A NOTE ON THE METHOD OF MODE SYNTHESIS
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摘要:
本文以两端固定直角梁为例，探讨模态综合法应用于计算高阶固有频率。单纯使用前2阶约束振型为假设振型时，可能出现频率遗漏而不能计算第2阶固有频率。假设振型同时取前2阶模态振型和前2阶约束振型，可以计算前3阶固有频率；假设振型取前4阶模态振型和前4阶约束振型，可以计算前5阶固有频率，相对误差小于5%。
Abstract:A right-angle beam with fixed both ends is treated as an example to investigate the application of the mode synthesis method for calculation of higher-order natural frequencies. If the first 2 constrained mode shapes serve as the assumed mode shapes, some frequencies may miss and thus the second-order natural frequency cannot be calculated. If the assumed mode shapes include both the first 2 modal shapes and the first 2 constrained mode shapes, the first 3 natural frequencies can be calculated; and the assumed mode shapes include both the first 4 modal modes and the first 4 constrained mode shapes, the first 5 order natural frequencies can be calculated with the relative errors less than 5%.
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Keywords:
- vibration /
- mode synthesis /
- natural frequency /
- mode shape
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模态综合法是将一个复杂结构分解成若干个较为简单的部分分别进行振动模态分析后，再综合成结构整体振动模态的有效近似分析方法。该方法的基本内容在振动理论[1-4]或结构动力学[5-6]的教材中有所介绍。在教材中通常用该方法近似计算基频。在计算更高阶频率时是否有效，很少涉及。本文通过对教材[4]例题中一个两端固定直角梁的分析，揭示该方法计算高阶固有频率时存在的问题，并探讨相应的解决方法。这些分析是对现有振动力学教学内容的补充和澄清，有助于帮助学生更全面地掌握模态综合法，也可以用作学生进行探究式学习的素材。
1. 计算高阶固有频率时存在的问题
先看模态综合法的例子[4]。两根固定在O1和O2的相同直梁，长为l，截面弯曲刚度为EI，密度为ρ，截面积为S，在O3处刚性联结为两端固定的直角梁，如图1所示。将这两根直梁作为子结构，分别以O1和O2为原点建立坐标系(O1-x1y1)和(O2-x2y2)。采样固定界面模态综合法。选择满足几何边界条件的约束振型[4]
$$ {\tilde \phi _k}\left( {{x_i}} \right) = {\left( {\frac{{{x_i}}}{l}} \right)^2}{\left[ {1 - \left( {\frac{{{x_i}}}{l}} \right)} \right]^k}\quad \left( {k = 1,2;\;i = 1,2} \right) $$ (1) 为假设振型，则由位移和弯矩协调条件，由假设振型法可以导出前2阶固有频率为(教材[4]中仅给出第1阶固有频率)
$$ {\omega _1} = \frac{{15.47}}{{{l^2}}}\sqrt {\frac{{EI}}{{\rho S}}} \,,\quad {\omega _2} = \frac{{75.33}}{{{l^2}}}\sqrt {\frac{{EI}}{{\rho S}}} $$ (2) 用有限元法验证上述固有频率的精确性。设20#低碳钢的几何和物理参数为l =1 m, D =0.05 m, E = 205 GPa, ρ = 7840 kg/m3。式(2)给出的模态综合法得到
$$ \omega _1^{{\rm{{C} 2}}} = 157.18\,{\rm{Hz}}\,,\quad \omega _2^{{\rm{{C} 2}}} = 766.35\,{\rm{Hz}} $$ (3) 应用有限元软件ANSYS进行计算，得到前6阶固有频率为
$$ \left. \begin{gathered} {\omega _1} = 159.54\,{\rm{Hz}}\,,\;\; {\omega _2} = 234.68\;{\rm{Hz}}\,\;\;\\ {\omega _3} = 507.20\,{\rm{Hz}}\,,\;\; {\omega _4} = 627.44\,{\rm{Hz}}\,\;\; \\ {\omega _5} = 1012.90\,{\rm{Hz}}\,,\;\; {\omega _6} = 1090.30\,{\rm{Hz}}\, \end{gathered} \right\} $$ (4) 两者第1阶固有频率非常接近(相对误差1.48%)，用模态综合法得出的第2阶固有频率与第4阶固有频率较为接近(相对误差22.1%)。由模态综合法得到的前2阶振型如图2所示，有限元法得到的前4阶振型如图3所示。模态综合法的第2阶振型，与有限元法的第3阶振型接近。因此，模态综合法计算第2阶固有频率不准确的原因是漏掉了第2固有频率。
2. 提高高阶固有频率的精度
从有限元计算得到的振型看，互成直角的两直梁对应的振型存在两种关系。其一是在平面内绕两段梁连接点旋转90°后重合，如图3(a)和图3(c)；另一种是关于直角的平分线对称，如图3(b)和图3(d)。因此引入一组新的假设振型有望避免固有频率的遗漏。引入两端固定梁的前n阶模态的振型函数φj(xi)(j =1, 2, ···, n; i = 1, 2)作为假设振型。以前2阶约束振型和前2阶模态振型为假设振型，可以得到前4阶固有频率为
$$ \left. \begin{gathered} \omega _1^{{\rm{{C} 2{M} 2}}} = 156.85\,{\rm{Hz}}\,,\,\omega _2^{\rm{{{C} 2{M} 2}}} = 258.97\,{\rm{Hz}}\,\, \\ \omega _3^{\rm{{{C} 2{M} 2}}} = 508.50\,{\rm{Hz}}\,,\,\omega _4^{{\rm{{C} 2{M} 2}}} = 724.52\,{\rm{Hz}} \end{gathered} \right\}$$ (5) 虽然有10.35%的相对误差，但已经避免了第2阶固有频率的遗漏。第3阶固有频率相对误差只有0.22%，但第4阶固有频率的相对误差为15.47%。
为进一步探讨假设振型选取对模态综合法的影响，考虑更多阶假设振型以计算前4阶固有频率。扩展式（1）给出的满足边界条件的约束振型到k =3,4的情形。考虑假设振型的4种选择方式：（1）前4阶约束振型和前4阶模态振型；（2）前4阶约束振型和第5到8阶模态振型；（3）前2阶约束振型和前4阶模态振型；（4）前2阶约束振型和前8阶模态振型。计算的前6阶固有频率及其与有限元计算结果的相对误差如表1所示。各种振型选择计算的第1阶固有频率相同，第3和5阶固有频率的第（1），（3）和（4）三种假设振型选取结果接近，但偶数阶即第2, 4和6阶固有频率同时用前4阶约束振型和模态振型的结果较为精确。这种选择下前4阶振型如图4所示。这些结果与图3所示有限元结果接近。第6阶固有频率误差较大，可能需要更多的假设振型。
表 1 不同假设振型下模态综合法计算的前6阶固有频率及相对误差假设振型 $ \begin{gathered} {{\tilde \phi }_k}\left( {k = 1,2,3,4} \right) \\ {\phi _j}\left( {j = 1,2,3,4} \right) \\ \end{gathered} $ $ \begin{gathered} {{\tilde \phi }_k}\left( {k = 1,2,3,4} \right) \\ {\phi _j}\left( {j = 5,6,7,8} \right) \\ \end{gathered} $ $ \begin{gathered} {{\tilde \phi }_k}\left( {k = 1,2} \right) \\ {\phi _j}\left( {j = 1,2,3,4} \right) \\ \end{gathered} $ $ \begin{gathered} {{\tilde \phi }_k}\left( {k = 1,2} \right) \\ {\phi _j}\left( {j = 1,...,8} \right) \\ \end{gathered} $ 1 阶固有频率
(相对误差)156.85
(1.69%)156.85
(1.69%)156.85
(1.69%)156.85
(1.69%)2 阶固有频率
(相对误差)234.96
(0.12%)242.47
(3.32%)244.67
(4.26%)236.36
(0.71%)3 阶固有频率
(相对误差)508.29
(0.22%)511.89
(0.92%)508.30
(0.22%)508.29
(0.22%)4 阶固有频率
(相对误差)648.65
(3.38%)711.60
(13.41%)679.72
(8.33%)653.00
(4.07%)5 阶固有频率
(相对误差)1060.52
(4.70%)1076.51
(6.28%)1060.73
(4.72%)1060.52
(4.70%)6 阶固有频率
(相对误差)1273.24
(16.78%)1440.09
(32.08%)1341.43
(23.03%)1283.09
(17.68%)3. 总结
本文以振动教材[4]中的两端固定的直角梁为例，探讨模态综合法应用中存在的问题以及改进的措施。以满足几何边界条件的约束振型为假设振型计算固有频率时，可以出现频率遗漏的问题。同时采用约束振型和模态振型能取得较好的结果，采用前2阶约束振型和模态振型，能较为精确地计算前3阶固有频率；同时采用4阶约束振型和模态振型，能较为精确地计算前5阶固有频率。
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表 1 不同假设振型下模态综合法计算的前6阶固有频率及相对误差
假设振型 $ \begin{gathered} {{\tilde \phi }_k}\left( {k = 1,2,3,4} \right) \\ {\phi _j}\left( {j = 1,2,3,4} \right) \\ \end{gathered} $ $ \begin{gathered} {{\tilde \phi }_k}\left( {k = 1,2,3,4} \right) \\ {\phi _j}\left( {j = 5,6,7,8} \right) \\ \end{gathered} $ $ \begin{gathered} {{\tilde \phi }_k}\left( {k = 1,2} \right) \\ {\phi _j}\left( {j = 1,2,3,4} \right) \\ \end{gathered} $ $ \begin{gathered} {{\tilde \phi }_k}\left( {k = 1,2} \right) \\ {\phi _j}\left( {j = 1,...,8} \right) \\ \end{gathered} $ 1 阶固有频率
(相对误差)156.85
(1.69%)156.85
(1.69%)156.85
(1.69%)156.85
(1.69%)2 阶固有频率
(相对误差)234.96
(0.12%)242.47
(3.32%)244.67
(4.26%)236.36
(0.71%)3 阶固有频率
(相对误差)508.29
(0.22%)511.89
(0.92%)508.30
(0.22%)508.29
(0.22%)4 阶固有频率
(相对误差)648.65
(3.38%)711.60
(13.41%)679.72
(8.33%)653.00
(4.07%)5 阶固有频率
(相对误差)1060.52
(4.70%)1076.51
(6.28%)1060.73
(4.72%)1060.52
(4.70%)6 阶固有频率
(相对误差)1273.24
(16.78%)1440.09
(32.08%)1341.43
(23.03%)1283.09
(17.68%)
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[1] Meirovitch L. Principles and Techniques of Vibrations. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1997
[2] 方同, 薛璞. 振动理论及应用. 西安: 西北工业大学出版社, 1998 [3] Ginsberg JH. Mechanical and Structural Vibrations: Theory and Applications. New York: John Wiley & Sons, 2001
[4] 刘延柱, 陈立群, 陈文良. 振动力学, 第 3 版. 北京: 高等教育出版社, 2019 [5] 李东旭. 高等结构动力学, 第 2 版. 北京: 科学出版社, 2010 [6] 于开平, 邹经湘. 结构动力学, 第 3 版. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2015
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