能量法在材料力学中有着广泛的应用,例如确定理想弹性压杆的临界挠度^[1],计算桁架结构的受力^[2]等。能量法还可以用于冲击应力分析,利用冲击过程中的能量转换关系,即冲击物的机械能全部转换为被冲击物的应变能,建立方程并求解被冲击物的最大冲击应力。该理论采用如下基本假设^[3]：(1)冲击物为刚体;(2)被冲击物的质量忽略不计;(3)冲击物与被冲击物接触后始终保持接触;(4)冲击过程中的能量损失忽略不计。这些假设大大简化了实际冲击过程中复杂的应力、应变变化过程,是工程中冲击问题的简化计算方法。在教学过程中发现,学生往往将注意力集中于公式的推导,忽略或不能够准确理解基本假设在该问题中的重要性。本文旨在通过一个算例增进学生对能量法中基本假设的理解,了解和掌握材料力学中用能量法进行冲击应力分析的适用范围,引导学生对教材内容进行思考。

工程中的结构常遭受冲击载荷作用,与静载荷不同的是,冲击载荷引起的应力不会立即传至被冲击物的各个部位。当冲击速度较低时,冲击物引起的扰动以弹性波的形式在被冲击物内传播。在扰动信号未到达之前,被冲击物离冲击部位较远的位置保持静止。当冲击速度不断增加时,由塑性材料制成的被冲击物产生塑性变形,甚至表现出流体和气体特性。材料力学中的研究对象为弹性材料,故在此仅考虑低速撞击,不考虑塑性等复杂的动力学响应特性。

由于冲击问题的复杂性,在材料力学中,需采用一些基本假设对问题进行简化并构建相应的力学模型。当冲击物的变形可忽略不计时,可将其视为刚体,即假设(1)旨在保证冲击物的应变能可被忽略。由弹性动力学理论可知,弹性波在固体介质中的传播条件为介质具有可变形性和惯性效应。当被冲击物的质量相对于冲击物质量较小时,可忽略其惯性效应,因此弹性波传播的波动特性被忽略,冲击载荷引起的应力可瞬间传遍整个被冲击物,动力学问题被视为静力学问题,被冲击物的动能被忽略。因此,当冲击载荷获得最大值时,冲击应力、冲击位移和冲击应变也均获得最大值,即假设(2)旨在保证被冲击物的惯性效应和动能可被忽略。若冲击物与被冲击物在冲击过程中不发生分离,当冲击物的速度减小为零且不考虑冲击过程中热能等能量的损失时,冲击物减小的机械能将全部转换为被冲击物的应变能,由此可依据能量守恒计算出最大冲击应力、最大冲击载荷等,即假设(3)和(4)旨在简化能量的转换关系。

本文以杆件承受轴向撞击这一简单的力学问题为例进行分析。如图1所示,质量为$M_{2}$的圆截面杆左端自由右端固定,质量为$M_{1}$的刚体以初始速度$V_{0}= 5$ m/s水平撞击杆的左端,杆只产生弹性变形且不发生屈曲,杆长$L_{2}=0.5$ m,截面半径$R_{2}= 0.01$ m,密度$\rho_{2}= 7.8$ kg/m$^{3}$,弹性模量$E_{2}= 205$ GPa。

为了说明杆件受到轴向撞击载荷时的弹性波动特性,首先采用ABAQUS软件进行数值计算。令$T=2L_{2}/\sqrt {{{E_{2} }/{\rho_{2} }}}$表示弹性波在杆中传播一个来回的时间周期,图2给出了第一个周期杆内应力波的传播过程,浅蓝色和黑色分别表示撞击端向固定端传播的入射波和从固定端向撞击端传播的反射波。在撞击开始时刻,刚体与杆的左端接触,此时两者的接触应力记为$\sigma_{0}$。接触应力会随时间呈指数衰减,同时冲击物的速度也不断衰减。如图2(a)所示,撞击引起的应力波沿杆件轴线向固定端传播,其波速为$c_{2}=\sqrt {{{E_{2} }/{\rho_{2} }}}$,图中绿色和黄色分别表示已扰动和未扰动区域,两者分界处为应力波的波前。当$t =T/2$时应力波传播到固定端处,如图2(b)所示。之后应力波在固定端处发生反射并向左沿杆件轴线传播,如图2(c)所示,此时反射波与入射波发生叠加,如图中的深绿色区域所示。当反射波传回至杆的撞击端时,第一周期结束,如图2(d)所示。传回撞击端的反射波与撞击端处的入射波发生叠加并又开始向固定端入射,叠加后撞击端处的接触应力突增2$\sigma_{0}$,即对应于第二周期的开始。此后各周期的应力波传播规律均与第一周期类似,直至接触应力为零,之后杆件会开始往复振动。在某些情况下,当刚体与杆件的质量比满足一定条件时,杆件在接触应力初次为零后做往复振动的过程中,杆端会追上刚体并发生二次撞击,当接触应力再次降为零时,又重新开始做往复振动。二次撞击携带的能量较小,相应的接触应力峰值比第一次撞击小很多。考虑到本文主要关注最大接触应力,暂不讨论这一现象。

根据弹性动力学理论^[4]可以推导出各周期内杆端接触应力的表达式为

其中,$\sigma_{n}(t)$为第$n$个周期中杆端的接触应力,$S_{n}(t)$的表达式为

式中,$\sigma_{0} =V_{0} \sqrt {E_{2} \rho_{2} }$为初始接触应力,$m$为冲击物与被冲击物的质量比,$a_{i}(n)$为系数函数,其值为

图3对比了弹性动力学理论解与有限元数值解,可以看出该理论能够真实地反映第一次撞击接触应力的变化过程。如图3(a)所示,当$m= 0.7$时,刚体与杆件在第二周期内分离。通过理论计算表明,对于$m<1$的所有情况,刚体与杆件均在第二周期内分离。如图3(b)所示,在$m =1$时,刚体与杆件发生了二次撞击,二次撞击的接触应力峰值小于第一次撞击。为了避免冲击物与被冲击物在撞击后分离,可以通过安装飞射物回收装置^[5]等方式,使刚体附着在杆端并与杆件一起做往复振动,但这对本问题关注的最大接触应力影响很小,故本文未对这一现象进行详细讨论。若弹性动力学理论预测的整个冲击过程中的最大接触应力记为$\sigma_{\max}$,由图3(c)可知,当$m =14$时,$\sigma_{\max}= 4.75\sigma_{0}$,出现在3$T$时刻,刚体与杆件于5.7$T$时刻分离。由图3(a)$\sim$图3(c)可见,随着$m$的增大,刚体与杆件分离所需要的周期数随之增多。如图4所示,与静力学问题不同,惯性力的存在使得接触端的最大冲击位移与最大接触应力并不出现在同一时刻。

材料力学中的能量法不能描述整个冲击过程,只能依据冲击物的动能全部转化为被冲击物的弹性应变能这一条件,在被冲击物变形达到最大时,求得杆内的最大动应力$\sigma_{\rm d,max}$为

在本问题中,由于基于能量法给出的动应力在杆内为常值,所以该应力亦为冲击物与被冲击物之间的最大接触应力。

对比式(2)和式(4)可知,对于给定的杆件, $\sigma_{\rm d,max}/\sigma_{\max}$与质量比$m$有关。表1对比了不同质量比情况下,$\sigma_{\rm d,max}$与$\sigma_{\max}$及有限元方法预测的最大接触应力$\sigma_{\rm FE,max}$的比值关系。由表可知,随着质量比$m$的增大,能量法的结果越来越接近弹性动力学理论和有限元方法预测的结果。这是因为当冲击物的质量相对于被冲击物的质量越来越大时,因忽略被冲击物的质量所带来的误差影响会越来越小,更加接近于能量法的假设(2)情况。由此可知,只有当实际情况越符合材料力学能量法所给的假设情况时,依据能量法计算得到的结果越精确。可以推论,当质量比越来越大时,能量法求得的最大接触应力与弹性动力学理论解的比值将趋向于1,但总是小于1。

在图5中,给出了当质量比$m$变化时,材料力学能量法和弹性动力学理论预测的最大接触应力。可以发现,除去质量比趋近于零的区域,对于给定的$m$,材料力学预测的最大接触应力与弹性动力学理论值的差值约为1,即两者求得的最大接触应力相差一个初始接触应力。基于此,对本问题中材料力学的结果进行修正,即在原解的基础上加上初始接触应力,则式(4)变为

由图5可见,修正后的材料力学能量解与弹性动力学理论解几乎重合,有兴趣的同学可以想一想为什么会出现这种情况,是巧合还是有某种原因呢?

实际的冲击问题会涉及冲击物的变形及反弹、冲击物与被冲击物的二次撞击、被冲击物的振动等力学现象,很难满足材料力学能量法中的全部基本假设。本文仅对杆件承受轴向撞击这一简单的冲击问题进行了研究,对于材料力学中更复杂的冲击问题也可做类似研究,以揭示更多的力学现象和规律。一个力学模型所采用的基本假设恰恰限定了该理论的适用范围,材料力学中的能量法只能对冲击问题以“静”代“动”进行近似分析。当实际的冲击问题与基本假设相去甚远时,运用该理论预测的结果必定误差较大。在材料力学的教学过程中,教师应当重视对基本假设的讲解和培养学生根据实际问题抓住主要矛盾进行合理假设和简化的能力,这对于学生分析和解决实际工程问题是非常重要的。