ANALYSIS OF INFLUENCING FACTORS OF CASING DEFORMATION IN MUDSTONE BASED ON MODIFIED BURGERS MODEL
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摘要:
地层含水饱和度的变化对于泥岩储层的蠕变特性有较大影响，尤其是注采过程中泥岩段套管产生形变从而导致套管损坏。本文在Burgers模型基础上加入含水饱和度元件，提高了瞬时蠕变阶段模型的精度，同时对实际油田某泥岩区块进行了比对，得出随含水饱和度增加，地层蠕变量增大，且瞬时蠕变阶段时间减小的结论，同时在蠕变条件下套管壁厚、水泥环弹性模量、地层含水饱和度均可大幅度影响套管变形，而套管尺寸对套管变形几乎无影响。本研究成果能够更加准确地计算地层不同含水量条件下泥岩蠕变的套管变形，对井筒的破坏进行有效的预防及控制。
Abstract:The variation of formation water content has a great influence on the creep characteristics of mudstone reservoir, especially in the process of injection and production casing deformation in mudstone section can lead to casing damage. In this paper, a water-cut element was added on the basis of Burgers model to improve the accuracy of the instantaneous creep stage model. At the same time, a comparison was made on a mudstone block in an actual oil field. It was concluded that with the increase of water-cut, the formation creep variable increased and the time of the instantaneous creep stage decreased. At the same time, the thickness of casing wall, elastic modulus of cement ring and water content of formation can greatly affect the casing deformation under creep condition, while the casing size has almost no effect on the casing deformation. The research results can more accurately calculate the casing deformation of mudstone creep under different water content conditions, and effectively prevent and control the wellbore damage.
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在某区块储层的注水开发过程中，储层泥岩深度较浅（400～500 m），在长期的注采过程中注水压力远超地层破裂压力，导致水泥环松动破裂，注入水窜至泥岩层后泥岩吸水蠕变，使泥岩力学性质软化从而地层应力分布改变，在不均匀地层应力的影响下，套管发生缩径进一步发生套变[1]。
通过Stow[2]提出的泥岩的定义可以得知，黏土和石英等硅质碎屑的矿物碎片在泥岩组成中超过50%，由于这些矿物具有亲水性，因此泥岩易吸水膨胀，且体积会随岩层含水饱和度的变化产生较大变化[3]。因此注采井套管在泥岩段易发生缩径形变，对油气生产造成影响。针对泥岩吸水膨胀的特性，国内外学者将岩石看作黏弹体，将Maxwell模型、Kelvin模型、Burgers模型和西原模型[4-7]等元件模型复合来模拟泥岩蠕变过程。但岩石并不是一种完全的线性流变体[8]，因此对元件蠕变模型修正，建立非线性岩石蠕变模型具有重要意义[9]。黄明等[10]将Kelvin模型中的线性黏性元件修正为非线性，并与Maxwell模型进行串联，建立了具有非线性蠕变特性的修正Burgers模型。康永刚等[11]为了描述岩石蠕变全过程，将Burgers模型中的定常黏性元件修正为非定常元件，给出了一种非定常Burgers模型。杨文东等[12]构建了可以描述岩石加速蠕变阶段的非线性弹塑性流变模型。该模型由瞬弹性Hooke体、黏弹塑性村山体、非线性黏塑性体串联而成。王军保等[9]将Burgers非线性黏性原件改为变系数非线性黏性原件，建立Burgers蠕变模型，可以更好地描述岩石蠕变特性。国内外学者将模型中黏、弹性元件的系数修正为非定常数，提高了模型精度，但依然无法准确表述随地层含水饱和度变化的蠕变特性。汪妍妍等[13]将假定加速蠕变阶段的损伤演化方程损伤引入到Burgers 模型中，从而解决因Burgers模型是一种线性蠕变模型，而不能全面地描述岩石蠕变的全过程等问题。韩阳等[14]针对岩石蠕变的非线性特征，提出了一种非线性黏壶元件，并分别替换Burgers模型中的两个线性黏壶元件，从而建立了一种非定常参数Burgers模型。蔡煜等[15]为了描述蠕变全过程，考虑蠕变参数的时间效应及损伤带来的影响，采用非定常黏性元件取代Burgers模型中串联的定常黏性元件，使其能描述加速蠕变阶段。熊良宵等[16]建立一个与时间、应力状态有关的非线性黏滞体，该黏滞体可以描述岩石的非线性黏弹性流变特征；将该非线性黏滞体替换Burgers模型中的线性黏滞体，得到修正Burgers模型，该模型也称为非定常Burgers模型。由于软弱岩石一般具有黏弹塑性的共存特性，而典型的Burgers蠕变模型只能描述材料第三期蠕变以前的黏弹性规律，因此袁海平等[17]基于Mohr–Coulomb准则，提出了新的塑性元件，该元件假定材料屈服后完全服从Mohr–Coulomb塑性流动规律。薛东杰等[18]引入考虑塑性损伤的广义胡克定律定量描述样品尺度损伤，从而建立三轴压缩条件下静态本构模型。进一步将非线性分数阶黏壶和三轴压缩条件下静态本构引入至Burgers模型中，建立考虑温度和体积应力的分数阶蠕变损伤Burgers模型。黄海峰等[19]在传统的Burgers模型的基础上，引入一个非线性黏塑性体，并基于S–M算法和通用全局优化法对蠕变试验曲线进行辨识，求解模型参数。对比试验曲线和拟合曲线，分析模型参数，从而证明改进的Burgers模型能够准确地描述片岩的蠕变特性。李猛[20]基于实测的实验数据分析蠕变曲线的特征，构造出能够表现岩石衰减蠕变和加速蠕变阶段特征的非线性函数，并引入到Burgers蠕变本构方程中，得到一个新的非线性蠕变模型，岩石稳定蠕变阶段的非线性渐变过程和加速蠕变阶段蠕变速率的快慢程度可通过调整蠕变参数进行有效地模拟。付凯敏等[21]通过蠕变有限元理论及实现方法研究，借助ABAQUS提供的用户材料子程序UMAT，二次开发出修正Burgers蠕变模型子程序。郭鸿等[22]建立了坡积土石混合体的Burgers模型并确定了其参数获取方式，并建议在分级加载条件下分别获取加载蠕变终值的方法。张庆建等[23]对泥岩进行三轴压缩蠕变试验，研究不同轴向应力下蠕变曲线变化规律，提出辨识模型参数的改进解析解法，从而解决Burgers模型参数辨识尚无明确标准方法的问题。余霞[24]从细观力学角度，研究了堆石料细观蠕变接触模型，并应用PFC离散元颗粒流软件进行数值模拟，验证了该蠕变模型
以上研究均在于改变传统蠕变模型弹性、黏性原件特性而提高模型精度，以便更好描述岩石流变性，但地层含水饱和度的变化引起的蠕变规律的改变不能单纯通过改变元件模型特性来描述。本文在非线性Burgers模型的基础上加入含水饱和度元件，使得修正后的Burgers模型能够较为精确地描述某区块储层注水开发后随含水饱和度变化而变化的蠕变特性，并对在该蠕变条件下套管形变量的影响因素进行分析。
1. 建立泥岩蠕变修正Burgers模型
1.1 传统Burgers模型
研究泥岩蠕变特性需要将泥岩看作黏弹体，模型中弹性元件与黏性元件共同作用才可完整表达蠕变过程。传统Burgers模型是由一个Maxwell模型和一个Kelvin模型串联而成，如图1所示。
其中的弹性元件部分为胡克模型，黏性元件部分为牛顿模型，其数学表达式为
$$ \sigma = E\varepsilon $$ (1) $$ \sigma = \eta \dot \varepsilon $$ (2) 式中，
$\sigma $ 和$\varepsilon $ 分别代表应力和应变，$\dot \varepsilon $ 代表应变速率，$ \eta $ 为黏性系数，E为弹性系数。传统Burgers模型可以描述瞬时蠕变阶段以及稳态蠕变阶段，结合胡克模型和牛顿模型基础表达式（1）和式（2），可以得出Burgers模型中各元件力学关系。
应变与应变速率关系
$$ \left. { \begin{gathered} \varepsilon = {\varepsilon _2} + \dot \varepsilon \\ \dot \varepsilon = {{\dot \varepsilon }_2} + {{\dot \varepsilon }_{{\eta _1}}} + {{\dot \varepsilon }_1} \\ {\varepsilon _1} = {\varepsilon _{{\eta _1}}} \\ \end{gathered}} \right\}$$ (3) 式中，ε1和ε2分别表示Kelvin模型和Maxwell模型的应变；
${\dot \varepsilon _1} $ 和${\dot \varepsilon _2} $ 分别表示 Kelvin模型和Maxwell模型中应变对时间的一阶导，即应变速率；${\varepsilon _{\eta 1}} $ 表示Kelvin模型中黏性元件的应变。应力关系
$$ \left. { \begin{gathered} \sigma = {\sigma _2} = {\sigma _{{\eta _2}}} = {\sigma _1} + {\sigma _{{\eta _1}}} \\ {{\dot \varepsilon }_2} = \frac{{\dot \sigma }}{{{E_2}}} \\ {{\ddot \varepsilon }_{{\eta _2}}} = \frac{{\dot \sigma }}{{{\eta _2}}} \\ {\sigma _1} = {E_1}{\varepsilon _1} \\ {\sigma _{{\eta _1}}} = {\eta _1}{{\dot \varepsilon }_{{\eta _1}}} = {\eta _1}{{\dot \varepsilon }_1} \\ {{\dot \varepsilon }_1} = \dot \varepsilon - {{\dot \varepsilon }_2} - {{\dot \varepsilon }_{{\eta _2}}} = \dot \varepsilon - \frac{{\dot \sigma }}{{{E_2}}} - \frac{\sigma }{{{\eta _2}}} \\ \end{gathered}} \right\} $$ (4) 式中，σ1和σ2分别表示Kelvin模型和Maxwell模型所受应力；
${\sigma _{\eta 1}} $ 和${\sigma _{\eta 2}} $ 分别表示Kelvin模型和Maxwell模型中黏性元件所受应力；$\dot \sigma $ 为应力对时间的一阶导；${\dot \varepsilon _{\eta_ 1}} $ 表示Kelvin模型中黏性元件应变对时间的一阶导；${\dot \varepsilon _{\eta _2}} $ 表示Maxwell模型中黏性元件应变对时间的二阶导；E1和E2为弹性元件的弹性系数；${\eta _1}和\;{\eta _2} $ 为黏性元件的黏性系数。由应力应变关系式（3），式（4）构建黏弹性本构方程$$ \begin{split}& \dot \sigma = {\dot \sigma _1} + {\dot \sigma _\eta } = {E_1}{\dot \varepsilon _1} + {\eta _1}{\ddot \varepsilon _1} = {E_1}\left( {\dot \varepsilon - \frac{{\dot \sigma }}{{{E_2}}} - \frac{\sigma }{{{\eta _2}}}} \right) +\\&\qquad {\eta _1}\left( {\ddot \varepsilon - \frac{{\ddot \sigma }}{{{E_2}}} - \frac{{\dot \sigma }}{{{\eta _2}}}} \right)\\[-12pt] \end{split} $$ (5) 式
$ \ddot \sigma $ 和$ \ddot \varepsilon $ 为$ \sigma $ 和$ \varepsilon $ 对时间的二阶导数。整理得$$ \sigma + \frac{{{\eta _2}\left( {{E_1} + {E_2}} \right)\dot \sigma + {E_2}{\eta _1}\dot \sigma }}{{{E_1}{E_2}}} + \frac{{{\eta _1}{\eta _2}}}{{{E_1}{E_2}}}\ddot \sigma = {\eta _2}\dot \varepsilon + \frac{{{\eta _1}{\eta _2}}}{{{E_1}}}\ddot \varepsilon $$ (6) 对于流变过程，
$\sigma = {\sigma _0}，\dot \sigma = 0$ ，则式（6）变成$$ \sigma = {\eta _2}\dot \varepsilon + \frac{{{\eta _1}{\eta _2}}}{{{E_1}}}\ddot \varepsilon $$ (7) 解常系数微分方程式（7）得
$$ \varepsilon = \frac{{{\sigma _0}}}{{{E_2}}} + \frac{{{\sigma _0}}}{{{\eta _2}}}t - \frac{{{\sigma _0}}}{{{E_1}}}\left[ {1 - \exp \left( { - \frac{{{E_1}t}}{{{\eta _1}}}} \right)} \right] $$ (8) 式中
$ {\sigma _0} $ 为屈服极限。但传统的Burgers模型很难体现地层含水饱和度的变化对蠕变的影响，因此要对传统Burgers模型进行修正，通过添加含水元件，研究含水饱和度与泥岩蠕变的本构关系，并对修正后的 Burgers模型进行验证，最后通过计算出的蠕变量进一步计算套管外挤力及套管形变量。
1.2 有含水饱和度的修正Burgers模型
研究区块处于地下几百米处的泥岩层，此时泥岩处于高应力作用下，在自然含水量低于1.01%时，其弹性模量与抗压强度往往较高；当进行注采开发时，注入水窜入泥岩层或者水泥环发生破裂，泥岩遇水充分接触从而使得泥岩弹性模量减小产生蠕变。一般使用Maxwell模型来表示泥岩遇水蠕变过程，其本构表达式为
$$ \varepsilon = \frac{\sigma }{E}{{\rm{e}}^{aw}} + \frac{{{\sigma ^N}}}{\eta }t{{\rm{e}}^{{{\left( {w - {w_0}} \right)}^{ - 1}}}} $$ (9) 式中，
$w$ 为泥岩含水饱和度，%；${w_0}$ 为地层原始条件下泥岩含水饱和度，%；$E，\eta ，a$ 为岩石流变参数；$N$ 为非线性指数。Maxwell模型虽然可以在一定程度上表示泥岩含水蠕变过程，但无法表示泥岩含水饱和度上升而导致的泥岩力学参数变化所导致的蠕变过渡时期，所以 Maxwell 模型有一定的缺陷。因此需要添加一个关于含水饱和度变化的元件，如图2所示。
利用多元件描述泥岩变化过程的模型为西原模型，该模型在描述软岩塑性变化过程时添加了一个应力变化元件，并将其与黏性原件并联，如图2所示。这使得西原模型可以根据应力的变化而对岩石蠕变过程进行更为精准的描述。因此，本文在添加含水饱和度变化的元件来修正Burgers模型时，选择将含水饱和度变化元件并联在Maxwell模型中，如图3所示。
结构中添加了与含水饱和度相关的元件，如果泥岩含水饱和度超过地层中自然条件下含水饱和度时，泥岩的有些特性参数会和含水饱和度一起改变，其表达式为
$$ \left. { \begin{gathered} \varepsilon = \frac{{{\sigma _0}}}{\eta }t + c,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{{\sigma _{{w_0}}} \lt {\sigma _w}} \end{array} \\ \varepsilon = \frac{{{\sigma _0}}}{E}{{\rm{e}}^{aw}}\left\{ { {1 - \exp \left[ { - \frac{E}{\eta }\left( {\frac{1}{{w - {w_0}}} - aw} \right)} \right]} } \right\},\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{{\sigma _{{w_0}}} \geqslant {\sigma _w}} \end{array} \\ \end{gathered} } \right\} $$ (10) 修正后的 Burgers模型结构如图4所示。通过添加含水元件，能更好地表示含水饱和度的改变对于泥岩特性参数以及流变性的影响，并且能够反应泥岩蠕变过程的过渡阶段，更好地描述泥岩的蠕变过程。
当
$w \lt {w_0}$ 时，改进后的 Burgers模型方程与传统的 Burgers模型方程相同；当$w \gt {w_0}$ 时,泥岩的强度参数和含水饱和度相关，因此${E_1}$ 和${\eta _1}$ 等参数与含水饱和度$w$ 有关系，其本构方程为$$ \begin{split}& \varepsilon = \frac{{{\sigma _0}}}{{{E_1}}}{{\rm{e}}^{aw}}\left\{ { {1 - \exp \left[ { - \frac{{{E_1}}}{{{\eta _1}}}\left( {\frac{1}{{w - {w_0}}} - aw} \right)t} \right]} } \right\} +\\&\qquad \frac{{{\sigma _0}}}{{{E_2}}} + \frac{{{\sigma _0}}}{{{\eta _2}}}t\\[-12pt] \end{split} $$ (11) 图5为某区块储层在修正Burgers模型下计算得出的蠕变量。可以看出，在开始蠕变时，传统Burgers模型无法完整描述蠕变过程中的瞬时蠕变阶段，而通过修正的Burgers可以看出在瞬时蠕变阶段地层蠕变量变化速率快，且在4.7 h后进入稳态蠕变阶段，应变呈线性增长。由于添加了含水饱和度元件，可以看出随着地层含水饱和度的增加，地层蠕变量随之增加，且由瞬时蠕变阶段达到稳态蠕变阶段的时间更短，当含水饱和度达到10%时，0.8 h即可达到稳态蠕变。
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图 5 传统Burgers模型与修正Burgers模型对比Figure 5. Comparison between traditional Burgers model and modified Burgers model2. 由泥岩蠕变产生的套管外挤力及套管形变量
在已知地层蠕变量的条件下，计算套管外挤力及套管形变量。建立套管—水泥环—地层组合体平面模型，如图6所示（σh表示最小水平地应力，MPa；σH表示最大水平地应力，MPa；
${p_{{r_1}}} $ 为地层蠕变条件下的套管外挤力，MPa；r0为井眼半径，mm；r1为套管外半径，mm；r2为套管内半径，mm），并做出如下假设：![]()
图 6 地层–水泥环–套管组合体系统力学模型Figure 6. Mechanical model of formation–cement–casing assembly system（1）地层、水泥环和套管三者均为各向同性、均匀连续材料；
（2）套管无内部缺陷，和水泥环一样同为厚度均匀的理想圆筒，二者均与井眼同心同轴；
（3）组合体各层之间紧密接触，无滑动；
（4）地层–水泥环–套管组合体应变变化均为平面应变状态；
（5）地层水平地应力均匀分布;
（6）地层为各向同性、均匀连续的黏弹性材料；
（7）水泥环和套管为线弹性材料;
（8）套管内无支撑压力。
2.1 套管–水泥环线弹性分析
水泥环与套管同轴同心，泥岩地层载荷p均匀分布在水泥环—套管组合体外边界上，可将该问题视作轴对称的厚壁筒问题来研究。联立厚壁筒径向位移方程与应力方程可得出组合体
${K_{\rm{s}}}$ 与井眼处位移量${u_{{r_0}}}$ ，表达式如下$$ {u_{{r_0}}} = \frac{p}{{{K_{\rm{s}}}}} $$ (12) $$ {K_{\rm{s}}} = \frac{{{f_5} - {f_3}}}{{{f_1}{f_4} + {f_2}{f_5} - {f_2}{f_3}}} $$ (13) 其中
$$ \left. { \begin{gathered} {f_1} = - \frac{{2r_1^2{r_0}\left( {1 - \mu _{\rm{b}}^2} \right)}}{{{E_{\rm{b}}}\left( {r_0^2 - r_1^2} \right)}} \\ {f_2} = \frac{{{r_0}\left( {1 + {\mu _{\rm{b}}}} \right)}}{{{E_{\rm{b}}}\left( {r_0^2 - r_1^2} \right)}}\left[ {r_1^2 + r_0^2\left( {1 - 2{\mu _{\rm{b}}}} \right)} \right] \\ {f_3} = - \frac{{{r_1}\left( {1 + {\mu _{\rm{b}}}} \right)}}{{{E_{\rm{b}}}\left( {r_0^2 - r_1^2} \right)}}\left[ {r_0^2 + r_1^2\left( {1 - 2{\mu _{\rm{b}}}} \right)} \right] \\ {f_4} = - \frac{{2r_0^2{r_1}\left( {1 - \mu _{\rm{b}}^2} \right)}}{{{E_{\rm{b}}}\left( {r_0^2 - r_1^2} \right)}} \\ {f_5} = \frac{{r_2^2{r_1}\left( {1 + {\mu _{\rm{c}}}} \right)}}{{{E_{\rm{c}}}\left( {r_1^2 - r_2^2} \right)}}\left[ {1 - \left( {1 - 2{\mu _{\rm{c}}}} \right)\frac{{r_1^2}}{{r_2^2}}} \right] \\ \end{gathered} } \right\} $$ (14) 式中，
${K_{\rm{s}}}$ 为组合体刚度，MPa；${r_0}$ 为井眼半径，mm；${\mu _{\rm{b}}}$ 为水泥环泊松比；${r_1}$ 为套管外半径，mm；${E_{\rm{b}}}$ 为水泥环弹性模量，MPa；${r_2}$ 为套管内半径，mm；${\mu _{\rm{c}}}$ 为套管泊松比；${E_c}$ 为套管弹性模量，MPa。2.2 套管–水泥环–地层组合体黏弹性分析
将套管，水泥环，地层看作一个新的厚壁筒，a 为厚壁筒内径，m； b 为厚壁筒外径，m；令
$b \to \infty $ ，则$\dfrac{a}{b} \to 0$ ，可得蠕变底层应力分量$$ \left. { \begin{gathered} {{\dot \sigma }_r} = \left( { - {p_{\rm{f}}} + p} \right)\frac{{r_0^2}}{{{r^2}}} \\ {{\dot \sigma }_\theta } = \left( {{p_{\rm{f}}} - p} \right)\frac{{r_0^2}}{{{r^2}}} \\ \end{gathered} } \right\} $$ (15) 式中，
${\dot \sigma _r}$ 为蠕变地层径向应力，MPa；${\dot \sigma _\theta }$ 为蠕变地层周向应力，MPa；${p_{\rm{f}}}$ 为地层压力，MPa；r0见图6；r为地层处某点到组合体中心距离。应用常用黏弹性模型的通式作为蠕变地层的物理方程，可得表达式
$$ {T_{{\rm{rel}}}}{\dot S_{ij}} + {S_{ij}} = 2G{e_{ij}} + 2{G_0}{T_{{\rm{rel}}}}{\dot e_{ij}} $$ (16) 式中，
$G$ 为长期剪切模量，MPa；${T_{{\rm{rel}}}}$ 为松弛时间(恒定应变下黏弹性材料发生应力松弛的时间)，h；${G_0}$ 为瞬态剪切模量，MPa；$ {\dot S_{ij}} $ 为应力变化率张量，$ {S_{ij}} $ 为应力张量；$ {\dot e_{ij}} $ 为应变率张量，$ {e_{ij}} $ 为应变张量。将式（16）中的张量张开，得到周向应力–应变的地层蠕变方程为
$$ \begin{split}& {T_{{\rm{rel}}}}\left( {{{\ddot \sigma }_\theta } - {{\ddot \sigma }_{\rm{m}}}} \right) + \left( {{{\dot \sigma }_\theta } - {{\dot \sigma }_{\rm{m}}}} \right) = 2G\left( {{{\dot \varepsilon }_\theta } - {{\dot \varepsilon }_{\rm{m}}}} \right) +\\& \qquad 2G{T_{{\rm{rel}}}}\left( {{{\ddot \varepsilon }_\theta } - {{\ddot \varepsilon }_{\rm{m}}}} \right) \end{split} $$ (17) $$ {\dot \sigma _{\rm{m}}} = \frac{{\dot \sigma + {{\dot \sigma }_r} + {{\dot \sigma }_z}}}{3} $$ (18) 式中，
${\ddot \sigma _\theta }$ 为蠕变地层周向应力对时间的二阶导数，MPa/h2；${\ddot \sigma _{\rm{m}} } $ 为蠕变地层平均应力对时间的二阶导数，MPa/h2；$ {\ddot \varepsilon _\theta } $ 为蠕变地层环向应变对时间的二阶导数，1/h2；$ {\ddot \varepsilon _{\rm{m }}} $ 为蠕变地层平均应变对时间的二阶导数，1/h2。对于平面应变问题有
$$ {\dot \sigma _z} = \mu \left( {{{\dot \sigma }_\theta } + {{\dot \sigma }_r}} \right) $$ (19) 将蠕变地层应力分量表达式（17）和式（18）代入到平均应力表达式（19）中可得
$$ {\dot \sigma _{\rm{m}}} = 0,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{{{\dot \varepsilon }_{\rm{m}}} = \dfrac{1}{{3K}}{{\dot \sigma }_{\rm{m}}} = 0} \end{array} $$ (20) 由式（20）得
$$ {\ddot \sigma _\theta } = {\ddot \varepsilon _{\rm{m}}} = 0 $$ (21) 将式（19）～式（21）代入式（16）可得
$$ {T_{{\rm{rel}}}}{\ddot \sigma _\theta } + {\dot \sigma _\theta } = 2G{\dot \varepsilon _\theta } + 2{G_0}{T_{{\rm{rel}}}}{\ddot \varepsilon _\theta } $$ (22) 由轴对称问题的几何方程可得
$$ {\dot \varepsilon _\theta } = \frac{{\dot u}}{r} $$ (23) 将式（23）代入式（22）可得
$$ {T_{{\rm{rel}}}}\frac{{r_0^2}}{{{r^2}}}\left( { - \dot p} \right) = 2G\frac{{\dot u}}{r} + 2{G_0}{T_{{\rm{rel}}}}\frac{{\ddot u}}{{{r_0}}} $$ (24) 式中
$\dot u $ 为蠕变量对时间的一阶导数，$\ddot u $ 为蠕变量对时间的二阶导数。从钻开井眼一直到固井环节结束这段时间内，泥岩具有一定量的蠕变变形，此时地层与水泥环的接触条件为
$$ u_{{r_0}}^s = {u_{{r_0}}} - {u_1} $$ (25) 式中，
$u_{{r_0}}^{\rm{s}}$ 为水泥环外壁在地层蠕变下的位移量，m；${u_1}$ 为从井眼打开到固井前的地层蠕变量，m。将式（25）代入（12）和式（13）可得
$$ \left. { \begin{gathered} u_{{r_0}}^{\rm{s}} = \frac{{{p_{{r_0}}}}}{{{K_{\rm{s}}}}} \\ \frac{1}{{{K_{\rm{s}}}}} = \frac{{{f_1}{f_4} + {f_2}{f_5} - {f_2}{f_3}}}{{{f_5} - {f_3}}} \\ \end{gathered} } \right\} $$ (26) 式中，
${p_{{r_0}}} $ 为地层蠕变条件下的组合体所受外挤压力，MPa。将式（26）和式（25）代入式（24）可得
$$ - {T_{{\rm{rel}}}}\dot p = \frac{{2G}}{{{r_0}}}\left( {\frac{{{p_{{r_0}}}}}{{{K_{\rm{s}}}}} + {u_1}} \right) + \frac{{2{G_0}{T_{{\rm{rel}}}}}}{{{r_0}}}\frac{p}{{{K_{\rm{s}}}}} $$ (27) 对一阶微分方程式（27）求解并积分可得
$$ \left( {2G + {r_0}{K_{\rm{s}}}} \right)p - \left( {{r_0}p - 2G{u_1}} \right){K_{\rm{s}}} = A{{\rm{e}}^{ -\textstyle \frac{\beta }{{{T_{{\rm{rel}}}}}}t}} $$ (28) 取初始条件
${\left. p \right|_{t = 0}} = 0$ ，代入式（28）可得$$ A = - \left( {{r_0}p - 2G{u_1}} \right){K_{\rm{s}}} $$ (29) 再把式（29）反代入式（27），可以得到水泥环–套管组合体所受地层载荷为
$$ p = \frac{{\left( {{r_0}{p_0} - 2G{u_1}} \right){K_{\rm{s}}}}}{{2G + {r_0}{K_{\rm{s}}}}}\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - \textstyle\frac{\beta }{{{T_{{\rm{rel}}}}}}t}}} \right) $$ (30) 水泥环外壁位移为
$$ {u'_{{r_0}}} = \frac{{{r_0}\left( {p + {K_{\rm{s}}}{u_1}} \right)}}{{2G + {r_0}{K_{\rm{s}}}}} - \frac{{{r_0}p - 2G{u_1}}}{{2G + {r_0}{K_{\rm{s}}}}}{{\rm{e}}^{ - \textstyle\frac{\beta }{{{T_{{\rm{rel}}}}}}t}} $$ (31) 由套管外壁处的位移连续条件，最终得到地层蠕变条件下的套管外挤力为
$$ \begin{split}& {p_{{r_1}}} = \frac{{{f_4}}}{{{f_5} - {f_3}}}{p_{{r_0}}} =\\&\qquad \frac{{\left( {{r_0}p - 2G{u_1}} \right){K_{\rm{s}}}}}{{\left( {{f_5} - {f_3}} \right)\left( {2G + {r_0}{K_{\rm{s}}}} \right)}}\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - \textstyle\frac{\beta }{{{T_{{\rm{rel}}}}}}t}}} \right) \end{split}$$ (32) 由套管外挤力可以计算出蠕变条件下，套管的形变量
$$ {\begin{split}& {u_r} = \frac{{pr}}{{2\left( {\lambda + G} \right)}} - \frac{{{p_{{r_1}}}r_2^2}}{{2\left( {r_2^2 - r_1^2} \right)}}\left( {\frac{r}{{\lambda + G}} + \frac{{r_1^2}}{{Gr}}} \right),\\&\qquad{r_1} \leqslant r \leqslant {r_2}\\[-12pt] \end{split}} $$ (33) 3. 泥岩蠕变引起套管缩径的影响因素分析
求解前两部分建立的模型，得出理论解，发现有以下四个因素对某区块储层蠕变条件下的套管形变可能有较大影响：（1）套管壁厚；（2）套管尺寸；（3）水泥环弹性模量；（4）地层含水饱和度。结合现场数据以及泥岩储层条件下的修正Burgers模型参数，利用数值模拟得出结果并对以上影响因素进行分析。
3.1 模型计算所用参数确定
套管–水泥环–地层数值模型所用物理参数如表1所示。带有含水饱和度的修正Burgers模型在不同含水饱和度下的黏性系数与弹性系数为非定常数，泥岩储层中不同含水饱和度所对应的黏弹性系数，具体参数如表2所示。
表 1 套管–水泥环–地层物理力学参数Table 1. Physical and mechanical parameters of casing–cement sheath–formationCement sheath Mudstone Casing elasticity modulus/GPa 20 14.9 201 Poisson's ratio 0.2 0.24 0.26 internal friction angle/(°) / 30 / cohesion/MPa / 15 / 表 2 修正Burger模型计算参数Table 2. Modify Burger model calculation parameters$w/\% $ Axial
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MPa${E_1}/ $$ {\rm{MPa}}$ ${E_2}/ $$ {\rm{MPa}}$ ${\eta _1}/ $$ \left( { {\text{GPa} } \cdot {\text{h} } } \right)$ ${\eta _2}/ $$ \left( { {\text{GPa} } \cdot {\text{h} } } \right)$ $a$ 2 3 5.312 16.013 6034.3 657.4 5.374 6 3 4.945 10.786 1 738.95 443.8 2.082 10 3 4.753 5.549 83.76 261.3 0.014 3.2 各因素对套管形变量的影响
3.2.1 套管壁厚对套管形变量的影响
由图7计算结果看出，在其他影响因素不变的情况下，随着套管壁厚增加，套管形变量减小，减小幅度较大，且与地层蠕变同步；在瞬时蠕变阶段，套管形变呈加速增加趋势，4.7 h后进入稳定蠕变阶段后，形变量稳定增加。由此可知，套管壁厚对套管形变量是一重要影响因素。
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图 7 含水饱和度2%，6%，10%时不同壁厚套管形变量Figure 7. Casing shape variable with different wall thickness when water saturation is 2%, 6% and 10%3.2.2 套管尺寸对套管形变量的影响
其中套管外径尺寸为114.3 mm和139.7 mm时，套管壁厚均为7.72 mm，套管外径尺寸为177.8 mm时，套管壁厚为10.34 mm。
由图8计算结果看出，在其他影响因素不变的情况下，随着套管尺寸增加，在壁厚不变的情况下，套管形变量几乎不变，且与地层蠕变同步；在瞬时蠕变阶段，套管形变呈加速增加趋势，4.7 h进入稳定蠕变阶段后，形变量稳定增加。只有当套管壁厚变化时，形变量才会有所变化。由此可知，套管尺寸的大小变化对套管形变量几乎没有影响。
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图 8 含水饱和度2%，6%，10%时不同套管尺寸套管形变量Figure 8. Casing shape variables of different casing sizes when water saturation is 2%, 6% and 10%3.2.3 水泥环弹性模量对套管形变量的影响
由图9计算结果看出，在其他影响因素不变的情况下，随着水泥环弹性模量增加，套管形变量增大，增大幅度较大，且与地层蠕变同步；在瞬时蠕变阶段，套管形变呈加速增加趋势，4.7 h进入稳定蠕变阶段后，形变量稳定增加。说明水泥环弹性模量是影响套管形变的重要因素。
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图 9 含水饱和度2%，6%，10%时不同水泥环弹性模量套管形变量Figure 9. Casing shape variables with different elastic modulus of cement ring when water saturation is 2%, 6% and 10%3.2.4 地层含水饱和度对套管形变量的影响
由图10计算结果看出，在其他影响因素不变的情况下，由于注水开发后的地层含水饱和度大于原始地层含水饱和度，所以随着含水饱和度的增加，套管形变量增加，且形变量差呈扩大趋势。但在4.7 h之前，由于瞬时蠕变阶段泥岩蠕变速率因含水饱和度的不同而不同，套管形变量反而随含水饱和度的增加而减小，在11.2 h时形变量反追，并在稳定蠕变阶段影响下呈线性上升。
通过上述分析结果可以看出，带有含水饱和度元件的修正Burgers模型在处理某区块储层随含水饱和度变化的蠕变特性时，相比传统蠕变模型更加精准，其能够展示出随含水饱和度变化的瞬时蠕变阶段的特性，从而提高瞬态蠕变之后稳态蠕变阶段地层蠕变量计算结果的精准度，对该区块泥岩段套变规律的分析提供理论支撑，同时对套管及水泥环参数的选取提供依据。
4. 结论
（1）通过加入含水元件，对传统Burgers模型进行修正，并通过与研究区块对比证明模型的可靠性。
（2）在地层蠕变条件下，套管壁厚、水泥环弹性模量是影响套管形变的重要因素，套管尺寸对套管形变影响不大。因此，适当增加套管壁厚、减小水泥环弹性模量可减小地层蠕变对套管带来的影响。
（3）4.7 h后地层由瞬时蠕变阶段达到稳态蠕变阶段，且随地层含水饱和度的增加，瞬时蠕变阶段时间逐渐减少。11.2 h是套管变形的临界时间点，在11.2 h前，地层含水量越低，套管变形量越大；在11.2 h后，地层含水量越高，套管变形量越大。
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图 5 传统Burgers模型与修正Burgers模型对比
Figure 5. Comparison between traditional Burgers model and modified Burgers model
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图 6 地层–水泥环–套管组合体系统力学模型
Figure 6. Mechanical model of formation–cement–casing assembly system
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图 7 含水饱和度2%，6%，10%时不同壁厚套管形变量
Figure 7. Casing shape variable with different wall thickness when water saturation is 2%, 6% and 10%
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图 8 含水饱和度2%，6%，10%时不同套管尺寸套管形变量
Figure 8. Casing shape variables of different casing sizes when water saturation is 2%, 6% and 10%
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图 9 含水饱和度2%，6%，10%时不同水泥环弹性模量套管形变量
Figure 9. Casing shape variables with different elastic modulus of cement ring when water saturation is 2%, 6% and 10%
表 1 套管–水泥环–地层物理力学参数
Table 1 Physical and mechanical parameters of casing–cement sheath–formation
Cement sheath Mudstone Casing elasticity modulus/GPa 20 14.9 201 Poisson's ratio 0.2 0.24 0.26 internal friction angle/(°) / 30 / cohesion/MPa / 15 / 
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表 2 修正Burger模型计算参数
Table 2 Modify Burger model calculation parameters
$w/\% $ Axial
load/
MPa${E_1}/ $$ {\rm{MPa}}$ ${E_2}/ $$ {\rm{MPa}}$ ${\eta _1}/ $$ \left( { {\text{GPa} } \cdot {\text{h} } } \right)$ ${\eta _2}/ $$ \left( { {\text{GPa} } \cdot {\text{h} } } \right)$ $a$ 2 3 5.312 16.013 6034.3 657.4 5.374 6 3 4.945 10.786 1 738.95 443.8 2.082 10 3 4.753 5.549 83.76 261.3 0.014
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