饼干是常见的烘焙食品之一，因其货架期长、口味多样、质地多样、消费范围广等吸引人的特点而占据着市场显著地位。如今，饼干生产已经从劳动密集型的手工业发展到高度机械化的程度。饼干面团的成型是饼干生产的重要环节，其方法包括辊压、冲印、挤条成型等。软面团或含有巧克力片或坚果的面团越来越受到消费者的欢迎，它们必须通过挤压（结合线切割）而不是模压成型，常用于制作高品质的饼干产品。饼干面团的挤压成型在机器展向存在重量分布不均的问题，虽然通过引入隔板来限制过流面积可对挤出流量进行调节，但隔板的进给量、辊子转速的设置依然需要经验或是大量调试确定^[1]。

面团是具备非牛顿特性的复杂流体，对面包面团挤出所开展的研究较多。Sofou等^[2]对室温下的面包面团进行了流变性表征，发现当时间效应不显著时，可以使用Herschel–Bulkley 黏塑性模型描述该面团。面包面团水平辊压过程的实验与有限元模拟结果表明，面团挤出过程表现出明显的壁面滑移，需确定适当的滑移规律^[3-4]。不同于面包面团，饼干的制备原料采用短筋面团，具有较强黏性但缺乏延展性和弹性。在屈服范围内，面团的应变呈现出黏弹性；在大变形和超过屈服值时，由于缺乏连续的蛋白质相网络，面团表现为黏塑性^[5]。Peck等^[6]开发了饼干面团水平辊压的模型并与实验对照，发现基于幂律模型及Levine润滑假设的面团流变学建模给出了偏低的力学预测。如果将数据拟合到 Levine模型，表观幂律流变学建模可预测饼干面团水平压片过程。Chakrabarti-Bell等^[7]使用Abaqus模拟了面团压片过程，预测的面团厚度与实验数据非常吻合；对无酵面团的挤压建模表明，非线性黏弹性模型与Mullins模型结合可以很好地捕捉连续体的流变特性^[8]。Padilla等^[9]采用ANSYS数值模拟了所设计的四孔道活塞挤出机，以避免较大的流动死区。周克^[10]基于Polyflow仿真平台对单螺杆挤压工艺进行数值研究，发现转速对各参数正相关。

饼干面团双辊挤压成型过程中，壁面的滑移效应不可忽视。文献^{[2-4, 11-12]}研究发现，滑移的存在会使挤出压力、辊分离力和输入功率等操作参数减小。张迅等^[13]在研究同向啮合三螺杆挤出机混合性能时考虑滑移效应的影响，发现滑移边界条件对数值模拟的结果影响很大。Malik等^[14]研究了压力对双螺杆挤出机壁面滑移的影响，发现机筒表面的滑移相较螺杆表面具有更显著的影响，滑移系数是压力相关的函数。Lewandowski等^[15]基于Polyflow对单螺杆挤出过程中具有滑移效应的聚合物熔体流动进行了有限元模拟，发现在正压力梯度范围内，滑移会降低螺杆的泵送能力。

本文对饼干面团的挤压成型过程进行数值研究，研究展向存在的重量分布不均规律。基于Polyflow平台，构建非牛顿流动模型，着重考虑双辊挤压时的壁面滑移特性。通过对预测的挤出流量与实验数据相比较，验证数值模型的有效性。

1.   饼干面团双辊挤压成型的问题描述

图1为双辊面团挤出机的结构简图，从上至下依次为进料斗、一对旋转方向相反的柱状圆辊、压力室、模具。挤出机通常位于烤箱带上方，依靠双辊的持续转动，面团被不断地挤压出模具，被张紧的钢丝或刀片切断，形成的面团薄片落在皮带或传送带上，送至烤箱烤制成型。

图  1  双辊面团挤出机

Figure  1.  Dough extruder with double rollers

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双辊面团挤出机的优点是在流程上能连续生产，即面团通过辊子的转速来实现面团重量调节，且能在展向增加挤出压力室出口的数量来提高生产效率。小型挤出机的压力室有数个出口，大型产线则可达数十个甚至更多。压力室的设置有助于面团在腔室流道的均匀流动，但双辊挤压成型方法存在着机器展向面团重量分布不均的问题，即机器宽度范围内挤压速率的差异−两侧的重量往往比中间轻。面团块的重量差异会显著影响面团后续的烘焙制作。为解决该问题，通常采用在压力室内引入隔板，通过限制面团在模具中的过流截面面积来调整各孔道的面团挤出流量。隔板的进给位置通常依靠经验在生产时实时调节，既浪费时间又浪费物料。然而，不同批次面团的性质、面团的堆积高度等都会影响面团的挤压速率；并且，在短时间内获得各个孔道挤出的面团重量也相当困难^[1]。因此，获得精确的面团成型孔道分布模型对饼干的标准化生产有重要意义。

2.   数值模型

2.1   面团流体的控制方程

将面团视为连续介质，考虑面团为非牛顿流体，则面团经过辊子挤压流动的质量和动量守恒方程为

式中$ \;\rho $为密度，$ t $是时间，${\boldsymbol{u}}$是速度矢量，$ {f_{\text{b}}} $是单位质量的体积力, $ p $是压力，$ \mu $是动力黏度。

2.2   黏度模型

饼干面团是固液糊状物，具有复杂的流变性。低筋饼干面团具有假塑性流体特征即剪切变稀的流体特性。由于挤压过程中线速度不大，剪切速率导致的黏度改变并不剧烈，选择应用广泛的Bird-Carreau黏度模型^[6]

式中$ \mu $为黏度，$ {\mu _0} $为零剪切黏度，$ \lambda $为松弛时间，$ \dot \gamma $为剪切率，n为非牛顿指数。其中$ {\mu _0} $，$ \lambda $和n分别取值10000 Pa·s^[16]，1.5 s^[17]，0.7^[18]。

2.3   滑移边界条件

面团挤出作业一段时间后，辊子沟槽填充了大量面团物料，如图2所示。此时，双辊挤压成型的表面是由辊子齿间与沟槽面团构成的复合接触面（图2(b)），导致两辊间面团产生明显的滑移。滑移对辊压挤出有重要影响，单纯设置无滑移条件无法描述实际的流动现象。此处采用广义纳维线性定律描述滑移效应^[13-14,19]

图  2  挤压成型过程的辊子表面特征

Figure  2.  Roller surface characteristics in extrusion process

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式中$ {\tau _s} $为壁面切向滑移力，$ \beta $为滑移系数，$ {u_w} $为壁面的切向速度，$ {u_t} $为流体的切向速度。当$ \beta = 0 $时，完全滑移；当$ \beta = \infty $时，无滑移。滑移系数越大，面团与壁面间的摩擦力越大。滑移长度与物料性质、辊子结构（特别是沟槽的尺寸）、壁面粗糙度相关，目前尚无法直接确定饼干面团挤出过程的辊子表面滑移系数值，因此对滑移系数的表征是获得该过程滑移特性的核心。

2.4   计算设置

计算模型为小规模生产所用的有5个压力腔出口的小型挤出机。采用四面体网格将模型离散化，网格最大尺寸为5 mm，如图3所示。面团密度为1150 kg/m³，认为初始时刻进料斗充满面团原料。双辊以相反方向向下挤压面团。

图  3  五孔面团挤出模型网格划分

Figure  3.  Mesh generation of the dough extrusion model with five outlets

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本文基于Polyflow仿真平台进行数值模拟。Polyflow具有网格重置技术，适合转动流场的模拟。它专门用于黏弹性材料模拟，适用于塑料、树脂等高分子材料的挤出成型、吹塑成型、拉丝、层流混合、涂层过程中的流动及传热和化学反应问题。

3.   结果与讨论

3.1   面团挤出过程分析

选取辊子转速n = 0.625 r/min的工况，对挤出通道的剪切力、压力和速度云图进行分析。如图4(a)所示，沿辊子周围的面团受到剪切力较为明显；如图4(b)所示，压力腔的边缘位置对面团的剪切力较大。图5所示为面团挤出过程中所受压力分布，根据云图显示，面团在压力腔的入口位置及通道的中间位置所受压力较大，到通道后半段，由于出口处面团的不断挤出，压力变小。图6所示为面团挤出过程中的速度分布，在辊子周边，由于辊子的转动，面团的速度较大，同时由于辊子带动，在上方料斗中的面团也以较小的速度运动。面团的最大速度出现在两个辊子中间位置，即压力腔的入口位置，此处由于辊子挤压效果最明显，面团速度较大。

图  4  面团挤出通道的剪切率分布

Figure  4.  Shear rate distribution of the dough extrusion channel

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图  5  面团挤出通道的压力分布

Figure  5.  Pressure distribution of the dough extrusion channel

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图  6  面团挤出通道的速度分布

Figure  6.  Velocity distribution of the dough extrusion channel

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3.2   滑移系数的确定

滑移系数的取值目前没有具体的参考和经验值。选取辊子转速分别为0.625 r/min，1.5 r/min，2.4 r/min，3.64 r/min，4.55 r/min，6.135 r/min，并且Polyflow软件模拟的滑移系数值相应地分别设置为500，1200，1650，2300，3200，4300。图7给出了辊子转速与出口平均质量流量的关系。出口平均质量流量为挤出机稳定工作时五孔道的出口质量流量平均值。辊子转速相同情况下，实验和模拟的出口平均速度基本吻合（平均偏差为0.61%），且随着辊子转速的增加，出口平均速度也相应地线性增大。图8给出了滑移系数β随辊子转速n的变化关系。辊子转速越大，滑移系数也越大。采用线性方程拟合两者之间的函数关系得

图  7  辊子转速和出口平均质量流量的关系

Figure  7.  Relationship between roller speed and average mass flow of the outlets

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可以看到，滑移系数与辊子转速成正比，即与辊子表面线速度成正比。又有研究表明滑移系数与表面压力成正比^[14]，因此壁面表面压力与速度成正相关，与图5和图6的结果一致。

图  8  辊子转速和滑移系数的关系

Figure  8.  Relationship between roller speed and slip coefficient

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3.3   展向流量不均匀性分析

采用式（5）给出的模型，模拟获得了不同辊子转速时的五孔道挤出质量流量分布，并与实验数据对比。如图9所示，为n = 1.5 r/min和2.4 r/min时的五孔道出口质量流量分布曲线，以及模拟结果基于实验数据的相对误差。总体而言，实验与模拟结果相差不大，并且两者都显示中间孔道的挤出流量更大，而靠近侧边孔道的流量较小，这与Manley^[1]研究结果一致。模拟所得的流量不均匀性更明显，即中间孔道的流量较实验更大，而两边的孔道流量较实验更小，这可能是由于压力室壁面的滑移特性与辊子表面存在差异^[14]。

图  9  五孔道出口质量流量分布

Figure  9.  Mass flow distribution of five orifice outlets

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基于实验结果比较不同转速下的数值预测结果，发现相对误差均可以控制在±5%范围内，满足工程应用要求。并且，五孔道的相对误差呈现相同的分布，相对误差大小似乎不受转速改变的影响，即模型的预测精度不会随转速的增加而降低。但是，实验与模拟均未能给出较好的展向分布对称性，可能来自油脂的影响^[20]及面团密度的非均一、老化等因素^[6]。式（5）给出的模型较为简单，精确的预估模型需进一步考虑这些因素的影响。

4.   结论

本文主要探究了在双辊挤压条件下，饼干面团通过五孔道时出口流量的分析，采用Polyflow仿真软件，基于滑移边界条件和选取的黏度模型进行了数值模拟计算，结论如下。（1）挤压过程中，辊子周边的面团受到剪切力明显，面团在压力室的附近受剪切力较大。面团在压力室的入口位置及通道的中间位置受压力较大，到通道后半段，由于出口处面团的不断挤出，压力变小。面团的最大速度出现在两个辊子中间位置，即压力室的入口位置。（2）在相同的辊子转速下，通过对比实验和模拟的出口流量，确定了辊子转速和滑移系数的线性关系。该模型对五孔道面团挤出流量的预测误差在±5%范围内，满足工程应用要求，且模型的预测精度不会随转速的增加而降低。（3）在两个不同辊子转速下，孔道面团展向流量表现出不均匀性，可能是压力室表面滑移、油脂流失或者面团密度非均一、老化的影响。本研究不仅对饼干的标准化生产提供技术指导，还可对3D食品打印等技术提供理论依据。