力学与实践, 2022, 44(1): 30-35 DOI: 10.6052/1000-0879-21-229

应用研究

圆柱壳结构的转角自由度频响函数估计方法研究1)

李旭龙*, 张忠†, 董俊辉**, 魏莎,*,††,2), 陈立群*,†

*上海大学力学与工程科学学院,上海 200444

†北京强度环境研究所可靠性与环境工程技术重点实验室,北京 100076

**哈尔滨工业大学(深圳)理学院,深圳 518055

††上海市应用数学和力学研究所,上海 200072

RESEARCH ON ESTIMATION METHOD OF FREQUENCY RESPONSE FUNCTION FOR ROTATIONAL DEGREE OF FREEDOM OF CYLINDRICAL SHELL STRUCTURES1)

LI Xulong*, ZHANG Zhong†, DONG Junhui**, WEI Sha,*,††,2), CHEN Liqun*,†

*School of Mechanics and Engineering Science, Shanghai University, Shanghai 200444, China

†Science and Technology on Reliability and Environment Engineer Laboratory, Beijing Institute of Structure and Environment Engineering, Beijing 100076, China

**School of Science, Harbin Institute of Technology, Shenzhen, Shenzhen 518055, China

††Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai 200072, China

通讯作者: 2)魏莎,副研究员,研究方向为非线性动力学与结构优化。E-mail:s_wei@shu.edu.cn

责任编辑: 王永会

收稿日期: 2021-06-10   修回日期: 2021-08-13  

基金资助: 1)国家自然科学基金(12072181)
国家自然科学基金(11702170)
机械系统与振动国家重点实验室课题(MSV202105)

Received: 2021-06-10   Revised: 2021-08-13  

作者简介 About authors

摘要

频响函数子结构综合方法是工程设计的重要途径。对于子结构综合方法中界面转角自由度不匹配问题,本文采用界面刚性等效方法解决该问题。对于工程中常见的圆柱壳结构,本文通过数值仿真和试验研究验证了该方法在此类结构中获取转角自由度信息的可行性。将估计得到的与转角自由度相关的频响函数结果与有限元仿真结果进行对比,结果表明界面刚性等效方法具有较高的计算精度,可用于频响函数子结构综合方法。

关键词： 转角自由度; 界面刚性等效方法; 圆柱壳结构; 有限元

Abstract

Substructure synthesis method based on frequency response function is an important way of engineering design. This study employs the equivalent multi-point connection (EMPC) method to solve the problem of the mismatch of the rotational degree of freedom of the interface in the substructure synthesis method. The feasibility of this method for the estimation of frequency response function of rotational degree of freedom in cylindrical shell structures is verified by numerical simulation and experimental study. Frequency response functions related to rotational degree of freedom calculated by the EMPC method are compared with results of finite element simulation. Results show that the EMPC method has high accuracy and can be used in the substructure synthesis method based on frequency response function.

Keywords： rotational degree of freedom; equivalent multi-point connection method; cylindrical shell structure; finite element

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本文引用格式

李旭龙, 张忠, 董俊辉, 魏莎, 陈立群. 圆柱壳结构的转角自由度频响函数估计方法研究1). 力学与实践, 2022, 44(1): 30-35 DOI:10.6052/1000-0879-21-229

LI Xulong, ZHANG Zhong, DONG Junhui, WEI Sha, CHEN Liqun. RESEARCH ON ESTIMATION METHOD OF FREQUENCY RESPONSE FUNCTION FOR ROTATIONAL DEGREE OF FREEDOM OF CYLINDRICAL SHELL STRUCTURES1). Mechanics in Engineering, 2022, 44(1): 30-35 DOI:10.6052/1000-0879-21-229

近年来,随着航空航天、船舶和机械等工程领域的迅速发展,越来越多的复杂结构被运用于工程实际,这对其结构动态分析结果的准确性提出了更高的要求。目前,针对大型复杂结构展开有限元仿真计算,需要耗费大量的计算成本,不利于复杂结构中部件的优化设计,频响函数子结构方法为该问题提供了解决思路。该方法将复杂结构进行子结构划分,并对每个子结构进行动态特性分析,最后根据位移协调条件和界面力平衡条件求得整体结构的动态特性[1-2]。同时,相较于模态综合方法,其无需考虑剩余模态和主模态个数的限制,适用于模态密集和较大阻尼结构。但该方法同样须克服诸多难题,在实验测试过程中由于无法进行纯弯矩激励且一般传感器无法对转角自由度数据进行测量,因此转角自由度信息的获取成为了难题之一。

许多学者针对实验测试中存在的转角自由度信息缺失问题展开了相关研究。Liu等[3]详细讨论了转角自由度信息在频响函数子结构综合方法中的重要性,并指出不考虑该信息进行综合会导致错误的综合结果。Duarte等[4]采用有限差分法获取了与转角自由度相关的频响函数,具有较高的计算精度,但该方法对试验件的结构有较高要求。Avitabile等[5]采用测试得到的平动自由度信息进行模态参数识别,并将计算得到的模态振型和残余模态进行扩展从而得到相应的转角自由度频响函数。de Klerk等[6]提出界面刚性等效方法,假设连接点处的多个拾振点位于同一刚体区域内,通过耦合多个拾振点的平动自由度信息计算得到连接点的转角自由度信息,避免了转角自由度的直接测量。

本文介绍了界面刚性等效方法的基本理论,并将该方法用于圆柱壳结构的转角自由度信息缺失问题。通过对圆柱壳结构的数值仿真和实验研究,验证了该方法的可行性。此外,结果表明该方法的计算结果具有较高的精度,可用于频响函数子结构综合方法的研究。

1 界面刚性等效方法

1.1 基本理论

界面刚性等效(equivalent multi-point connection, EMPC)方法[6-8]将子结构连接界面视为刚性面,按刚体运动理论对界面进行刚性等效。通过耦合连接点附近的多个平动自由度信息,进行子结构连接点转角自由度信息的近似估计。以对接圆柱壳结构为例,可根据连接特性将其分为子结构A和B。由系统输入、输出关系,可得到子结构的频率响应方程为[9-10]

$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {u_{{c}} } \\ {u_{{i}} } \\ \end{array} }} \right]^{{\rm a}}=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {{H}_{{cc}} } & {H_{{ci}} } \\ {H_{{ic}} } & {H_{{ii}} } \\ \end{array} }} \right]^{{\rm a}}\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {f_{{c}} } \\ {f_{i} } \\ \end{array} }} \right]^{{\rm a}}$

其中,$u$子结构响应,$f$为节点力,$H$为频响函数;下标${i}$和${c}$分别表示子结构的内部与界面自由度;上标${\rm a}$表示子结构A。

式(1)还可表示为

$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {{u}_{{c}} } \\ {{u}_{{i}} } \\ \end{array} }} \right]=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {{R}} & {{0}} \\ {{0}} & {{E}} \\ \end{array} }} \right]\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {{u}_{{\rm eq}} } \\ {{u}_{{i}} } \\ \end{array} }} \right]+\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {{\mu }} \\ {{0}} \\ \end{array} }} \right]$

为叙述方便,式(2)省略上标a。其中,${R}$为描述界面主模态信息的变换矩阵,${E}$为单位矩阵,${u}_{{\rm eq}} $为界面主自由度响应,${\mu }$为剩余自由度响应。

令式(2)中$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {{u}_{{c}} } \\ {{u}_{{i}} } \\ \end{array} }} \right]={u}$,$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {{u}_{{\rm eq}} } \\ {{u}_{{i}} } \\ \end{array} }} \right]={\tilde{{u}}}$,$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {{R}} & {{0}} \\ {{0}} & {{E}} \\ \end{array} }} \right]={G}$,$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {{\mu }} \\ {{0}} \\ \end{array} }} \right] = {\gamma }_{{\rm u}} $,可得到

${u}={G\tilde{{u}}}+{\gamma }_{{\rm u}}$

此时,利用剩余自由度响应与界面主模态信息的正交关系(${G}^{{\rm T}}{\gamma }_{{\rm u}} ={\bf0})$,可从式(3)中提取剩余自由度响应。子结构A和B的原自由度响应便可由变换矩阵${R}$进行表达,经过简化运算可得[8]

${\tilde{{H}}}{\rm =}{YHY}^{{\rm T}}$

其中${Y}=\left( {{G}^{{\rm T}}{G}} \right)^{{\rm -1}}{G}^{{\rm T}}$。

经过界面刚性等效变换得到的频响函数矩阵${\tilde{{H}}}$包含了连接点的转角自由度信息。至此,便获取了子结构A和B的转角自由度信息。根据Jetmundsen子结构频响综合方法[2],子结构A和B综合后的频响函数矩阵$_{{\rm C}}{H}$可写为

$_{{\rm C}} {H}=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {_{{\rm A}} {H}_{{ii}} } & {_{{\rm A}} {H}_{{ic}} } & {{0}} \\ {_{{\rm A}} {H}_{{ci}} } & {_{{\rm A}} {H}_{{cc}} } & {{0}} \\ {{0}} & {{0}} & {_{{\rm B}} {H}_{{ii}} } \\\end{array} }} \right]-\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {_{{\rm A}} {H}_{{ic}} } \\ {_{{\rm A}} {H}_{{cc}} } \\ {-_{{\rm B}} {H}_{{ic}} } \\ \end{array} }} \right]\cdot \\ \left[ {_{{\rm A}} {H}_{{\rm cc}} +_{{\rm B}}\!{H}_{{cc}} } \right]^{{\rm -1}}\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {_{{\rm A}} {H}_{{ic}} } \\ {_{{\rm A}} {H}_{{cc}} } \\ {-_{{\rm B}} {H}_{ic} } \\ \end{array} }} \right]^{{\rm T}}$

为简要说明界面刚性等效方法中变换矩阵${R}$的构成,以每个连接点附近布置三个三轴加速度传感器的典型配置为例,如图1所示。该结构由子结构A和B组成,连接界面为1$\sim$3号节点组成的平面,两子结构在界面处完全固结。将1$\sim$3号节点的拾振点通过符号$k$ $(k=1,2,3)$表示,每个拾振点仅包含3个平动自由度。

图1

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图1   对接结构示意图

Fig. 1   Schematic diagram of docking structure


单个拾振点$k$的测量数据方向可用标准正交向量表示为

$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {e_{x}^{k} } & {e_{y}^{k} } & {e_{z}^{k} } \\ \end{array} }} \right]={E}^{k}$

拾振点$k$至界面原点的距离可由$r^{k}$表示,则可建立的运动学方程为

$\begin{align} \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {u_{x}^{k} } \\ {u_{y}^{k} } \\ {u_{z}^{k} } \\\end{array} }} \right]=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {e_{x,X}^{k} } & {e_{x,Y}^{k} } & {e_{x,Z}^{k} } \\ {e_{y,X}^{k} } & {e_{y,Y}^{k} } & {e_{y,Z}^{k} } \\ {e_{z,X}^{k} } & {e_{z,Y}^{k} } & {e_{z,Z}^{k} } \\ \end{array} }} \right]\cdot \\ \left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 & {r_{Z}^{k} } & {-r_{Y}^{k} } \\ 0 & 1 & 0 & {-r_{Z}^{k} } & 0 & {r_{X}^{k} } \\ 0 & 0 & 1 & {r_{Y}^{k} } & {-r_{X}^{k} } & 0 \\ \end{array} }} \right]\cdot \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {q_{X}^{v} } \\ {q_{Y}^{v} } \\ {q_{Z}^{v} } \\ {q_{\theta_{X} }^{v} } \\ {q_{\theta_{Y} }^{v} } \\ {q_{\theta_{Z} }^{v} } \\ \end{array} }} \right]+\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {\mu_{x}^{k} } \\ {\mu_{y}^{k} } \\ {\mu_{z}^{k} } \\ \end{array} }} \right] \end{align}$

令$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} 0 & {r_{Z}^{k} } & {-r_{Y}^{k} } \\ {-r_{Z}^{k} } & 0 & {r_{X}^{k} } \\ {r_{Y}^{k} } & {-r_{X}^{k} } & 0 \\ \end{array} }} \right]={L}_{k}$,其为拾振点$k$在子结构坐标系中的坐标方阵(反对称阵)。则变换矩阵$R$为

${R}=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {{E}} & {{L}_{1} } \\ \vdots & \vdots \\ {{E}} & {{L}_{3} } \\ \end{array} }} \right]$

其中,${E}$为单位矩阵。

1.2 界面刚性指数

基于上述理论,可通过连接点附近多个拾振点所组成的局部变形模态对界面连接点转角自由度信息进行近似估计。如果拾振点选取不当将直接导致估计精度的降低。de Klerk定义的界面刚性指数可作为拾振点选取优劣的评判依据[6,11]。通过子结构连接界面的原自由度响应与转换得到的等效自由度响应的比值,判断局部变形模态是否能够较好地描述界面连接点。不考虑内部点自由度响应,由式(3)可得

${\rm Rigidness}=\frac{\left\| {{\tilde{{u}}}} \right\|}{\left\| {{u}}\right\|}{\rm =}\frac{\left\| {{R}({R}^{{\rm T}}{R})^{{\rm -1}}{u}_{{c}} } \right\|}{\left\| {{u}_{{c}} }\right\|}$

当界面完全刚性时,根据刚体运动特点可知剩余自由度响应${\mu }$趋近于零。此时,界面等效自由度响应${\tilde{{u}}}$趋近于原自由度响应${u}$,则界面刚性指数接近“1”,也就是说界面连接点可以被较好地描述,反之则描述效果较差。同样以图1所示结构为例说明界面刚性指数的计算过程。

令内部节点力${f}_{{\rm i}} ={\bf0}$,可得

${u}_{{c}} ={H}_{{cc}} {f}_{{c}}$

假定界面拾振点激励${f}_{{c}} $均为白噪声,则界面节点力${f}_{{c}} =[{\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & 1 \\ \end{array} }]^{{\rm T}}$,将其代入式(2)可得到界面原自由度响应为

${u}_{{c}} =\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {{H}_{{\rm 11}} } & {{H}_{12} } & {{H}_{13} } \\ {{H}_{21} } & {{H}_{22} } & {{H}_{23} } \\ {{H}_{31} } & {{H}_{32} } & {{H}_{33} } \\ \end{array} }} \right]\left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} }} \right]= \\ \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {{H}_{11} +{H}_{12} +{H}_{13} } \\ {{H}_{21} +{H}_{22} +{H}_{23} } \\ {{H}_{31} +{H}_{32} +{H}_{33} } \\\end{array} }} \right]$

其中,下标1$\sim$3为拾振点编号。

将式(8)、式(3)代入式(1)便可得到子结构连接界面刚性指数。

2 圆柱壳结构数值仿真研究

2.1 仿真模型

将界面刚性等效方法应用于对接圆柱壳结构。仿真过程中采用ABAQUS有限元分析软件对圆柱壳结构进行频响函数的计算,以下称作“有限元频响”。同时,为模拟实验条件下界面转角自由度信息不可测的情况,采用EMPC方法耦合多个拾振点的平动自由度信息以进行界面连接点转角自由度信息的近似估计,以下称作“EMPC计算频响”。图2为圆柱壳结构的连接界面示意图,其中1$\sim$3号点为待耦合的拾振点,4号点为待估计的界面连接点。

图2

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图2   圆柱壳结构连接界面示意图

Fig. 2   Schematic diagram of the connection interface of cylindrical shell structure


由于EMPC理论基于界面刚性假设,故选取三个较为靠近界面连接点的位置作为拾振点。以法兰盘为坐标原点,则三点坐标分别为：1(163.3, 13.2, 0),2(185, 0, 0),3(163.3, $-$13.2, 0),通过式(8)便可组成变换矩阵${R}$。

2.2 仿真结果及分析

通过EMPC方法耦合1$\sim$3号点的线自由度信息,可对4号连接点进行转角自由度信息的近似估计。同时,将EMPC计算频响与有限元频响进行对比,如表1所示为二者的峰值误差与峰值处频率误差汇总。

表1   EMPC计算频响与有限元频响结果的频率误差和峰值误差汇总表

Table 1  Summary of frequency errors and peak errors of FRF calculated by EMPC method and finite element method

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从表1所得的相对误差可以看出,EMPC计算频响与有限元频响吻合较好,其最大峰值误差为2.67 dB,峰值处的频率误差为0 Hz,均在误差允许范围内。结果表明界面刚性等效方法可以近似估计圆柱壳结构界面连接点的转角自由度信息。

3 圆柱壳结构试验研究

3.1 实验模型及测试方案

为进一步验证界面刚性等效方法的正确性及其在对接结构中的有效性,采用上述方法对图3所示的圆柱壳结构进行界面转角自由度信息的近似估计,其中1$\sim$4号点为界面连接点。圆柱壳结构的基本参数信息为：筒壁内径$D_{1}=292$ mm,筒壁外径$D_{2}=300$ mm,筒壁长度$L=500$ mm,法兰厚度$b=30$ mm,法兰外伸长度$h=35$ mm。

图3

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图3   圆柱壳结构示意图

Fig. 3   Schematic diagram of cylindrical shell structure


3.2 实验结果及分析

为正确评估EMPC计算频响的正确性,需结合圆柱壳结构模态振动特性,故本节开展了该结构的实验模态测试与分析[12]。实验过程中通过弹性绳进行圆柱壳结构自由边界的实验实现,采用单点激励多点响应形式,利用冲击力锤施加脉冲激励,力传感器信号和拾振点处的三轴加速度传感器信号反馈给数据采集系统。数据采集系统结合输入和输出信号进行曲线拟合,从而识别系统模态参数,试验模态测试系统如图4所示。

图4

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图4   实验模态测试系统示意图

Fig. 4   Schematic diagram of experimental modal test system


依次对112个测点进行径向激励并对对应的频响函数进行5次有效值平均,计算得到前6阶固有频率及阻尼比,如表2所示,其中$m$和$n$分别表示轴向波数与周向半波数。

表2   圆柱壳结构前6阶模态参数

Table 2  The first six modal parameters of cylindrical shell structure

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由表2可以发现,带有法兰的圆柱壳结构仍然保留了薄壳振动的大多数特点：(1)呼吸振型,其轴向和周向都呈现出周期波的特点;(2)其周向的半波数和轴向波数随着模态阶数的增加而呈增加趋势,第3阶、第5阶模态虽出现了周向半波数减少的情况,但总体上看其仍满足上述规律,表现为圆柱壳结构的一般振动特性。

基于上述对圆柱壳结构模态参数的求解,现对1$\sim$4号连接点采用图2所示的拾振点布置,布置结果如图5所示。同时,为验证拾振点布置的合理性,可根据Klerk定义的界面刚性指数进行计算[6,11],计算结果如图6所示。

图5

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图5   拾振点布置示意图

Fig. 5   Schematic diagram of pick-up point layout


图6

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图6   界面刚性指数计算结果(Klerk方法)

Fig. 6   Calculation result of interface rigidness (Klerk method)


通过图6结果可以看出：(1)整个界面的刚性指数随着频率的增加而有所降低,说明拾振点布置是合理的;(2) 250$\sim$400 Hz,500$\sim$700 Hz频段处的界面刚性指数较小,界面连接点可能无法得到较好的描述,导致上述频段的频响综合结果较差。上述结论验证了其布置的合理性,由于该过程所用的数据均为实验实测获得,故仍需进行计算精度验证。

进一步对上述连接点转角自由度信息进行EM-PC方法的近似估计。为便于叙述,将基于实验频响函数EMPC计算得到的连接点频响函数称为“EMPC计算频响”。表3为1号连接点EMPC计算频响与有限元频响的频率误差和峰值误差汇总表。由于500$\sim$700 Hz频段界面刚性指数较差,故不对该频段进行讨论。

表3   EMPC计算频响与有限元频响的频率误差和峰值误差汇总表

Table 3  Summary of frequency error and peak error of FRF calculated by EMPC method and finite element method

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通过表3结果可以看出,EMPC计算频响在各阶固有频率处均有峰值存在。将其与有限元频响进行对比可以发现,二者的频率误差最大为6 Hz (1.68%)、峰值误差最大为1.29 dB,二者具有较高的一致性。因此可得结论：(1)EMPC方法同样适用于圆柱壳结构;(2)将实验频响函数进行EMPC计算得到转角自由度信息具有较高的计算精度,可用于子结构混合建模的研究。

4 结论

本文介绍了界面刚性等效方法,并将其运用于圆柱壳结构的转角自由度信息估计问题。为验证界面刚性等效方法的可行性与计算精度,对圆柱壳结构进行了数值仿真和实验研究,基于上述结果可得结论：(1)界面刚性等效方法可以近似估计连接点的转角自由度信息且可用于圆柱壳结构;(2)圆柱壳结构连接点经过界面刚性等效方法计算后,其结果与有限元结果相吻合,具有较高的计算精度;(3)经界面刚性等效方法计算得到的转角自由度信息可用于子结构混合建模研究,以提高混合建模精度。

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