静定结构的受力分析是力学课程的基础内容和核心内容,求解静定结构未知力的一般方法是列、解静力平衡方程,但平衡方程法往往有以下缺点：首先,对于简单结构(满足两刚片规则或三刚片规则)可以做到列一个方程求解一个未知力^[1],但对于复杂结构则需联立方程求解方程组,计算量大;其次,即使可以做到列一个方程求解一个未知力,也不能直接求解目标未知力,而需先求解支座反力等其他未知力,计算过程繁琐。

虚位移原理是求解静定结构未知力的重要方法,该方法能做到仅用一个虚功原理方程就可直接求出任何目标未知力(支座反力和内力),与平衡方程法相比,既能减少计算量又能简化计算过程。虚位移原理在求解静定结构未知力时也有难点,即与各力对应的虚位移往往很难直接利用几何关系得出。本文将探讨运用运动学理论简化虚位移计算,进而简化平面静定结构的受力分析。

位移中心即为速度瞬心。由于刚片内各点虚位移之比等于速度之比^[2],因此在虚位移状态下,做平面运动刚体上(或其扩展部分上)速度为0的点(速度瞬心),虚位移也为0,把该点叫做刚片的位移中心。

位移投影定理即是速度投影定理。刚片内任意两点的速度在沿这两点连线方向上的投影相等(速度投影定理),结合刚片内各点虚位移之比等于速度之比,可知刚片内任意两点的虚位移在沿这两点连线方向上的投影相等,此即位移投影定理。

依此类推,速度与角速度的关系、求解速度的速度瞬心法和基点法等有关速度的运动学基本理论中,均可将速度和角速度改述为虚位移和虚角位移,从而得到虚位移的运动学基本理论。

文献[3]提出了关于虚铰和无穷远虚铰的两个运动学特征定理,结合刚片内各点虚位移之比等于速度之比,将这两个定理分别改述如下,并做简要证明。

定理一 两刚片(或其扩展部分)在虚铰处虚位移相等。

如图1(a),刚片I和刚片II由两根链杆$AC$和$BD$连接,由于两链杆不平行,故可看成刚片I和刚片II在两链杆交点$O$点处的虚铰连接。设刚片I和刚片II在$O$点(两刚片上或刚片的扩展部分上与虚铰位置重合的点)的虚位移分别为$\delta r_{1O} $和$\delta r_{2O} $,则有$\delta r_{1O} =\delta r_{2O} $。证明如下。

设$\delta r_{1O} $和$\delta r_{2O} $沿$AC$方向投影分别为$\delta r_{1OA}$和$\delta r_{2OA} $,$A$点和$C$点虚位移沿$AC$方向投影分别为$\delta r_{AC} $和$\delta r_{CA} $,由位移投影定理可得：$\delta r_{AC} =\delta r_{CA}$。在刚片I (或其扩展部分)上的$O$点和$A$点用位移投影定理可知$\delta r_{1OA} =\delta r_{AC} $,在刚片II (或其扩展部分)上的$O$点和$C$点用位移投影定理可知$\delta r_{2O}=\delta r_{CA} $,于是有：$\delta r_{1OA} =\delta r_{2OA} $,即$\delta r_{1O} $和$\delta r_{2O} $在$AC$方向上的投影相等,同理：$\delta r_{1O}$和$\delta r_{2O} $在$BD$方向上的投影也相等,据此可得：$\delta r_{1O} =\delta r_{2O}$。显然,若$AC$和$BD$两相交线段上的链杆分别不只一根时,该定理仍成立(如图1(b))。

定理二 无穷远虚铰(两根平行链杆)连接的两刚片,虚角位移相等。

如图2(a),刚片I和刚片II由$AC$和$BD$两根平行链杆(无穷远虚铰)连接,设刚片I和刚片II的虚角位移分别为$\delta\theta_{1} $和$\delta \theta_{2} $,则有$\delta \theta_{1} =\delta \theta_{2} $。证明如下。

设两链杆间距离为$d$,与链杆平行的方向为$x$方向,$A$,$B$,$C$和$D$四点虚位移沿链杆方向投影分别为$\delta r_{Ax} $,$\delta r_{Bx} $,$\delta r_{Cx} $和$\delta r_{Dx} $,由位移投影定理可知$\delta r_{Ax} =\delta r_{Cx} $、$\delta r_{Bx} =\delta r_{Dx} $,再分别以$A$点和$C$点为基点可得$\delta r_{Bx} =\delta r_{Ax} +\delta \theta_{1} \cdot d=\delta r_{Dx} =\delta r_{Cx} +\delta \theta_{2} \cdot d$,故有$\delta \theta_{1} =\delta \theta_{2}$。显然,若$AC$和$BD$两平行线段上的链杆分别不只一根时,该定理仍成立(如图2(b))。

求结构中力$F$在虚位移状态下对应虚位移$\delta r$上所做虚功时,难点是虚位移$\delta r$的计算,尤其是虚位移$\delta r$所在刚片做一般平面运动时,计算往往更为困难。可采用下面的方法巧妙地解决这一难题。

设力$F$所在刚片在虚位移状态下的虚角位移为$\delta \theta$,$O$点为刚片位移中心,如图3。则$F$在$\delta r$上所做虚功等于$F$对$O$点之矩$M_{O} (F)$在$\delta \theta $上做的虚功。即

力$F$在$\delta r$上所做虚功$W=F\cdot \delta r$,由于$\delta r=d\cdot \delta \theta $,得$W=F\cdot \delta r=Fd\cdot \delta \theta $,注意到力$F$对$O$点之矩$M_{O} (F)=Fd$,故有$F\cdot \delta r=M_{O} (F)\cdot \delta \theta $。

通过将力作虚功转化为力矩作虚功,可避免逐一计算同一刚片上各力所对应的虚线位移,但需先确定刚片的位移中心和虚角位移,然而要求出各虚线位移,也需先确定刚片的位移中心和虚角位移,因此虚功换算技巧常能简化虚功的计算。

例1 求图4静定桁架中$BE$杆的轴力$F_{BE}$^[4-5]。

解：去掉$BE$杆,建立虚位移状态如图5,由$A$点虚位移沿水平方向,$BI$杆绕$B$点转动,故$I$点虚位移垂直于直线$BI$,可确定刚片$ADJI$的位移中心$O$点。给定刚片$ADJI$虚角位移$\delta\theta $,进而可确定$J$点虚位移$\delta r_{J}$,由于$C$点虚位移沿水平方向,结合$\delta r_{J}$,可知刚片$CGJE$的位移中心在$C$点,注意到$OJ=CJ$,故可得刚片$CGJE$的虚角位移大小等于$\delta \theta $,方向与$\delta \theta $相反。利用上述结论并结合式(1),即可列出虚功原理方程

$\begin{eqnarray*} (Fh+3Fh)\cdot \delta \theta +(\sqrt 2 F_{BE} h-Fh)\cdot \delta \theta =0 \end{eqnarray*}$

解此方程,得$F_{BE} =-{3\sqrt2}F/{2}$。

此例中,两竖向外力$F$作用在刚片$ADJI$上,水平外力$F$和$F_{BE}$作用在刚片$CGJE$上,因此,只需分别确定这两刚片的位移中心和虚角位移,然后利用虚功的换算技巧,即可方便地求出各力的虚功,避免了逐一计算各外力对应的虚位移,使计算简化、清晰。

例2 求图6静定桁架中$AK$杆的轴力$F_{AK}$^[6]

解：去掉$AK$杆,建立虚位移状态如图7,显然$A$,$E$两点固定,$AB$杆绕$A$点转动,则$B$点虚位移沿水平方向,可知刚片$BJK$位移中心在直线$AB$上。刚片$EHGI$绕$E$点转动,给定其虚角位移$\delta\theta $,则$I$点虚位移$\delta r_{I} =d\delta \theta$,在杆$KHI$上利用位移投影定理,可确定$K$点水平虚位移$\delta r_{Kx} =\delta r_{I} =d\delta \theta $,注意到刚片$BJK$与刚片$EHGI$由两平行链杆连结,由定理二可知其虚角位移也为$\delta \theta $,至此,可求出刚片$BJK$虚位移中心到直线$KI$的距离为

由式(2)可看出刚片$BJK$位移中心即是$B$点,结合刚片$BJK$和刚片$EHGI$虚角位移均为$\delta \theta $,可列出虚功原理方程

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt 5 }{5}F_{AK} d\cdot \delta \theta -Fd\cdot \delta \theta =0 \end{eqnarray*}$

解此方程,得$F_{AK} =\sqrt 5 F$。

此例与上例类似,利用虚功的换算技巧——通过计算力所在刚片的虚角位移代替计算力的作用点的虚位移,简化了虚位移的计算。此例的关键是应用定理二和位移投影定理确定刚片$BJK$的位移中心和虚角位移,体现了运动学理论在简化虚位移计算中的作用。

例3 求图8静定复杂桁架中$BE$杆的轴力$F_{BE} $。

解：去掉$BE$杆,建立虚位移状态如图9,刚片$ADE$绕$A$点转动,给定其虚角位移$\delta \theta $,可得$E$点虚位移$\delta r_{E} =a\delta \theta $。刚片$ADE$、杆$GH$和杆$BI$用平行链杆连结,由定理二可知杆$BI$虚角位移$\delta \theta_{BI}=\delta \theta $。

$B$和$C$两点虚位移均沿水平方向,故杆$BI$和杆$BJ$位移中心均在直线$BH$上,则$I$点竖向虚位移$\delta r_{Iy} =2a\delta \theta_{BI} =2a\delta \theta $;刚片$CIK$位移中心在直线$CK$上,则刚片$CIK$ (扩展部分)上与$I$点关于直线$CK$对称的$X$点竖向虚位移$\delta r_{Xy} =\delta r_{Iy} =2a\delta \theta $,方向与$\delta r_{Iy} $相反;注意到连结杆$BJ$和刚片$CIK$的虚铰在$X$点处,由定理一,并注意到杆$HI$和杆$BJ$用平行链杆连结,结合定理二可得杆$HI$和杆$BJ$虚角位移

以$I$点为基点,结合$\delta r_{Iy} =2a\delta \theta $和式(3),在杆$HI$上用基点法可得$H$点竖向虚位移

以$E$点为基点,结合式(4),在杆$EH$上用基点法可得该杆虚角位移和$H$点水平虚位移,再在杆$HJ$上利用位移投影定理,进而可得$J$点水平虚位移

以$J$点为基点,结合式(3)和式(5),在杆$BJ$上用基点法可得$B$点虚位移

由式(4)~式(6)及$\delta r_{E} =a\delta \theta$可知与各力对应虚位移均已求出,列虚功原理方程

$\begin{eqnarray*} F_{BE} \cdot \delta r_{B} -F\cdot \delta r_{E} -F\cdot \delta r_{Hy} -F\cdot \delta r_{Jx} = (3F_{BE} -F-3F-2F)\cdot a\delta \theta =0 \end{eqnarray*}$

解此方程,得$F_{BE} =2F$。

在计算力的作用点的虚位移时,只需求出该点虚位移沿力方向的投影,如此可使计算简化,尤其对于刚片位移中心不易确定而不能应用虚功换算技巧的情形,简化计算效果显著。若已知刚片虚角位移和其上某点虚位移沿某方向的投影,可以该点为基点,利用基点法方便地求出其他点虚位移在同一方向的投影,而无需确定刚片的位移中心,如此例中$\delta r_{Hy} $,$\delta r_{Hx} $及$\delta r_{B} $的计算。此例在计算虚位移的过程中,多次运用虚铰及无穷远虚铰的两个运动学特征定理,因此,熟练掌握并能灵活应用这两个定理,将是分析求解的关键。

静定结构的平衡问题是结构力学乃至整个力学学科的核心基础,其重要性不言而喻。用虚位移原理求解静定结构的平衡问题时,可仅用一个虚功原理方程直接求出目标未知力,避免了解平衡方程组和需先计算支座反力等非目标未知力的麻烦,使求解过程大为简化。

虚位移原理的难点是虚位移的计算。基于理论力学中"刚片内各点虚位移之比等于速度之比"的结论,提出了位移中心、位移投影定理和基点法等运动学基本理论,证明了虚铰及无穷远虚铰的运动学特征定理,并提出了虚功的计算技巧。通过三个算例的分析计算实践表明,将运动学理论及虚功的换算技巧应用于虚位移原理分析静定结构的平衡问题,可方便虚位移的计算,简化静定结构尤其是复杂静定结构平衡问题的求解,进而能在教学中增加复杂静定结构平衡问题分析这一教学内容,使得课程教学内容更加完善。