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2022-1 图1所示平面系统位于铅垂平面内,均质直角弯杆$ABC$在$C$处与均质直杆$CD$铰接,在$A$处与固定支座铰接。已知直角弯杆的$AB$、$BC$段及杆$CD$长均为$l$,直角弯杆质量为$2m$,杆$CD$质量为$2.5m$。求：

(1) 系统的稳定平衡位置(用$AB$,$CD$与铅垂线的交角$\alpha$,$\beta$表示);

(2) 系统在稳定平衡位置作微振动的线性微分方程及系统的主频率。(供稿：张孝祖,江苏大学)

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问题： 如图1所示,一船(可以看作一点)在北半球以匀速度$v$并始终与经线成$\theta$角的方向向南偏东航行,已知地球半径为$R$,船所在地的纬度为$\varphi$。试用刚体定点运动知识求船相对于地球的加速度。

(选自上海交通大学吴镇编《理论力学》上册11-24题,江苏大学张孝祖改编并提供答案)

解答： 如图2所示,建立坐标系$Oxyz$,$O$为地心,$Oxy$为赤道平面,$Oyz$为船所在子午面,$Ox$轴垂直于子午面,$Oz$轴垂直于赤道平面。${i}$,${j}$和${k}$分别为$Ox$轴、$Oy$轴和$Oz$轴的单位矢量。船$M$的速度${v}$分解为切于纬度圆的速度$v\sin \theta $和切于经度圆的速度$v\cos \theta $,船$M$所在纬度圆半径为$R\cos \varphi $,经度圆半径为$R$。

船在地球的球面上运动,为求船的加速度,该船可设想为绕地心$O$作定点运动某刚体上的一点。由船的速度分析可知,该“刚体”的角速度矢为

注意到船运动时纬度$\varphi $为变量,有 $\dot{{\varphi }}=-{v\cos \theta }/{R}$,“$-$”号表示船向南运动纬度减小。船运动时船所在子午面以角速度$({v\sin \theta }/{R\cos \varphi }){k}$绕$Oz$轴转动,故单位矢量${i}$的导数${\dot{{i}}}=({v\sin \theta }/{R\cos \varphi }){k}\times {i}=({v\sin \theta }/{R\cos \varphi }){j}$,单位矢量${k}$的导数${\dot{{k}}}={\bf0}$。

对式(1)求导,得该“刚体”的角加速度矢为

${\varepsilon }=\frac{{\rm d}{\omega }}{{\rm d}t}=(-\frac{v\cos \theta }{R}){\dot{{i}}}+(\frac{v\sin \theta }{R}\frac{\sin \varphi }{\cos^{2}\varphi }\dot{{\varphi }}){k}+\\ (\frac{v\cos \theta }{R\cos \varphi }){\dot{{k}}}$

将${\dot{{i}}}$,$\dot{{\varphi }}$及${\dot{{k}}}$的关系式代入,得

船$M$的矢径

船的加速度${a}={\varepsilon }\times {r} +{\omega }\times ({\omega }\times {r} )$,将式(1)$\sim$式(3)代入计算可得

$\begin{aligned} \boldsymbol{a}=&-\frac{v^{2}}{R}(\sin \theta \cos \theta \tan \varphi) \boldsymbol{i}-\\ & \frac{v^{2}}{R}\left(\cos ^{2} \theta \cos \varphi+\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \varphi}\right) j-\frac{v^{2}}{R}\left(\cos ^{2} \theta \sin \varphi\right) \boldsymbol{k} \end{aligned}$

船的加速度大小为

$\begin{align} a=\frac{v^{2}}{R}\bigg(\sin^{2}\theta \cos^{2}\theta \tan^{2}\varphi +\cos^{4}\theta \cos^{2}\varphi +\\ 2\sin^{2}\theta \cos^{2}\theta +\frac{\sin^{4}\theta }{\cos^{2}\varphi }+\cos^{4}\theta \sin^{2}\varphi\bigg)^{1/2}=\\ \frac{v^{2}}{R}\sqrt {1+\sin^{2}\theta \tan^{2}\varphi } \end{align}$