INFLUENCE OF SURFACE EFFECT ON POST-BUCKLING BEHAVIOR OF POROUS NANOBEAMS
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摘要:
为分析表面效应对多孔梁在轴向压力下的屈曲和后屈曲行为的影响，使用Gurtin–Murdoch表面弹性理论，建立了轴向可伸长梁的非线性后屈曲控制微分方程。其中假设梁的孔隙分布在其厚度上具有对称和非对称的两种非均匀模式。采用打靶法数值求解，给出了不同孔隙率系数下多孔纳米梁发生屈曲的临界载荷和后屈曲平衡路径曲线，讨论了表面材料特性对后屈曲行为的影响。结果表明：纳米梁具有十分显著的表面效应，表面效应对多孔纳米梁的屈曲和后屈曲行为有重要影响。
Abstract:In order to analyze the influence of surface effect on the buckling and post-buckling behavior of porous beams under axial pressure, the nonlinear post-buckling governing differential equation of axially extensible beams was established by using Gurtin–Murdoch surface elasticity theory. It was assumed that the pore distribution of the beam has two non-uniform modes, one symmetry and the other asymmetry along its thickness direction. The critical load and post-buckling equilibrium path curve of porous nanobeams under different porosity coefficients were given by the shooting method. The influences of surface material properties on post-buckling behavior were discussed. The results show that nanobeams have very significant surface effects, and the surface effect has an important influence on the buckling and post-buckling behavior of porous nanobeams.
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Keywords:
- nanobeam /
- geometric nonlinearity /
- surface stress /
- post-buckling /
- numerical solution
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随着纳/微米技术的发展，纳米结构在纳米机电系统等不同高科技设备的改进中具有重要作用。因此，研究纳米结构力学行为的研究人员应运而生[1-2]。实验和原子模拟[3-4]已经证明，当结构尺寸变小并达到微/纳米尺度时，小尺寸的影响变得非常重要。研究发现，对于亚微米尺寸的器件，表面效应会导致机械、物理和电气性能的显著变化，并且是评估结构有效材料性能的关键因素。表面效应是纳米结构尺寸相关特性的原因之一，因为结构的表面相与体相相比具有不同的原子排列和较大的比表面积，并且表面相的特性与体相不同。因此，表面效应很好地解释了尺寸相关的纳米材料或结构的性能，或者说表面在影响纳米材料或结构的整体性能方面起着重要作用[5]。
纳米机电系统中的很多器件的力学模型都可简化为微（纳）尺度的梁或板。尤其是随着纳米线、纳米棒的成功制造，研究纳米一维尺度梁（杆）结构的力学性能变得至关重要。在研究弹性材料的表面效应方面，Gurtin等[6]提出的表面弹性模型具有开创性，已被广泛应用于解释纳米结构的尺寸依赖性行为[7]。比如，Yang等[8]采用Gurtin– Murdoch理论，研究了表面应力对纳米圆板弯曲和振动响应的影响。Wang等[9]分析了表面应力对压电纳米线振动和屈曲行为的影响。另外，被誉为最具前途的纳米电极，其端部受到的压力超过临界载荷时，电极将发生失稳。尚帅朋等[10]通过扩散–应力耦合模型研究了表面效应对纳米线电极的屈曲行为的影响，为电极的屈曲失稳优化设计提供了可借鉴的科技参考。Jiang等[11]采用Timoshenko梁模型研究了表面效应对纳米线静态弯曲弹性行为的影响。上述文献中的梁或板都是均匀材料结构。
随着科技的发展，单一纳米材料在特定环境下的应用受到了局限。科学家们将功能梯度材料和泡沫材料结合，成功设计和制造了多孔梯度材料。多孔材料作为新型材料，是一种含一定数量孔隙的固体相互贯通或封闭的孔隙构成网络结构的材料。与连续材料相比, 多孔材料能够满足多种功能要求，可以最大限度减轻重量，因此科研人员对多孔材料的研究更感兴趣 。通过优化和调整孔隙的分布，可以得出多孔梯度材料的不同性能。王平远等[12]基于非局部应变梯度理论，分析了尺度效应对功能梯度材料矩形板弯曲行为和屈曲临界载荷的影响，但没有考虑表面效应的影响。国内关于多孔材料的研究主要集中在材料的制备方面，这方面的研究可参考刘培生等[13-14]的成果。Xiao等[15]研究了功能梯度带孔纳米梁在磁–电–热–弹多场作用下的屈曲和后屈曲行为，文中也没有考虑到表面效应的影响。
综合上述文献的调研，具有尺度效应和表面效应的微纳尺度梁结构在屈曲行为的研究引起了国内学者的研究兴趣；而多孔材料作为一种新型材料做成的纳米梁结构已经引起学者们的关注。目前的文献主要研究的是静态的屈曲问题，普遍给出的是梁发生屈曲的临界载荷，求临界载荷属于线性特征值问题，而后屈曲的求解属于非线性问题。当载荷超过临界载荷时，结构的平衡状态为后屈曲平衡状态，表面效应如何影响纳米梁尤其是多孔纳米梁结构的后屈曲平衡位形目前鲜有研究成果。因此，本文将主要探讨纳米多孔梁由于尺度效应引起的表面效应对机械载荷作用下的屈曲以及后屈曲行为的影响。首先建立考虑表面效应下的几何非线性控制微分方程，通过数值求解给出多种因素下的临界载荷以及后屈曲平衡路径曲线，分析不考虑表面效应和考虑表面效应对多孔纳米梁后屈曲行为的影响，为纳米结构稳定性研究提供可借鉴的思路。
1. 梯度多孔材料
这里考虑两种孔隙分布模式的梯度多孔材料，分别是孔隙对称和非对称的非均匀分布模式，为方便描述记为模式 I和模式 II，见图1。
假设多孔材料的力学性能沿厚度方向连续变化，弹性模量E(z)表示为[16]
$$ E({\textit{z}}) = {E_1}[1 - {e_0}\psi (z)] $$ (1) 其中
$$ \psi (z) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos \left( {\dfrac{\pi }{h}z} \right), \qquad\qquad\quad {\rm{模式\; I}}} \\ {\cos \left( {\dfrac{\pi }{{{\text{2}}h}}z{\text{ + }}\dfrac{\pi }{{\text{4}}}} \right), \qquad {\rm{模式 \;II}}} \end{array}} \right. $$ (2) 式中，
$ {e_0} $ 为材料的孔隙率系数，${e_0} = 1 - {E_2}/{E_1} (0 \lt {e_0} \lt 1)$ ，$ {E_2} $ 和$ {E_1} $ 分别是厚度方向上的最小和最大杨氏模量，h为材料厚度。为简单起见，这里假设梯度多孔材料的泊松比为常数。值得指出的是，材料的非均匀性会导致物理中面和几何中面的不重合。将坐标系置于梯度多孔梁的物理中性面的本构方程中不会出现拉伸和弯曲耦合项，引入物理中面可简化梯度多孔梁的基本方程
$$ {z_0} = \dfrac{{ \displaystyle\int_{ - 0.5h}^{0.5h} {zE({{{{z}}}})} {\rm{d}}{{z}}}}{{ \displaystyle\int_{ - 0.5h}^{0.5h} {E({{{{z}}}})} {\rm{d}}{{z}}}} $$ (3) 显然，对模式 I，
$ {z_0} = 0 $ ；对模式 II，$ {z_0} = {e_0}h(\pi - 4)/(2{e_0}\pi - {\pi ^2}) $ 。2. 纳米梁模型及基本方程
考虑表面效应的微纳结构一般采用表面分层的模型，即微结构体加表面层。如图2所示为两端可移简支微梁，其梁的主体为梯度多孔材料，表面效应由一个非常薄的不考虑厚度的层模拟。
$x$ 轴沿长度($l$ )方向，${{z}}$ 轴沿厚度($h$ )方向，坐标原点($o$ )置于梁左侧且$xoz$ 位于几何中面上。当梁上受到的水平方向压力$p$ 超过一定值时，梁处于后屈曲状态。2.1 几何方程
精确考虑轴线的伸长可得几何关系为[16]
$$ \frac{{{\text{d}}s}}{{{\text{d}}x}} = \varLambda \text{，} \frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}x}} = \varLambda \cos \theta - 1 \text{，} \frac{{{\text{d}}w}}{{{\text{d}}x}} = \varLambda \sin \theta $$ (4) 式中，
$u,w$ 表示x和y方向上的位移，$s$ 为梁变形后轴线弧长，$ \theta $ 为梁变形后挠曲线的切线与x轴正向夹角，$ \varLambda $ 为轴线伸长率。2.2 本构方程
主体层材料的本构关系采用各向同性体的本构关系
$$ {\sigma _{ij}} = \lambda {\varepsilon _{kk}}{\delta _{ij}} + 2\mu {\varepsilon _{ij}} $$ (5) $$ {\varepsilon _{ij}} = \frac{1}{2}({u_{i,j}} + {u_{j,i}}) \text{，} \lambda {\text{ = }}\frac{{E\nu }}{{{\text{1 }}-{\nu ^{\text{2}}}}} \text{，} \mu {\text{ = }}\frac{E}{{2({\text{1 + }}\nu )}} $$ (6) 表面层材料的本构关系采用Gurtin–Murdoch表面弹性理论[6]
$$ \sigma _{\alpha \beta }^S = {\sigma _{\text{0}}}{\delta _{\alpha \beta }} + ({\lambda ^S} + {\sigma _{\text{0}}})\varepsilon _{\gamma \gamma }^S{\delta _{\alpha \beta }} + 2({\mu ^S} - {\sigma _{\text{0}}})\varepsilon _{\gamma \gamma }^S + {\sigma _{\text{0}}}u_{\alpha ,\beta }^S $$ (7) 式中
$ {\sigma _{\text{0}}} $ 是沿梁纵向的表面残余应力，$ {\lambda ^S} $ 和$ {\mu ^S} $ 是独立于$ {\sigma _{\text{0}}} $ 的表面相的拉梅常数，式（5）~式（7）中其他各变量可参看文献[6]。由文献[16]，纵向的弹性应变可写为
$$ {\varepsilon _{xx}} = \varLambda - 1 - \frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}x}}z $$ (8) 由式（5），主体层的本构关系可写为
$$ {\sigma _{xx}} = E(z)\left(\varLambda - 1 - \frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}x}}z\right) $$ (9) 由式（6），表面层材料的本构关系可表述为
$$ \sigma _{xx}^S = {\sigma _{\text{0}}}{\text{ + (}}{\lambda _S}{\text{ + 2}}{\mu _S}{\text{)}}\left(\varLambda - 1 - \frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}x}}z\right) $$ (10) 薄膜力和弯矩定义为
$$ {N_{\alpha \alpha }} = b\int_{ - h/2}^{h/2} {{\sigma _{\alpha \alpha }}} {\text{d}}z{\text{ + }}b{\text{(}}\sigma _{\alpha \alpha }^{S + } + \sigma _{\alpha \alpha }^{S - }) $$ (11) $$ {M_{\alpha \alpha }} = b\int_{ - h/2}^{h/2} {(z - {z_0}){\sigma _{\alpha \alpha }}} {\text{d}}z{\text{ + }}\frac{{bh}}{{\text{2}}}(\sigma _{\alpha \alpha }^{S + } - \sigma _{\alpha \alpha }^{S - }) $$ (12) 将式（8）代入式（11）和式（12），得到
$$ \begin{split} & N = A(\varLambda - 1) + 2({\lambda _S} + 2{\mu _S})(\varLambda - 1) + 2{\sigma _0} =\\& \qquad (\varLambda - 1)(A + {\lambda _1}) + 2{\sigma _0} \end{split}\quad\quad\quad\quad$$ (13) $$ M = Db\frac{{{\text{d}}\theta }}{{{\text{d}}x}} + \frac{{b{h^2}}}{2}({\lambda _S} + 2{\mu _S})\frac{{{\text{d}}\theta }}{{{\text{d}}x}} = (D + {\lambda _2})\frac{{{\text{d}}\theta }}{{{\text{d}}x}} $$ (14) 式中已引入物理中面，将拉弯耦合效应消除。
$$\begin{split} & {\lambda _1} = 2b({\lambda _S} + 2{\mu _S}) \text{，} {\lambda _2} = b{h^2}({\lambda _S} + 2{\mu _S})/2 ， \\& (A,D) =\iint_A {E(z)[1,{{(z - {z_0})}^2}]}{\rm{d}}A = bh{E_1}({f_1},{h^2}{f_3}) \end{split} $$ 2.3. 平衡方程
当简支梁端部受到轴向压力时，平衡方程为
$$ N + p\cos \theta = 0 $$ (15) $$ M + pw = 0 $$ (16) 于是有
$$ \frac{{{\text{d}}\theta }}{{{\text{d}}x}} = - \frac{1}{{(D + {\lambda _2})}}pw $$ (17) $$ \varLambda = 1 - \frac{p}{{(A + {\lambda _1})}}\cos \theta - \frac{{2{\sigma _0}}}{{(A + {\lambda _1})}} $$ (18) 引入无量纲变换
$$ \begin{split} & \left( {\xi ,S,U,W} \right) = \left( {x,s,u,w} \right)/l , \delta = {l \mathord{\left/ {\vphantom {l h}} \right. } h} \\&\qquad P = \frac{{12p{l^2}}}{{b{h^3}{E_1}}} , \gamma = \frac{{{E_S}}}{{h{E_1}}} , \eta = \frac{{{\sigma _0}}}{{h{E_1}}} \end{split} $$ 则推导出了表面效应下，纳米材料多孔梁后屈曲控制微分方程组
$$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{\rm{d}}S}}{{{\rm{d}}\xi }} = \varLambda \dfrac{{{\rm{d}}U}}{{{\rm{d}}\xi }} = \varLambda \cos \theta - 1\dfrac{{{\rm{d}}W}}{{{\rm{d}}\xi }} = \varLambda \sin \theta }\\ {\dfrac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}\xi }} = - \dfrac{1}{{12\left[{f_3} + \dfrac{1}{{2(1 - {\nu ^2})}}\gamma \right]}}PW}\\ {\varLambda = 1 - \dfrac{1}{{12{\delta ^2}\left({f_1} + \dfrac{2}{{1 - {\nu ^2}}}\gamma \right)}}P\cos \theta - \dfrac{2}{{{f_1} + \dfrac{2}{{1 - {\nu ^2}}}\gamma }}\eta } \end{array}} \right\} $$ (19) 式中的
$ \gamma $ 为表面弹性参数，$ \eta $ 为无量纲残余表面应力参数；无量纲系数${f_1}$ ，${f_3}$ 计算公式为对模式 I
$$ {f_1} = 1 - \frac{{2{e_0}}}{\pi }, {f_3} = \frac{1}{{12}} - {e_0}\left(\frac{1}{{2\pi }} - \frac{4}{{{\pi ^3}}}\right) $$ 对模式 II
$$ \begin{split} & f_{1}=1-\frac{2 e_{0}}{\pi}, f_{3}=\frac{e_{0}}{2 e_{0}-\pi}\left(\frac{48 e_{0}}{\pi^{3}}+\frac{4}{\pi}+\right.\\&\qquad \left. \frac{2}{3}-\frac{16 e_{0}}{\pi^{2}}-\frac{16}{\pi^{2}}-\frac{\pi}{12 e_{0}}\right) \end{split} $$ 无量纲边界条件为
$$ S(0) = W(0) = 0,\theta (0) = \beta $$ (20) $$ U(0.5) = \theta (0.5) = 0 $$ (21) $ \beta $ 代表梁的左端转角。这样，梯度多孔纳米简支梁在轴向压力下的后屈曲问题可归结为方程（19）在边界条件（20）和（21）下的两点边值问题。3. 数值结果和讨论
方程（19）是多变量(
$ S $ ,$ U $ ,$ W $ ,$ \theta $ ,$ P $ )相互耦合的强非线性方程组，只能求其数值解。打靶法在求这类两点边值微分方程方面具有不可比拟的优势，计算耗时少且精度高，本文采用打靶法进行数值模拟。其原理可参考文献[17]的描述。梁主体以及表面层的相关物性参数[8]分别为E1 = 76 GPa，$\upsilon = 0.3 $ ，$ {\upsilon _S} = 0.3 $ ，${E_S}=1.22\;{\rm{N/m}} $ ，${\sigma _0}=0.89\;{\rm{N/m}} $ 。首先考察模型建立的正确性，取纳米梁的
$l = 430 \;{\text{n}}m $ ，$h = 10 \;{\text{n}}m$ ，$ \gamma = 0 $ ，$ \eta = 0 $ ，即本文的研究退化为不考虑表面效应下的梯度多孔材料纳米梁的后屈曲问题。特别地，若假设$ \varLambda = 1 $ ,则退化为轴线不可伸长的梁。计算所得的${P_{{\rm{cr}}}} = 9.869\;6 = {\pi ^2}$ ，这就是材料力学课本中两端铰支压杆的欧拉临界载荷${P_{{\rm{cr}}}} = {\pi ^2}EI/{l^2}$ 。图3给出了两种模型下压力
$ P $ 与左端转角$ \beta (0) $ 之间的关系曲线图。根据分叉理论知，曲线与横坐标的交点即为梁发生屈曲的临界载荷，之后进入后屈曲状态。首先注意到(a)和(b)两个图中的实线均代表均匀材料梁（即$ {e_0} = 0 $ ），图中梁发生屈曲时的临界载荷均为$ {P_{{\rm{cr}}}} = 9.876\;4 $ ，本方法的计算结果和文献[18]中用椭圆积分法计算的结果完全吻合，结合考虑轴线不可伸长和轴线伸长两种情况的结果，说明了本文模型建立的正确性，以及计算结果的可靠性。![]()
图 3 梯度多孔简支梁$ P - \beta (0) $ 曲线Figure 3.$ P - \beta (0) $ curve of graded porous simply supported beam选择模式 I梁，图4和图5给出了左端转角和左端水平位移随载荷
$ P $ 变化的关系曲线。图中看出，考虑表面效应时和不考虑表面效应时，梯度多孔梁都发生典型的分叉失稳。考虑表面效应时的临界载荷大于不考虑表面效应时计算的结果；过屈曲后，相同的载荷下，有表面效应情况下梁的变形小于无表面效应情况下的变形，说明对于银这种金属做成的多孔材料，其材料表面效应会增加整体结构的刚度。![]()
图 4 纳米梯度多孔简支梁$ P - \beta (0) $ 曲线Figure 4.$P - \beta (0) $ curve of graded porous simply supported nanobeam![]()
图 5 纳米梯度多孔简支梁$ P - U(0) $ 曲线Figure 5.$P - U(0) $ curve of graded porous simply supported nanobeam不考虑表面残余应力(
$ {\sigma _0} = 0 $ )情况下，图6考察了表面弹出参数对模式 I和模式 II梁屈曲和后屈曲行为的影响。通过比较可以看出：随着材料孔隙率系数的增加，两种模型下的临界载荷都减小；相同的孔隙率系数下，模式 II（孔隙率非对称分布）梁的临界载荷小于模式 I（孔隙率对称分布）梁的临界载荷。详细的临界载荷可见图7，图7中不难看出： 模式 I 纳米梁发生屈曲的临界载荷随孔隙率$ {e_0} $ 的增加线性减小，而模式 II纳米梁发生屈曲的临界载荷是非线性单调递减；孔隙率系数一定时，模式 II 梁的临界载荷小于模式 I 梁的临界载荷，且随着孔隙率系数的增加，两种类型梁的临界载荷之差越来越大。![]()
图 6 纳米梯度多孔简支梁$ P - \beta (0) $ 曲线Figure 6.$ P - \beta (0) $ curve of graded porous simply supported nanobeam![]()
图 7 两种模型下$ {e_0} - {P_{{\rm{cr}}}} $ 的关系曲线Figure 7. Relation curve of${e_0} - {P_{{\rm{cr}}}} $ under two modes图8给出了不同表面参数下的纳米梯度多孔梁的后屈曲平衡路径曲线。图中反映出：表面弹性参数
$\gamma $ 越大，临界载荷越大；屈曲后在给定的压力下，表面弹性参数越大，梁的变形会越小。所有参数下的后屈曲平衡路径都随载荷的增加非线性增加，说明表面效应会增加梁的抗弯刚度。![]()
图 8 不同表面参数下的$ P - \beta (0) $ 曲线Figure 8.$ P - \beta (0) $ curve under different surface parameters纳米梁长度保持
$l = 430\; {\text{nm}} $ ，取截面高度$ h = 10 \;{\text{nm}} $ 和$ 20 \;{\text{nm}} $ ，计算得到的$ \gamma = 1.6 \times {10^{ - 3}}$ ，$\eta = 1.17 \times {10^{ - 3}}$ ，$ \delta = 43.3 $ ；当$ h = 20 \;{\text{nm}} $ 时，$ \gamma = 8 \times {10^{ - 4}} $ ，$ \eta = 5.85 \times {10^{ - 4}} $ ，$ \delta = 21.65 $ 。图9给出了上述参数下的后屈曲平衡路径图。图中反映出，纳米多孔梁的尺寸对结构的屈曲和后屈曲均有明显的影响，当梁的细长比增加时，多孔梁发生屈曲的临界载荷减小了，达到临界载荷进入后屈曲状态时，细长比小的梁的后屈曲平衡路径范围更大。![]()
图 9 几何参数对纳米梁$ P - \beta (0) $ 曲线的影响Figure 9. Influence of geometric parameters on$P - \beta (0) $ curve of nanobeam取表面残余应力
$ {\sigma _0} = 0.89 $ ，考察表面效应对屈曲和后屈曲的影响。以模式 I 梁为例，多孔材料的$ {e_0} = 0.5 $ ，图10给出了表面弹出参数变化时的后屈曲平衡路径曲线，实线代表不考虑表面效应时的情况。可以看出：表面效应十分显著，屈曲之后，当考虑表面效应时，梁的挠度要么增大要么减小。![]()
图 10 表面效应对$ P - \beta (0) $ 的影响Figure 10. Influence of surface effect on$P - \beta (0) $ 显然，残余表面应力和表面弹性参数也是相关的。最后考察表面残余应力对多孔纳米梁屈曲和后屈曲的影响，同样以模式 I 梁为例，给定孔隙率系数
$ {e_0} = 0.5 $ ，图11给出了不同表面残余应力下的$ P - {W_{\max }} $ 关系曲线。图中可见：随着$ {\sigma _0} $ 的增加，梁发生屈曲的临界载荷增大了，而且屈曲后进入过屈曲状态后，相同载荷下，残余应力大的梁具有较小的变形；过屈曲之后，随着载荷的进一步增加，屈曲形态函数$ W $ 的最大值先增大到某一极值，然后开始减小。![]()
图 11 表面残余应力对$ P - {W_{\max }} $ 的影响Figure 11. Influence of surface residual stress on$P - {W_{\max }} $ 4. 结论
基于轴线可伸长理论和Gurtin–Murdoch表面弹性理论，建立了多孔纳米梁在轴向压力下的后屈曲控制微分方程。此方程除了包括需要计算的五个未知变量外，也包含了代表表面效应的表面弹性参数和残余表面应力参数。其中多孔材料的孔隙采用沿厚度方向对称和非对称两种非均匀分布模式。通过数值求解可以得到以下主要结论。
（1）考虑表面效应时，多孔纳米梁的临界载荷大于不考虑表面效应时的临界载荷；屈曲后梁的变形小于不考虑表面效应时的变形。说明，表面效应会提高多孔纳米梁的弯曲刚度。
（2）孔隙非对称分布情况下的临界载荷小于孔隙对称分布下的临界载荷；两种模型下随着孔隙率系数的增加，临界载荷都减小；进入后屈曲平衡位形后，随着载荷的增加，变形非线性增加。
（3）表面效应越大，多孔纳米梁发生屈曲的临界载荷越大，当无量纲表面参数大于零时，梁的挠度大于不考虑表面效应梁的变形；反之，当无量纲表面参数小于零时，梁的挠度小于不考虑表面效应梁的变形。
（4）表面残余应力对多孔纳米梁的屈曲和后屈曲行为也有显著影响，残余应力越大，临界载荷越大，后屈曲平衡路径范围越小，说明表面残余应力会增强梁的弯曲刚度。
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图 3 梯度多孔简支梁
$ P - \beta (0) $ 曲线Figure 3.
$ P - \beta (0) $ curve of graded porous simply supported beam![]()
图 4 纳米梯度多孔简支梁
$ P - \beta (0) $ 曲线Figure 4.
$P - \beta (0) $ curve of graded porous simply supported nanobeam![]()
图 5 纳米梯度多孔简支梁
$ P - U(0) $ 曲线Figure 5.
$P - U(0) $ curve of graded porous simply supported nanobeam![]()
图 6 纳米梯度多孔简支梁
$ P - \beta (0) $ 曲线Figure 6.
$ P - \beta (0) $ curve of graded porous simply supported nanobeam![]()
图 7 两种模型下
$ {e_0} - {P_{{\rm{cr}}}} $ 的关系曲线Figure 7. Relation curve of
${e_0} - {P_{{\rm{cr}}}} $ under two modes![]()
图 8 不同表面参数下的
$ P - \beta (0) $ 曲线Figure 8.
$ P - \beta (0) $ curve under different surface parameters![]()
图 9 几何参数对纳米梁
$ P - \beta (0) $ 曲线的影响Figure 9. Influence of geometric parameters on
$P - \beta (0) $ curve of nanobeam![]()
图 10 表面效应对
$ P - \beta (0) $ 的影响Figure 10. Influence of surface effect on
$P - \beta (0) $ -
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