。
（3）通过分析等刚度连续梁的弯曲变形，虽然从局部的视角解释和验证了最小势能原理，但同一般情况下的最小势能原理具有相同的实质，有助于对最小势能原理的深刻认识。
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