结构力学课程中,结构的几何构造分析是重要的基础内容。在二维结构的几何构造分析中,最基本的规律是铰接三角形规律^[1]。铰接三角形规律通常表述为三个基本规则：两刚片规则、三刚片规则、二元体规则^[2-4]。仅仅使用三个基本规则进行结构的几何构造分析,会遇到两个问题,第一个问题是,一些“繁杂问题”的分析过程繁琐复杂,冗长且不直观;第二个问题是,一些“困难问题”仅仅使用这三个基本规则不足以得出正确结论,不得不使用零载法等超出教学大纲的非常规方法。经过多年探索,作者归纳出四个不证自明、浅显易懂的辅助规则,配合三个基本规则,可以使很多“繁杂问题”的分析过程得到简化,也可以使一些“困难问题”得以分析。

在任意体系中,固定铰支座与轴线不重合的两个单链杆支座作用等效,两者相互替代,体系的几何构造分析结论不变。该辅助规则非常容易理解。例如,图1(a)中,$A$处固定铰支座的作用是使$AB$杆的$A$端在水平方向和铅直方向的线位移为0,因而,$A$端在任何方向上的线位移都等于0。图1(b)中$A$处的两个单链杆支座,使$A$端在两个单链杆轴线方向上的线位移等于0,进而,$A$端在任何方向上的线位移都等于0。可见,固定铰支座与轴线不重合的两个单链杆支座的作用效果完全相同,可以相互替代。事实上,图1(a)中$A$处的固定铰支座也可以理解为水平方向和铅直方向上的两个单链杆支座。

几何不变体系中,单链杆支座(也叫支杆)移动到与其轴线重合的一个直杆或者多个铰接共线直杆上的任意不与其他轴向约束重合的位置,体系的几何构造分析结论不变。例如,图2(a)所示体系为没有多余联系的几何不变体系,$AB$杆和$BC$杆是铰接共线直杆,将$A$处水平单链杆支座沿$AB$和$BC$直杆移动到$C$处以后,得到图2(b)所示体系,该体系仍为没有多余联系的几何不变体系。

顺便指出,辅助规则II的思想在文献[5]中有过萌芽和初步应用,内容表述为：“结论4：与一杆共线的支杆可以由其一端滑移到另一端,其约束作用不变。”

在几何不变体系中,一个单链杆支座(也叫支杆)的长度发生改变,体系的几何构造分析结论不变。该辅助规则也非常容易理解,因为,在几何不变体系中,无论单链杆支座的长度是多少,其作用都是约束支撑点在链杆轴线方向的线位移。例如,图3(a)所示体系为没有多余联系的几何不变体系,将$A$处的铅直单链杆支座变长,同时将$B$处的铅直单链杆支座变短,得到图3(b)所示体系,该体系仍为没有多余联系的几何不变体系。

在任意体系中,两个刚片之间的两个平行等长链杆,将其中的一个平行移动到不与其他链杆轴线重合的位置,体系的几何构造分析结论不变。图4(a)所示体系为没有多余联系的几何不变体系,将$BCD$杆和基础视为两个刚片,它们之间有两个平行等长链杆,将$C$处链杆平行移动到$B$处,得到图4(b)所示体系,该体系仍为没有多余联系的几何不变体系。

需要特别注意的是,在“辅助规则II”和“辅助规则III”的表述中,强调了应用范围是“在几何不变体系中”。实际上,这两个辅助规则也适用于绝大部分瞬变体系和常变体系,但不适用于一些极特殊的瞬变体系和常变体系,相关内容将在另文详细讨论。

所谓的“繁杂问题”,是指可以使用三个基本规则直接进行分析的几何构造问题,但是分析过程比较繁琐、复杂。图5就可以认为是“繁杂问题”。

采用三个基本规则直接分析图5所示体系的过程这里不再赘述,下面重点介绍采用辅助规则I、辅助规则II以及二元体规则进行分析的过程。主要步骤为：(1)假设图5所示体系为几何不变体系,因此,辅助规则II可以应用;(2)将图5中$B$处固定铰支座等效变换为两个单链杆支座,得到图6(a);(3)图6(a)中,$A$处水平单链杆支座移到$H$处;$B$处水平单链杆支座移到$I$处;$B$处斜向单链杆支座移到$E$处,得到图6(b)。(4)图6(b)中,依次去掉$A$$\sim$$I$处共9组二元体,剩下基础,表明体系为没有多余联系的几何不变体系,满足前面的假设;(5)结论：图 5所示体系为没有多余联系的几何不变体系。有了辅助规则的支持,该题的分析过程如行云流水,酣畅淋漓！

以上分析过程中,为了应用“辅助规则II”,首先必须要“假设该体系为几何不变体系”,因为不能确定该“假设”是否成立,所以,分析过程是“试探性的正向分析”。实践中,可以采用“正向试探,逆向叙述”的策略。所谓“逆向叙述”,就是由图6(b)开始说事,主要步骤为：(1)图6(b)中,依次去掉$A$至$I$处的9组二元体,可知该体系为没有多余联系的几何不变体系;(2)图6(b)中,移动$H$和$I$处水平单链杆支座至$A$和$B$处;移动$E$处斜向单链杆支座至$B$处,得到图6(a);(3)图6(a)中,$B$处两个单链杆支座等效变换为一个固定铰支座,得到图5;(4)结论：图5所示体系为没有多余联系的几何不变体系。

所谓“困难问题”,是指仅仅使用三个基本规则不容易得到结论的几何构造问题,这里给出两个算例。

算例1 图7所示体系,是一个比较典型的“困难问题”。这里将采用辅助规则II,III,IV以及二元体规则进行分析,主要步骤为：(1)假设图7所示体系为几何不变体系,因此,所有辅助规则均可以应用;(2)将$C$处单链杆支座移动到$D$处,得到图8(a);(3)图8(a)中,将长杆$AB$变短杆,得到图8(b);(4)图8(b)中,去掉$E$处二元体,得到图8(c);(5)图8(c)中,$A$处和$D$处的两个链杆为两个刚片间的平行等长链杆,将$D$处链杆平行移动至$F$处,得到图8(d);(6)图8(d)中,去掉$A$处二元体,得到图8(e);(6)图8(e)中,将$F$处单链杆支座移到$G$处,得到图8(f);(7)图8(f)中,依次去掉$H$,$I$,$G$处的三组二元体,剩下基础,表明图8(f)所示体系为没有多余联系的几何不变体系,满足前面的假设;(8)结论：图7所示体系为没有多余联系的几何不变体系。

算例2 图9所示体系,是一个非常典型的“困难问题”,很多文献都对此题进行了介绍^[6-11],文献[6]的作者缪加玉教授更是把它放到了书籍的封面,足以说明对此题的重视和欣赏。文献[6]用“杆件代替法”分析该题;文献^[7,8,9]用“零载法”分析该题;文献[10]用“解析法”分析该题;文献[11]提出了一种“基于刚体平面运动学基本理论的分析方法”分析此题。这些文献中给出的方法,相对比较复杂,处于教指委制定的“结构力学课程教学基本要求”之外,适合教师研究,不大适合本科生学习。这里,基于本文提出的辅助规则,对图9所示体系进行多次等效变换,最后,根据两个基本规则得出结论。

分析过程如下：(1)假设图9所示体系为几何不变体系,因此,所有辅助规则均可以应用;(2)图9中,$A$处固定铰支座等效变换为两个单链杆支座,得到图10(a);(3)图10(a)中,$A$处斜向单链杆支座改变长度,得到图10(b);(4)图10(b)中,$A$处水平单链杆支座等效移动至$C$处,得到图10(c);(5)图10(c)中,$C$处固定铰支座等效变换为两个单链杆支座,得到图10(d);(6)图10(d)中,$C$处斜向单链杆支座改变长度,得到图10(e);(7)图10(e)中,根据两刚片规则,可以去掉基础,得到图10(f);(8)图10(f)是由$AB$,$BC$,$DE$三个刚片构成的无多余联系几何不变体系,满足前面的假设;(9)结论：图9所示体系为没有多余联系的几何不变体系。

两个“困难问题”的求解,得益于辅助规则与基本规则的完美配合。算例2中,两次巧妙应用辅助规则Ⅲ,是解题的关键,堪称神来之笔。“困难问题”的求解,不仅需要灵感,更需要运气！

四个辅助规则与三个基本规则具有共同的特点：(1)规则的本身是简单浅显的^[1]。理解他们,并不需要特别的数学和力学基础,非常适合本科生学习; (2)规则的运用是变化无穷的^[1]。有了辅助规则的支持,三个基本规则的解题效率和解题能力显著增强,结构几何构造分析的途径也变得更加丰富而灵活！