现有国内外振动力学教程在介绍求解线性系统任意激励响应的Duhamel积分时,大都是基于物理概念的分析,先求解单位脉冲响应函数,然后将任意激励分解和理解成无穷多个微冲量(脉冲)作用,再对求得的各脉冲响应进行积分求和^[1-9]。具体说来,考虑如下单自由度受迫振动系统

则每一$\tau \in [0, t]$时刻脉冲$f(\tau ){\rm d}\tau$所激发的系统在$t$时刻的响应为

其中$h(t-\tau)$为系统的单位脉冲响应函数。根据线性叠加原理,系统在$t$时刻的响应$x(t)$应为所有$\tau\in [0, t]$时刻的脉冲响应之和,即

一般振动力学教程中对Duhamel积分的介绍到此就结束了。然而,笔者在教学实践过程中发现,此处尚有两个较为深入的问题需要讨论。

第一个问题：应如何理解脉冲激励的作用过程?具体说来,是应按照串行累计方式还是按照并行叠加方式理解?所谓串行累计是指,将$[0, t]$内的连续激励分解为一系列沿时间线首尾相接的脉冲激励的连续作用,则系统的响应应为各脉冲激励持续作用、串行累计的结果,即后一个脉冲$f(\tau+\Delta \tau ){\rm d}\tau $在前一个脉冲$f(\tau ){\rm d}\tau$产生的响应基础之上继续作用产生下一个响应,然后不断累计直至得出$t$时刻的响应。所谓并行叠加,正如Duhamel积分的导出过程所见,是指将所有脉冲激励都独立看待,它们分别作用在零初值系统上,然后将各自响应进行叠加而得到系统的整体响应。这两种对脉冲激励作用过程的理解和处理方式结果是否一致,其各自的理论依据是什么,现有振动力学教程没有给出明确的说明。

第二个问题：Duhamel积分是根据力学系统的物理意义构造出来的,但一般说由物理分析所得到的数学公式最初只能认为是一种猜想,必须要经过严格的数学验证才能予以确认,尤其是这种将外激励分解为无穷多个脉冲激励的无穷分割问题,对其直接使用初等有限相加思想所得出的结论并不一定正确。如何进一步严格证明Duhamel积分的确就是系统方程的解,现有振动力学教程一般也不做这方面的论证。

针对上述两个问题,本文对Duhamel积分作更为深入的分析和讨论。

若以串行累计方式理解脉冲激励的作用,则在此过程中,除了在计算第一个脉冲响应时系统具有零初值外,后续各个脉冲都是在前一脉冲激发的非零状态之上发生作用,因此后续响应的计算必须将非零初值的影响纳入进来。可以想象,这种累计计算过程应该相当复杂,但幸运的是,线性系统具有一个非常好的性质,即：线性系统脉冲激励的非零初值响应为自由系统非零初值响应与脉冲激励的零初值响应之和^[10]。这就可以使得整个响应计算过程得到大大简化。为此,以三个等间隔脉冲激励为例进行讨论,如图1所示。

第一脉冲$f(\tau_{1} )\Delta \tau $在$t=\tau_{1}=0$时激发出一个非零初值的自由振动$x(t)=\Delta x_{1} (t),\ t>\tau_{1}$。该自由振动延续至$t=\tau_{2} $时,系统响应为$x(t)=\Delta x_{1} (\tau_{2})$,以此为初始状态作用第二脉冲$f(\tau_{2} )\Delta \tau$,所产生的响应可分为两部分：一部分是初值为$\Delta x_{1} (\tau_{2})$的系统自由振动,实际上也就是第一脉冲在$t=\tau_{1}=0$时刻激发的自由振动响应的延续,即$\Delta x_{1}(t)$;另一部分则是由第二脉冲单独产生的零初值响应增量$\Delta x_{2}(t)$。因此,根据线性系统性质,作用第二脉冲后系统的响应为$x(t)=\Delta x_{1} (t)+\Delta x_{2}(t), t>\tau_{2} $。该自由振动延续至$t=\tau_{3}$时刻时系统的响应为$x(\tau_{3} )=\Delta x_{1} (\tau_{3} )+\Delta x_{2}(\tau_{3} )$,以此为初始状态作用第三脉冲$f(\tau_{3} )\Delta \tau$时,系统的后续响应类似地也为两部分之和：一部分是初值为$\Delta x_{1} (\tau_{3} )+\Delta x_{2} (\tau_{3})$的自由振动,实际上也就是前面两次单独的零初值脉冲响应之和的延续,即$\Delta x_{1}(t)+\Delta x_{2} (t)$;另一部分则是第三脉冲单独产生的零初值响应增量$\Delta x_{3} (t)$。因此,作用第三脉冲后系统的响应为

依次类推,所有脉冲作用完毕后系统的响应为

令$\Delta \tau \to 0$,并记为${\rm d}\tau$,则式(5)的极限形式即为Duhamel积分。由以上分析可以看出,虽然在物理上各脉冲作用有先后顺序,但对于线性系统来说,其各自产生的响应增量实际上已经解耦,互不干扰,从而脉冲激励串行作用的物理过程最终转化成了各自响应增量的并行叠加计算过程。因此,以串行累计方式理解脉冲激励的作用过程与Duhamel积分所表示的并行叠加计算过程是一致的,或者说,Duhamel积分的确正确反映了$\tau \in [0, t]$内各脉冲激励持续作用、串行累计的物理过程。

换一个角度,如果从整体上来看待外激励函数$f(\hat{{t}})$,则可用阶梯函数(矩形脉冲函数)

来对其逼近,即$f(\hat{{t}})=\sum\limits_i {f_{i} (\hat{{t}})},\ \hat{{t}}\in [0, t]$。可以看出,$f_{i} (\hat{{t}})$即表示脉冲$f(\tau_{i})\Delta \tau $,其单独作用于零初值系统上所激发的$t$时刻的响应为$x_{i}(t)=f(\tau_{i} )\Delta \tau h(t-\tau_{i})$。根据外激励的线性叠加原理,外激励$f(\hat{{t}})$激发的系统响应为$x(t)=\sum\limits_i{x_{i} (t)} $。显然,当$\Delta \tau \to0$时,该和式即为Duhamel积分。事实上,这就是Duhamel积分所表示的各脉冲响应并行叠加计算的根本理论依据。虽然大多数振动力学教程在导出Duhamel积分时都称是基于线性叠加原理,但并没有给出上述明确的理论分析过程。

综上所述,无论以串行累计方式还是并行叠加的方式来理解脉冲激励作用过程,其最终计算结果都归结为各脉冲零初值响应增量的并行叠加。基于此,Duhamel积分的计算过程可用一虚拟实验描述为：将外激励在$[0, t]$内分解成$n$个脉冲激励$f(\tau_{i} ){\rm d}\tau$,同时做出$n$个相同的零初值系统,建立统一的时间坐标系,将脉冲$f(\tau_{i}){\rm d}\tau $在$\tau_{i} $时刻($\tau_{i}$的时间属性目前仅体现于此)分别作用于各自系统上,记录下各系统在$t$时刻的响应,最后对各响应值进行代数叠加即可得到原系统在$t$时刻的响应。由此过程也可看出,Duhamel积分表达的是各$\tau$时刻的脉冲激励在$t$时刻产生的响应的叠加,此时$\tau$的时间先后属性已经非常淡化,因此更宜将其理解为区间$[0, t]$内的一个分布变量。

仅从求解数学方程的角度来看,获得线性振动系统任意激励响应的Duhamel积分公式并非难事,比如用拉普拉斯变换及其反变换即可得到该公式。20世纪90年代国内一些学者也曾注意到此问题,并尝试采用各种严格的数学方法,如复数变换降阶法^[11],常数变易法^[12],积分因子降阶法^[13]等导出了Duhamel积分。从这个意义上说,Duhamel积分的理论体系是完备的。但笔者在振动理论的教学实践中感觉到,上述诸方法在论证的直观性方面尚有不足,因此本文用最基本的微积分运算给出一个直接的验证,以加深对Duhamel积分的理论认知。

定理1：Duhamel积分$x^{\ast}(t)=\int_{0}^{t}$ $h(t-\tau )$.$f(\tau)$ ${\rm d}\tau $是方程 (1)的解。

证明：首先,方程(1)的单位脉冲函数为

注意单位脉冲函数$h(t-\tau )$在$t=\tau$处连续,但在该点处其左右导数并不相等。约定下文中有关其在此处的导数都是指右导数,从而$\tau$的取值范围为$\tau \in[0^{-0}, t^{-0}]$ (为行文简洁,将省去上标符号)。另外,记$\dot{{h}}(t-\tau)$为$h(t-\tau )$关于变量$t$的导数,${h}'(t-\tau )$为其关于整体变量$t-\tau$的导数。

由$x^{\ast }(t)$的表达式及式(7)计算可得,$x^{\ast}(0)=0$,$h(0)=0$,${h}'(0)={1}/{m}$。根据含参变量积分的求导公式,有

显然,$\dot{{x}}^{\ast}(0)=0$。继续将式(8)两端关于$t$求导得

将式(8)和式(9)代入方程(1)左端得

由单位脉冲响应函数$h(t-\tau )$的定义可知

综上所述,最后得到

这就证明了$x^{\ast }(t)=\int_{0}^{ t} {h(t-\tau )f(\tau ){\rm d}\tau } $的确是方程 (1)的解。

论文对Duhamel积分所涉及的脉冲激励作用过程进行了深入的分析,论证了无论以串行累计方式还是并行叠加方式来理解脉冲激励,其计算结果都归结为Duhamel积分,揭示出Duhamel积分的计算本质是脉冲响应的并行叠加。另外,论文用最简单直接的微积分运算对Duhamel积分进行了数学验证,严格证明了Duhamel积分的确是系统的零初值响应。本文结论应能对全面深刻理解Duhamel积分的物理意义及其理论基础起到积极的作用。