点的合成运动作为理论力学的重要知识点,不但是后续刚体平面运动的理论铺垫,而且其所蕴含的“分解-合成”的研究方法也需要重点给学生阐述。国内大部分理论力学教材中关于运动学中点的速度合成定理的推导,是基于一个动点在动系中做任意运动的矢量图模型,通过平均速度取极限的方法形成的速度矢量三角形来得到的。该方法最早是由伏龙科夫著的理论力学教材[1 ] 引入,具有简明直观的优点,但是仍然存在两个不容忽视的问题：(1)由于牵连点是一个不断变动的点,直接用位移求导的方法计算牵连速度容易被学生误解。(2)后续合成加速度的推导,是基于矢径求导的方法获得的,造成速度与加速度合成推导在方法上不衔接,给学生带来疑点：为什么在速度合成定理中未采用该方法?因此,点的合成运动一直是理论力学教学中的关注点和争论点。针对速度合成定理,给出更加严谨一致的推导方法是理论力学教学工作者的责任。
国内广大的理论力学工作者针对该问题,提出了不少解决方案。陈立群[2 ] 对欧美理论力学教材中的运动学进行了剖析。胡浩等[3 ] 通过“跟踪牵连点”方法,将某瞬时的牵连点与动点从空间位置上“分离”。王维等[4 ] 引入“耦合位移”的概念改进现行大多数教材中普遍采用的点的复合运动速度合成定理的几何法推导。牛聪民[5 ] 提出用复数量去区分“动系中观察者的观测结果”和“定系中观察者对动系中观察者观测结果的测量”,上述有的方法由于数学要求较高,不易被学生理解,未获得教材上的广泛采用。有的方法是采用刚体平面运动的概念指出牵连速度[6 ] ,该方法的缺点是知识顺序的跳跃,不宜教学使用。本文避免了上述问题,给出了形式上一致且易于学生理解点的速度和加速度合成定理的推证过程。
1 牵连速度和加速度的解析表达
掌握牵连点的概念,需要理解三个要素：(1)牵连点一定是在动系上的;(2)牵连点的瞬时性是指不同时刻,动点不断变迁,牵连点不同;(3)牵连点是动点在动系上的瞬时重合点,可以理解为动点在动系上的“影子”。为了表示某瞬时牵连速度和加速度,动系$O'x'y'z'$在两个不同时刻的位置如图1 所示,设动系中点$M'$为牵连点,其在动系中的坐标为($x_{\rm e}',y_{\rm e}',z_{\rm e}')$,点$M'$相对于定系的速度称为牵连速度。注意,实际上动系运动的过程中,点$M'$与动系之间并不发生相对运动,而是随着动系一起运动。因此,牵连点$M'$在动系中的坐标($x_{\rm e}',y_{\rm e}',z_{\rm e}' )$为常量。
图1
这里定义定系为$Oxyz$,动系$O'x'y'z'$相对于定系作任意运动。假设$t$瞬时,动系位于图1 中左边位置,在$t+\Delta t$瞬时,动系位于图1 中右边位置。牵连点$M'$在定系中的位置矢径为$r_{M'}$,动系坐标原点$O'$在定系中的矢径为$r_{O'}$,点$M'$在动系中的坐标为($x_{\rm e}',y_{\rm e}',z_{\rm e}'$),图中$i',j',k'$为动系坐标轴的单位矢量。则牵连点$M'$的矢径有
(1) $r_{M'} =r_{O'} +x_{\rm e}' i'+y_{\rm e}' j'+z_{\rm e}'k'$
(2) $\frac{{\rm d}r_{M'} }{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}r_{O'} }{{\rm d}t}+{\dot{{x}}_{\rm e}' i'+\dot{{y}}_{\rm e}' j'+\dot{{z}}_{\rm e}' k'}+\\ {x_{\rm e}' \frac{{\rm d}i'}{{\rm d}t}+y_{\rm e}'\frac{{\rm d}j}{{\rm d}t}'+z_{\rm e}' \frac{{\rm d}k}{{\rm d}t}'}$
从图1 可见,在动系中看,任意瞬时牵连点$M'$始终为一固定点,故任意瞬时点$M'$在动系中的坐标$x_{\rm e}'$,$y_{\rm e}'$,$z_{\rm e}' $不变,即$\dot{{x}}_{\rm e}'=0$,$\dot{{y}}_{\rm e}' =0$,$\dot{{z}}_{\rm e}'=0$。而动系相对定系作任意运动,一般情况下,动系坐标轴的单位矢量的方向随时间变化。因此,式(2)可表示为
(3) $\frac{{\rm d}r_{M'} }{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}r_{O'} }{{\rm d}t}+ {x_{\rm e}'\frac{{\rm d}i'}{{\rm d}t}+y_{\rm e}' \frac{{\rm d}j}{{\rm d}t}'+z_{\rm e}' \frac{{\rm d}k}{{\rm d}t}'}$
式中,${{\rm d}r_{O'}}/{{\rm d}t}$表示动系坐标原点${O}'$的速度。即任意瞬时牵连点$M'$的速度(牵连速度)为
(4) ${v}_{M'} =\frac{{\rm d}r_{O'} }{{\rm d}t}+x_{\rm e}'\frac{{\rm d}i'}{{\rm d}t}+y_{\rm e}' \frac{{\rm d}j'}{{\rm d}t}+z_{\rm e}'\frac{{\rm d}k'}{{\rm d}t}\stackrel{\rm def}{=} {v}_{\rm e}$
(5) $a_{M'} =\frac{{\rm d}^{2}r_{O'} }{{\rm d}t^{2}}+x_{\rm e}'\frac{{\rm d}^{2}i'}{{\rm d}t^{2}}+y_{\rm e}' \frac{{\rm d}^{2}j'}{{\rm d}t^{2}}+z_{\rm e}'\frac{{\rm d}^{2}k'}{{\rm d}t^{2}}\stackrel{\rm def}{=} a_{\rm e}$
2 速度合成分析
固定坐标系为$Oxyz$,动系为$O'x'y'z'$,动点$M$在动系和定系中均作任意运动,运动模型如图2 所示,以矢径$r_{M}$和$r_{M}' $分别表示动点$M$在定系上和在动系上的位置矢径;$r_{O'}$为动系坐标原点$O'$在定系上的位置矢径,设动点$M$在动系上的坐标为$(x_{\rm r},y_{\rm r},z_{\rm r} )$。
图2
(6) $r_{M} =r_{O'} +r_{M}' =r_{O'} +x_{\rm r}i'+y_{\rm r} j'+z_{\rm r}k'$
(7) $v_{a} =\frac{{\rm d}r_{M} }{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}r_{O'} }{{\rm d}t}+x_{\rm r}\frac{{\rm d}i'}{{\rm d}t}+y_{\rm r} \frac{{\rm d}j'}{{\rm d}t}+\\ z_{\rm r}\frac{{\rm d}k'}{{\rm d}t}+\dot{{x}}_{\rm r} i'+\dot{{y}}_{\rm r}j'+\dot{{z}}_{\rm r} k'$
由于牵连点为动系上与动点$M$相重合的点,在动系上标记该点为$M'$(即牵连点),从图2 可知,任意瞬时,动点$M$在动系中的坐标与该瞬时牵连点$M'$在动系中的坐标相同,即
(8) $x_{\rm r} =x_{\rm e}',\ y_{\rm r} =y_{\rm e}',\ z_{\rm r} =z_{\rm e}'$
(9) $v_{a} =\frac{{\rm d}r_{M} }{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}r_{O'}}{{\rm d}t}+x_{\rm e}' \frac{{\rm d}i'}{{\rm d}t}+y_{\rm e}'\frac{{\rm d}j'}{{\rm d}t}+\\ z_{\rm e}' \frac{{\rm d}k'}{{\rm d}t}+ \dot{{x}}_{\rm r}i'+\dot{{y}}_{\rm r} j'+\dot{{z}}_{\rm r} k'$
式中,动点$M$的相对速度表示为(相对运动是在动系中观察动点)[7 ]
(10) $v_{\rm r} =\dot{{x}}_{\rm r} i'+\dot{{y}}_{\rm r} j'+\dot{{z}}_{\rm r} k'$
(11) $v_{a} =v_{\rm r} +v_{\rm e}$
3 加速度合成分析
如图3 所示,动点$M$相对于动系$O'x'y'z'$运动;动系$O'x'y'z'$相对定系$Oxyz$作一般运动,角速度为$\omega $;$i'$,$j'$,$k'$为动系坐标轴的单位矢量,由泊松公式知[8 ]
(12) $\frac{{\rm d}i'}{{\rm d}t}=\omega \times i',\ \frac{{\rm d}j'}{{\rm d}t}=\omega \times j',\ \frac{{\rm d}{k}'}{{\rm d}t}=\omega \times {k}'$
图3
图3 中矢径$r_{M} $和$r_{M}'$分别表示动点$M$在定系中和在动系中的位置矢径;$r_{O'}$为点$O'$在定系中的位置矢径。动点$M$的绝对加速度为
(13) $a_{a} =\frac{{\rm d}^{2}r_{M} }{{\rm d}t^{2}}=\frac{{\rm d}v_{a} }{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}v_{\rm e}}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}v_{\rm r} }{{\rm d}t}$
(14) $\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d} t} &=\frac{\mathrm{d}^{2} \boldsymbol{r}_{O^{\prime}}}{\mathrm{d} t^{2}}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(x_{\mathrm{e}}^{\prime} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{i}^{\prime}}{\mathrm{d} t}+y_{\mathrm{e}}^{\prime} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{j}^{\prime}}{\mathrm{d} t}+z_{\mathrm{e}}^{\prime} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{k}^{\prime}}{\mathrm{d} t}\right)=\\ & \frac{\mathrm{d}^{2} \boldsymbol{r}_{O^{\prime}}}{\mathrm{d} t^{2}}+x_{\mathrm{e}}^{\prime} \frac{\mathrm{d}^{2} \boldsymbol{i}^{\prime}}{\mathrm{d} t^{2}}+y_{\mathrm{e}}^{\prime} \frac{\mathrm{d}^{2} j^{\prime}}{\mathrm{d} t^{2}}+z_{\mathrm{e}}^{\prime} \frac{\mathrm{d}^{2} \boldsymbol{k}^{\prime}}{\mathrm{d} t^{2}}+\\ & \frac{\mathrm{d} x_{\mathrm{e}}^{\prime}}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{i}^{\prime}}{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d} y_{\mathrm{e}}^{\prime}}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{j}^{\prime}}{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d} z_{\mathrm{e}}^{\prime}}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{k}^{\prime}}{\mathrm{d} t} \end{aligned}$
(15) $\frac{{\rm d}v_{\rm e} }{{\rm d}t}=a_{\rm e} +\omega \times \frac{{\rm d}x_{\rm e}'}{{\rm d}t}i'+\omega \times \frac{{\rm d}y_{\rm e}' }{{\rm d}t}j'+\\ \omega \times \frac{{\rm d}z_{\rm e}' }{{\rm d}t}k' = a_{\rm e} +\omega \times v_{\rm r}$
$v_{\rm r} =\frac{{\rm d}x_{\rm r} }{{\rm d}t}i'+\frac{{\rm d}y_{\rm r} }{{\rm d}t}j'+\frac{{\rm d}z_{\rm r}}{{\rm d}t}k' \\ a_{\rm r} =\frac{{\rm d}^{2}x_{\rm r} }{{\rm d}t^{2}}i'+\frac{{\rm d}^{2}y_{\rm r}}{{\rm d}t^{2}}j'+\frac{{\rm d}^{2}z_{\rm r} }{{\rm d}t^{2}}k'$
(16) $\begin{align} \frac{{\rm d}v_{\rm r}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(\frac{{\rm d}x'}{{\rm d}t}i'+\frac{{\rm d}y'}{{\rm d}t}j'+\frac{{\rm d}z'}{{\rm d}t}k')= \\ \frac{{\rm d}^{2}x'}{{\rm d}t^{2}}i'+\frac{{\rm d}^{2}y'}{{\rm d}t^{2}}j'+\frac{{\rm d}^{2}z'}{{\rm d}t^{2}}k'+\frac{{\rm d}x'}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}i'}{{\rm d}t}+\\ \frac{{\rm d}y'}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}j'}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}z'}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}k'}{{\rm d}t}= a_{\rm r} +\omega \times i'\frac{{\rm d}x'}{{\rm d}t}+\\ \omega \times j'\frac{{\rm d}y'}{{\rm d}t}+\omega \times k'\frac{{\rm d}z'}{{\rm d}t}= a_{\rm r} +\omega \times v_{\rm r} \end{align}$
(17) $a_{a} =a_{\rm e} +a_{\rm r} +2\omega \times v_{\rm r}$
式中,将$2\omega \times v_{\rm r}$记为$a_{\rm C}$,称为科氏加速度。式(17)表示,动点$M$的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和,即点的加速度合成定理。
4 结论
本文对动点的牵连运动进行了再分析,并采用解析方法推证了点的速度和加速度合成定理,获得的主要结论如下。
(1) 从动系上看牵连点和从动系上观察动点,是两个不同的概念。任意瞬时,牵连点是动系上的某一“固定点”,相对于动系不运动,但是动点相对于动系存在相对运动。
(2) 牵连点$M'$为动系上与动点$M$相重合的点,但是由于从动系上观察牵连点和动点存在区别,因此,两者坐标相同,但坐标的导数并不相同。
(3) 本文指出上述两点差异后,对动点和牵连点的区分更加直观,在速度和加速度合成时采用解析方法推证,易于学生理解和教学。
参考文献
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欧美理论力学教材中的运动学
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2020
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点的复合运动中相对运动的描述
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2016
... 式中,动点$M$的相对速度表示为(相对运动是在动系中观察动点)[7 ] ...
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2020
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