主应力空间中$\pi$平面上应力偏量的描述是屈服准则和塑性本构关系的基础,是弹塑性力学课程的重要内容。常见教材中$\pi$平面上应力偏量的描述都是基于空间中向量的几何关系,即先在三维坐标上取单位长度,将其投影到$\pi$平面上。根据它们在$\pi$平面上的坐标表达式,来描述主应力空间中任意一点应力的偏量部分[1 -3 ] 。该推导过程繁锁,特别是在求解其逆表达形式时,需设一组变量作为三维应力分量,通过建立方程组来求得。事实上,主应力空间中的任何一点应力状态矢都可分解为$\pi$平面内两个偏量和沿着其法向方向的应力,它们对应的三个方向刚好构成了一个正交坐标系。根据弹性力学里的不同笛卡儿坐标系中矢量的分量转换关系,即转轴公式[2 ] ,就能轻松导出上述两个坐标系(即应力空间中的主坐标和$\pi$平面及其法向坐标系)之间的关系,从而得到任意应力在$\pi$平面上的应力偏量描述。
1 主应力空间及$\pi $平面
任意一点应力状态,可以通过参考坐标系下应力张量来描述,也可以用三个主应力和主方向来描述。由三个主应力分量$\sigma_{1}$,$\sigma_{2}$,$\sigma_{3}$为坐标轴组成的空间直角坐标系称为主应力空间。设主应力空间沿主方向的3个基矢记为$\left({e}_{1},{e}_{2},{e}_{3} \right)$,其中任意一点应力(对应图1 中的${OP}$)的应力状态矢可表示为[1 -3 ]
(1) ${OP}=\sigma_{1}e_{1}+\sigma_{2}e_{2}+\sigma_{3}e_{3}$
图1
图1
主应力空间中一点应力矢及其在$\pi $平面上的投影
设${ON}$为主应力空间的等倾线(又称$\varLambda $线),过原点且法向为${ON}$的平面是主应力空间的等倾面,称之为$\pi $平面。其方程为
(2) $\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}=0$
将任意一点${OP}$分解为$\pi $平面的法向分量${ON}$和面内投影分量${OQ}$,分别对应静水压部分和应力偏量部分,也就是
(3) ${OP}={ON}+{OQ}=\left( \sigma_{\rm m}e_{1}+\sigma_{\rm m}e_{2}+\sigma_{\rm m}e_{3}\right)+ \\ \left(s_{1}e_{1}+s_{2}e_{2}+s_{3}e_{3}\right)$
其中$\sigma_{\rm m}={(\sigma }_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3})/3$,为平均正应力,$s_{i}=\sigma_{i}-\sigma_{\rm m}$ $ \left( i=1, 2, 3 \right)$, $s_{i}$为应力偏量的三个主值。显然
由于静水应力对材料的塑性变形没有影响,因此研究材料的塑性变形时,通常只需要分析应力偏量部分,即度量任一点应力在二维$\pi$平面上所对应的偏量部分的大小和方向,建立三维主应力空间和二维$\pi$平面之间的数学关系。
常见教材中$\pi$平面上应力偏量的描述都是基于空间中向量的几何关系,过程繁琐容易出错。本文将利用坐标变换的方法,即根据任意矢量的分量在不同坐标系下的转换关系,轻松得到主应力空间中的任意应力分量与$\pi$平面上应力偏量的对应关系。
2 应力分量从主坐标系变换到$\pi $平面坐标系,即$\left(e_{1},e_{2},e_{3} \right) \to \left( e_{1}',e'_{2},e'_{3}\right)$
将主应力空间的基矢$\left( {e}_{1},{e}_{2},{e}_{3} \right)$在$\pi $平面上的三个投影方向记为$\left(\hat{e}_{1},\hat{e}_{2},\hat{e}_{3} \right)$。由于主空间中的任意一点应力均可分解为$\pi$平面内的两个分量和沿着其法向方向的正应力,便可建立新的坐标系,即将主坐标系中的$e_{2}$在$\pi$平面上的投影$\hat{e}_{2}$作为新坐标系的$e_{2}'$,将$\pi$平面上与$e_{2}'$垂直的一个方向作为$e_{1}'$,而主坐标系的等倾线${ON}$方向作为$e_{3}'$。它们构成了一个新的正交坐标系$\left(e_{1}',e_{2}',e_{3}'\right)$,简称为$\pi$平面坐标系(具体如图2 (a)所示),其中$e_{1}'$,$e_{2}'$在二维$\pi $平面内,$e_{3}'$沿等倾线${ON}$方向。
图2
根据矢量在新老坐标系中的转换关系,可以将应力状态矢(矢量)从应力主空间系坐标系$\left(e_{1}, e_{2}, e_{3} \right)$变换到$\pi $平面坐标系$\left(e_{1}',e_{2}',e_{3}'\right)$,应力状态矢的系数变换关系为[4 -6 ]
(4) $\sigma_{i}'=\beta_{ij}\sigma_{j} \ (i=1,2,3; j=1,2,3)$
转换系数可以根据三余弦定理$\beta_{ij}=\cos$ $\big(e_{i}'$, $e_{j} \big)$ $=\cos\alpha_{0}{\cos}\gamma_{ij}$确定,其中$\alpha_{0}$为主(老)坐标轴与其在$\pi$平面上对应的投影线之间的夹角,其余弦值均为${\sqrt 6 /3}$ (见图2 (a))。$\gamma_{ij}$为$e_{i}'$与$\hat{e}_{j}$之间的夹角,其夹角关系如图2 (b)所示。
由坐标系间的夹角余弦值[4 ] ,新旧坐标系下的转换系数矩阵$\beta_{ij}$可写为
(5) $\left[\begin{array}{ccc}\beta_{11} & \beta_{12} & \beta_{13} \\ \beta_{21} & \beta_{22} & \beta_{23} \\ \beta_{31} & \beta_{32} & \beta_{33}\end{array}\right] = \\ \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{3} \cos \frac{\pi}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} \cos \frac{\pi}{2} & \frac{\sqrt{6}}{3} \cos \frac{5 \pi}{6} \\ \frac{\sqrt{6}}{3} \cos \frac{2 \pi}{3} & \frac{\sqrt{6}}{3} \cos 0 & \frac{\sqrt{6}}{3} \cos \frac{2 \pi}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right]= \\ \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{\sqrt{6}}{3} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right]$
代入式(4),可得应力状态矢在$\pi $平面坐标系下的分量$\left( \sigma_{1}',\sigma_{2}',\sigma_{3}'\right)$
(6) $\left. {\begin{array}{l}\sigma_{1}'=\beta_{11}\sigma_{1}+\beta_{12}\sigma_{2}+\beta_{13}\sigma_{3}=\\ \dfrac{\sqrt 2 }{2}\left( \sigma_{1}-\sigma_{3}\right)=\dfrac{\sqrt 2 }{2}\left( s_{1}-s_{3} \right) \\ \sigma_{2}'=\beta_{21}\sigma_{1}+\beta_{22}\sigma_{2}+\beta_{23}\sigma_{3}=\\ \dfrac{1}{\sqrt 6 }\left( 2\sigma_{2}-\sigma_{1}-\sigma_{3} \right)= \\ \dfrac{1}{\sqrt 6 }\left( 2s_{2}-s_{1}-s_{3} \right) \\ \sigma_{3}'=\beta_{31}\sigma_{1}+\beta_{32}\sigma_{2}+\beta_{33}\sigma_{3}=\\ \dfrac{\sqrt 3 }{3}\left( \sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3} \right)=\sqrt 3 \sigma_{\rm m} \end{array} } \right\}$
式(6)最后一式为应力在新坐标系中沿等倾线$e_{3}'$方向的分量(${ON}$的大小),前两项为应力在$\pi $平面上$e_{1}'$,$e_{2}'$方向的两个分量(${OQ}$的坐标)。因此,通过式(6)前两式就能从$\pi $平面上测量出应力的偏量部分。如图2 (b)所示,它在$\pi $平面上的大小$\left| {OQ}\right|$和方向正切$\tan\theta_{\sigma }$分别表示为
(7) $\left. {\begin{array}{l} r_{\sigma }=\sqrt {\sigma_{1}'^{2}+\sigma_{2}'^{2}} \\ \tan \theta_{\sigma }=\dfrac{\sigma_{2}'}{\sigma_{1}'}=\dfrac{1}{\sqrt 3 }\dfrac{2\sigma_{2}-\sigma_{1}-\sigma_{3}}{\sigma_{1}-\sigma_{3}} \\ \mu_{\sigma }=\sqrt 3 \ \tan \theta_{\sigma}=\dfrac{2\sigma_{2}-\sigma_{1}-\sigma_{3}}{\sigma_{1}-\sigma_{3}}\\ \end{array} } \right\}$
其中$\mu_{\sigma }$为洛德(Lode)参数,$\theta_{\sigma }$为洛德角。当$\sigma_{1}\geqslant \sigma_{2}\geqslant \sigma_{3}$时,$1\geqslant \mu_{\sigma }\geqslant -1$,$-{30}^{\circ}\geqslant \theta_{\sigma }\geqslant {30}^{\circ}$。它们是$\pi$平面上的重要物理参数。
3 应力分量从主坐标系到$\pi $平面坐标系的逆变换,即$\left(e_{1}',e_{2}', e_{3}'\right)\to \left( e_{1},e_{2},e_{3} \right)$
反过来,也可以求得应力分量从主坐标系到π平面坐标系的逆变换关系,并用$r_{\sigma }$和$\mu_{\sigma}$来表示$s_{1}$,$s_{2}$和$s_{3}$,方便研究材料的屈服条件在主应力空间的几何与力学意义[7 ] 。将应力状态矢在$\pi$平面坐标系的分量$\left( \sigma_{1}', \sigma_{2}',\sigma_{3}'\right)$变换到应力主空间,它们之间的关系为
(8) $\sigma_{j}=\beta_{ji}\sigma_{i}'\ \ (i=1,2,3; j=1,2,3)$
利用转换系数矩阵$\beta_{ij}$的正交性,可得逆变换关系
(9) $\left. {\begin{array}{l} \sigma_{1}=\beta_{11}\sigma_{1}'+\beta_{21}\sigma_{2}'+\beta_{31}\sigma_{3}'=\\ \dfrac{\sqrt 2}{2}\sigma_{1}'-\dfrac{1}{\sqrt 6 }\sigma_{2}'+\dfrac{\sqrt 3 }{3}\sigma_{3}' \\ \sigma_{2}=\beta_{12}\sigma_{1}'+\beta_{22}\sigma_{2}'+\beta_{32}\sigma_{3}'=\\ \dfrac{\sqrt 6}{3}\sigma_{2}'+\dfrac{\sqrt 3 }{3}\sigma_{3}' \\ \sigma_{3}=\beta_{13}\sigma_{1}'+\beta_{23}\sigma_{2}'+\beta_{33}\sigma_{3}'=\\ -\dfrac{\sqrt 2}{2}\sigma_{1}'-\dfrac{1}{\sqrt 6 }\sigma_{2}'+\dfrac{\sqrt 3 }{3}\sigma_{3}' \end{array} } \right\}$
(10) $\left. {\begin{array}{l}s_{1}=\sigma_{1}-\sigma_{\rm m}=\dfrac{\sqrt 2 }{2}\sigma_{1}'-\dfrac{1}{\sqrt 6 }\sigma_{2}'= \\ \dfrac{\sqrt 6 }{3}r_{\sigma }\sin \left(\theta_{\sigma }+\dfrac{2\pi }{3} \right) \\ s_{2}=\sigma_{2}-\sigma_{\rm m}=\dfrac{\sqrt 6 }{3}\sigma_{2}'= \\ \dfrac{\sqrt6 }{3}r_{\sigma }\sin \left( \theta_{\sigma } \right) \\ s_{3}=\sigma_{3}-\sigma_{\rm m}=-\dfrac{\sqrt 2 }{2}\sigma_{1}'-\dfrac{1}{\sqrt 6 }\sigma_{2}'= \\ \dfrac{\sqrt 6 }{3}r_{\sigma}\sin \left( \theta_{\sigma }\mathbf{-}\dfrac{2\pi }{3} \right) \end{array} } \right\}$
上述推导得到了与现有教材完全一致的应力分量关系,但数学思路更为清晰,可以作为该知识点的一个教学补充。
4 结论
本文利用$\pi $平面及其法向构造了新的$\pi$平面坐标系,并基于坐标变换方法,通过应力空间中主坐标系和$\pi$平面坐标系之间的坐标变换关系,得到任意应力在$\pi$平面上的应力偏量描述。与传统的几何投影法相比,本方法更为方便简洁,与传统方法又有异曲同工之处,在弹塑性力学的教学中可以对比使用。
参考文献
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1982
... 主应力空间中$\pi$平面上应力偏量的描述是屈服准则和塑性本构关系的基础,是弹塑性力学课程的重要内容.常见教材中$\pi$平面上应力偏量的描述都是基于空间中向量的几何关系,即先在三维坐标上取单位长度,将其投影到$\pi$平面上.根据它们在$\pi$平面上的坐标表达式,来描述主应力空间中任意一点应力的偏量部分[1 -3 ] .该推导过程繁锁,特别是在求解其逆表达形式时,需设一组变量作为三维应力分量,通过建立方程组来求得.事实上,主应力空间中的任何一点应力状态矢都可分解为$\pi$平面内两个偏量和沿着其法向方向的应力,它们对应的三个方向刚好构成了一个正交坐标系.根据弹性力学里的不同笛卡儿坐标系中矢量的分量转换关系,即转轴公式[2 ] ,就能轻松导出上述两个坐标系(即应力空间中的主坐标和$\pi$平面及其法向坐标系)之间的关系,从而得到任意应力在$\pi$平面上的应力偏量描述. ...
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2005
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