欧拉角以及一次回转轴,不仅在教学上是理解定点运动的基础,而且在应用方面,如进行航天器、机器人、机械手等刚性部件的姿态描述、大角度姿态机动的轨迹规划^[1]等,也起着重要作用。

首先,欧拉角便于刚体姿态的描述,欧拉角是三个独立的广义坐标,当章动角不为零时,刚体姿态与欧拉角一一对应,两组欧拉角之差反映了刚体的有限位移。当章动角为零时,其运动退化为定轴转动,转轴的位置以及刚体转过的角度仍然是确定的,转动角度可以视为进动角与自转角之和,一旦根据其他条件给出自转角的值,刚体姿态又可以与欧拉角一一对应。而定点运动刚体有限位移的一次回转轴,对于有限位移,给出姿态机动的最小路径,对于微小位移,则给出了瞬轴或角速度的方位。

通常情况下,在选取了描述刚体运动的姿态角后,一次回转轴可以通过求解姿态变换矩阵的特征向量得到,然后再进一步求解相应的回转角。或者在确定了刚体的姿态角后,通过反解四元数^[2]的方法给出任意两个姿态之间的一次回转轴及转角,如,对卫星的姿态描述通常基于泰特布莱恩角(俯仰、翻滚、偏航),利用四元数方法求解任意两个姿态(姿态$A$和姿态$B$)之间的一次回转轴时,首先需要基于四元数运算法则将姿态$A$和姿态$B$的姿态角分别转化为对应四元数${q}_{A}$和${q}_{B}$,其次将${q}_{A} $与${q}_{B}^{-1}$通过四元数乘法运算得到${q}_{C} $,${q}_{C}$为从姿态$A$变换到姿态$B$所对应的四元数,最后反解${q}_{C}$可得两个姿态之间的一次回转轴及回转角,求解过程较为复杂且几何意义不直观。另外,刚体运动的角速度可以直接利用广义速度(欧拉角的变化率)表述,但在利用四元数的变化率表述时则比较繁琐。

结合定点运动的教学内容,以及一次回转轴的应用背景,这里介绍了利用欧拉角以及随体坐标系到固定坐标系之间的变换矩阵,构造出任意姿态之间有限位移一次回转轴位置以及计算转角的方法。该方法基于定轴转动时刚体上点的位移特性得出,与求解矩阵特征向量的方法相比较,几何意义更为直观,计算简单。在应用上,既可以像四元数法一样用于刚体姿态接续机动的规划,又可以作为辅助参数,消除章动角为零时欧拉角的奇异性,使得表述定点运动刚体的运动学、动力学方程所用的广义坐标一致,几何意义明确。

问题：如图1所示,设刚体的姿态$A$和姿态$B$分别对应于欧拉角$(\psi_{A},\theta_{A},\phi_{A} )$和$(\psi_{B},\theta_{B},\phi_{B})$,求解刚体从姿态$A$到姿态$B$的有限位移的一次回转轴与转角。

刚体由姿态$A$机动至姿态$B$时,欧拉角由$(\psi_{A},\theta_{A},\phi_{A})$变化至$(\psi_{B},\theta_{B},\phi_{B})$,相应地,随体坐标轴单位向量由${i'}_{A} $,${j'}_{A}$,${k'}_{A} $变化至${i'}_{B} $,${j'}_{B}$,${k'}_{B} $,如图2所示。设单位向量端点的位移分别为$\Delta{i'}$, $\Delta {j'}$, $\Delta {k'}$,再假设一次回转轴的单位方向向量为${l}$。

基于欧拉-达朗贝尔定理,定点运动刚体的有限位移可通过绕一固定轴作一次转动实现,那么在该定轴转动中,利用刚体上任一点的位移矢量与该转轴垂直,便可求出一次回转轴的方向向量。因此在上述三个位移中任选两个,比如$\Delta{i'}$和$\Delta {j'}$,即可构造出一次回转轴的位置,如果上述两个位移中有一个为零,那么,该单位向量便是一次回转轴的位置,如果两个均不为零,由于它们均与${l}$正交,则一次回转轴的方向向量,可通过计算两个位移的叉积得到

其中$a$为待定系数。

在一次回转轴的位置确定后,利用刚体绕${l}$定轴转动时,向量${i'}$的位置变化,以及其末端到${l}$的距离不变,便可以求出相应的一次回转角。如图3所示,在姿态$A$时,过${i'}_{A}$的端点$A$作${l}$的垂线交${l}$于点$C$,刚体由姿态$A$机动至姿态$B$时,向量${i'}$绕${l}$作定轴转动至${i'}_{B} $,$AC$转过角度$\beta $后到达$BC$位置。

设向量$\overrightarrow {OC} $为$\overrightarrow {OC}=b{l}$,由于${l}$为单位向量,则有$b={i'}_{A} \cdot{l}$,由图3中的几何关系可得

$\overrightarrow {AC} =\overrightarrow {OC} -{i'}_{A} =b{l}-{i'}_{A}$

不失一般性,这里以单位方向向量${i'}$和${j'}$的末端点作为研究对象,将定点运动刚体随体坐标系单位方向向量${i'}$,${j'}$的端点在姿态$A$下的固定坐标记为$(x_{{i}'}^{A},y_{{i}'}^{A},z_{{i}'}^{A} )$,$(x_{{j}'}^{A},y_{{j}'}^{A},z_{{j}'}^{A})$,在姿态$B$下的固定坐标记为$(x_{{i}'}^{B},y_{{i}'}^{B},z_{{i}'}^{B})$,$(x_{{j}'}^{B},y_{{j}'}^{B},z_{{j}'}^{B})$。将姿态$A$和姿态$B$对应的欧拉角$(\psi_{A},\theta_{A},\phi_{A} )$和$(\psi_{B},\theta_{B},\phi_{B})$分别代入式(3)和式(4),并利用${i'}=\left( {1,0,0}\right)^{\rm T}$和${j'}=\left( {0,1,0} \right)^{\rm T}$,可得

$\begin{align} \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x_{{i}'}^{A} } \\ {y_{{i}'}^{A} } \\ {z_{{i}'}^{A} } \\ \end{array} }} \right\}={A}(\psi_{A},\theta_{A},\phi_{A} )\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} }} \right\}\\ \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x_{{j}'}^{A} } \\ {y_{{j}'}^{A} } \\ {z_{{j}'}^{A} } \\ \end{array} }} \right\}={A}(\psi_{A},\theta_{A},\phi_{A} )\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} }} \right\} \end{align}$

$\overrightarrow {BC} =\overrightarrow {OC} -{i'}_{B} =b{l}-{i'}_{B}$

进一步有

$\left| {\overrightarrow {BC} } \right|=\left| {\overrightarrow {AC} } \right|=\left| {b{l}-{i'}_{A} } \right| $

向量$\overrightarrow {BC} $与$\overrightarrow {AC} $的点积为

$\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AC} =\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\cos \beta$

最终可得

由此得到一次回转角$\beta $。

刚体上一点$M$在随体坐标系下坐标为$({x}'$, ${y}'$, ${z}')$,在固定坐标系下坐标为$(x,y,z)$,存在以下关系式^[3]

$(\psi,\theta,\phi )$为刚体当前姿态对应的欧拉角,其中坐标变换矩阵为

$\begin{align} \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x_{{i}'}^{B} } \\ {y_{{i}'}^{B} } \\ {z_{{i}'}^{B} } \\ \end{array} }} \right\}={A}(\psi_{B},\theta_{B},\phi_{B} )\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} }} \right\}\\ \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x_{{j}'}^{B} } \\ {y_{{j}'}^{B} } \\ {z_{{j}'}^{B} } \\ \end{array} }} \right\}={A}(\psi_{B},\theta_{B},\phi_{B} )\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} }} \right\} \end{align} $

进一步有

将式(5)代入式(1),可得一次回转轴的单位向量为

其中${m}=\Delta {i'}\times \Delta{j'}$,$a={1}/{\left| {{m}} \right|}$。

为了便于验证,假设姿态$A$为初始姿态,即$\psi_{A} =\theta_{A} =\phi_{A}=0$,将这三个欧拉角代入式(6)后可得

将式(6)再代入式(2),可得两个位置之间的一次回转角$\beta$,由于用欧拉角表示的转角计算公式过于冗长,这里不列出其具体表达式。

为了便于进行较为直观的验证,这里给出一个简单的算例,设刚体由随体坐标与固定坐标相重合的姿态$A$出发,如图4(a)所示,作一系列姿态机动,先绕$Oz(OC)$进动$\pi/2$到图4(b)所示位置,再绕$Oy(OA)$章动$\pi/2$到图4(c)所示位置,最后绕$Ox(OC)$自转$\pi/2$到图4(d)所示的位置。刚体从姿态$A$到姿态$D$对应的欧拉角依次为$(0,0,0)$,$(\pi/2,0,0)$,$(\pi/2,\pi/2,0)$,$(\pi/2,\pi/2,\pi/2)$,其中,括弧中三个欧拉角依次为进动角、章动角和自转角。

例1 计算姿态$A$到姿态$D$的一次回转轴,如图5所示。

首先根据式(7),计算长方体从姿态$A$到姿态$D$的一次回转轴的单位方向向量可得

${l}=\left( {\sqrt 2/2,0,\sqrt 2/2} \right)^{\rm T}$

将${l}$代入式(2),可得回转角$\beta =\pi$;参照图5可看出,一次回转轴的方向向量为${m}={i}+{k}=\left({1,0,1} \right)^{\rm T}$,回转角为$\beta =\pi$。

下面利用求解变换矩阵特征向量的方式进行验算。变换矩阵$A(\psi,\theta,\phi)$为正交阵,由线性代数理论可知该矩阵存在特征值为1的特征向量,满足

$\left( {{x}',{y}',{z}'} \right)^{\rm T}$为从初始姿态机动至任意姿态的一次回转轴的方向向量。将姿态$D$对应的欧拉角,以及${l}=\left({\sqrt 2/2,0,\sqrt 2/2} \right)^{\rm T}$代入式(8)得

$\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\sqrt 2/2} \\ 0 \\ {\sqrt 2/2} \\ \end{array} }} \right\}=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & {-1} & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} }} \right]\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\sqrt 2/2} \\ 0 \\ {\sqrt 2/2} \\ \end{array} }} \right\}$

即$\left( {\sqrt 2/2,0,\sqrt 2/2}\right)^{\rm T}$为姿态$D$变换矩阵的特征向量。

利用特征向量方法,仅可以求出有限位移的一次回转轴,若求解相应的转角,还需进一步的计算,这里可由式(2)给出。下面验证任意姿态之间有限位移的一次回转轴及转角公式。

例2 计算姿态$B$到姿态$D$的一次回转轴,如图6所示。

首先将姿态$B$和姿态$D$的欧拉角代入式(6),可得一次回转轴的单位方向向量

${l}=\left( {\sqrt 3 /3,\sqrt 3 /3,\sqrt 3 /3}\right)^{\rm T}$

将${l}$代入式(2)可得回转角$\beta =2\pi/3$;如图6所示,一次回转轴的方向向量${m}={i}+{j}+{k}=\left({1,1,1} \right)^{\rm T}$。

再利用求解变换矩阵特征向量的方法进行验算,设刚体上一点$M$的随体坐标为$\left({{x}',{y}',{z}'} \right)$,令其在姿态$B$和姿态$D$下的绝对坐标分别为$\left( {x_{B},y_{B},z_{B} } \right)$和$\left( {x_{D},y_{D},z_{D} }\right)$,通过式(3)可得

$\begin{align} \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \\ {z_{B} } \\ \end{array} }} \right\}={A}(\psi_{B},\theta_{B},\phi_{B} )\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {{x}'} \\ {{y}'} \\ {{z}'} \\ \end{array} }} \right\}\\ \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x_{D} } \\ {y_{D} } \\ {z_{D} } \\ \end{array} }} \right\}={A}(\psi_{D},\theta_{D},\phi_{D} )\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {{x}'} \\ {{y}'} \\ {{z}'} \\ \end{array} }} \right\} \end{align}$

姿态$B$到姿态$D$的变换关系可以表示为

$\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \\ {z_{B} } \\ \end{array} }} \right\}={A}(\psi_{B},\theta_{B},\phi_{B} ){A}^{-1}(\psi_{D},\theta_{D},\phi_{D} )\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x_{D} } \\ {y_{D} } \\ {z_{D} } \\ \end{array} }} \right\}$

则从姿态$B$机动至姿态$D$的坐标变换矩阵为${A}(\psi_{B},\theta_{B},\phi_{B} ){A}^{-1}(\psi_{D},\theta_{D},\phi_{D})$,该变换矩阵存在特征值为1的特征向量,满足

$\left( {x_{B},y_{B},z_{B} } \right)^{\rm T}$为从姿态$B$机动至姿态$D$的一次回转轴的方向向量。将姿态$B$和姿态$D$对应的欧拉角代入式(9),经计算可得

$\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\sqrt 3 /3} \\ {\sqrt 3 /3} \\ {\sqrt 3 /3} \\ \end{array} }} \right\}=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} }} \right]\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\sqrt 3 /3} \\ {\sqrt 3 /3} \\ {\sqrt 3 /3} \\ \end{array} }} \right\}$

即$\left( {\sqrt {3} /3,\sqrt {3} /3,\sqrt{3} /3} \right)^{\rm T}$为一次回转轴的单位方向向量。

示例表明,这里给出的任意姿态之间有限位移的一次回转轴与通过变换矩阵求特征向量方法一致,比较两种方法的求解过程,发现计算矩阵特征向量的方法涉及到对矩阵进行求逆及求解特征向量等运算,而利用本文给出的方法所推导的公式只有简单的代数运算,计算量显著减小。

本文利用欧拉-达朗贝尔定理所证明的有限位移一次回转轴的存在性,通过欧拉角以及随体坐标到固定坐标的变换矩阵,构造出了任意两个姿态之间有限位移的一次回转轴,避免了先求解任意姿态之间的变换矩阵再求解其特征向量的复杂运算过程。该构造方法几何意义明确,涉及到的基本概念简单,便于理解。在应用方面,可以由具有独立性的欧拉角和欧拉角速度描述刚体的运动学以及动力学方程,由欧拉角给定的一次回转轴、转角作为辅助参变量,消除章动角为零时的奇异性问题,相比于其他参数表述运动学方程更为直观。