2021年5月23日,第十三届全国周培源大学生力学竞赛(个人赛)落下帷幕,这是由教育部高教司委托中国力学学会和周培源基金会主办的全国大学生力学赛事。对比1988年第一届赛事仅有62人参加,今年参赛人数达到创纪录的30 369人,比2019年的第十二届参赛人数增加了14%。参加竞赛的学生主要来自大学二、三年级的力学、土木水利、机械、能源动力、航空航天等专业。通过参加竞赛,检验了大学生对理论力学和材料力学等基础力学课程知识的理解和掌握程度。

个人赛的命题范围包含基础题和提高题两个部分,对全国高校基础力学课程的教学具有指导意义和参考价值。本文点评了本届的力学竞赛题,评议题目内容的难易程度,是否是现行教学大纲的内涵和外延。

本届比赛的理论力学和材料力学题目共7道题,基础题部分4道题和提高题部分3道题,各占总成绩的50%。基础题的第1,2题为理论力学题目,第3,4题为材料力学题目。第5 $\sim$ 7题是内容比较综合的提高题。点评如下。

第1题(18分)：是利用同一机构设计的静力学、运动学和动力学的混合问题。

题目：铅垂面内的机构如图1所示,由直角杆$ABC$,$A_{1}BC_{1}$,$CDE$,$C_{1}DE_{1}$铰接而成,销钉$A_{1}$可沿固定水平滑槽运动,$AB=BC=A_{1}B=BC_{1}=CD=C_{1}D=a$,$DE=DE_{1}=2a$。

1) 已知图示瞬时$AB$与水平线$AA_{1}$的夹角为$\varphi $,$ABC$的角速度为$\omega $,求$CDE$和$C_{1}DE_{1}$的角速度$\omega_{CDE}$和$\omega_{C_{1}DE_{1}}$;(5分)

2）已知$ABC$上作用力偶$M$,$E$和$E_{1}$点通过刚度为$k$、原长为2$a$的弹簧连接,均质杆$DE$和$DE_{1}$的质量均为$m$,忽略其他杆的质量和各处摩擦。为使系统在$\varphi =45^{\circ }$的位置平衡,求销钉$A_{1}$上的水平力$F$;(5分)

3) 若在上述平衡位置突然撤去力$F$,求该瞬时$ABC$的角加速度$\alpha_{ABC} $。(8分)

点评： 第1)问是运动学问题,求角速度,有不同方法求解。最简单的方法是列出相关角度的表达式,进行求导。这一方法需要充分利用几何关系,但是大部分学生不容易想到。在理论力学教学中,一般有两种方法求解运动学问题。

一种方法是在一般位置列出坐标、角度的表达式,然后进行求导。由于这种方法偏重数学计算,没有体现力学的概念和技巧,所以在教学中基本上是一带而过,学生可能不重视,但本题用这种方法最为简洁。

另一种方法是利用基点法或复合运动,通过动点、动系、牵连运动、相对运动等明显具有力学含义的运动量,分析出未知的运动。这是运动学教学中的重点,学生接受了大量训练,所以容易从这方面思考,但是这样做的工作量比较大。

第2)问是静力学问题,求系统平衡时力的大小,也有不同方法求解。

静力学通常有几何静力学与分析静力学两种方法：

几何静力学从受力的角度进行分析,如果系统复杂,则适当拆开系统,把约束解除施加约束力,画受力图,列出平衡方程。这种方法通常比较繁琐,拆开系统后暴露出一些未知约束力,需要巧妙选择研究对象并列写合适的平衡方程,有时还需要求解联立方程,求解有一定的技巧也比较麻烦。

分析静力学从虚功的角度找出系统平衡时主动力或主动力偶矩之间的关系。分析静力学最大的特点是把系统整体处理,不拆开,不暴露出多余的未知约束力。因此对一个自由度系统的平衡问题,处理起来最方便,本题就是这样。

第3)问是动力学问题,突然撤出所施加的外力,也有不同方法求解,包括动量原理(动量定理和动量矩定理)、达朗贝尔原理(动静法)、动力学普遍方程、拉格朗日方程等,所有方法都比较繁琐,相对来说动静法稍微简单一些。

评论：本题把静力学、运动学、动力学融合在一起,是比较综合的题目。从题目设计的角度看,第1)问较好,存在不同的解题方法,工作量差异明显不同,容易考察出学生的灵活性。第2)问也比较好,存在不同的方法,且工作量差异比较大,容易考察学生的解题能力。第3)问不是很好,各种方法都很繁琐,而且基本上没有什么灵活性。作为竞赛题,一旦可以用拉格朗日方程或达朗贝尔原理来处理,就只有工作量了,不容易区分学生的潜力和水平。

同时,第1)问也反映出一个问题：在计算机普及之后,列方程求导也应该是运动学的重要方法,能够快速获得整个运动过程中全部运动参数的关系;而基点法或复合运动强调力学概念,但只能对特定位置进行分析。

第2题(12分)是涉及碰撞的动力学问题,比较综合。

题目：图2(a)为可在火星上滚动的无轮缘车轮,由$n$根直杆在中点固结而成。假设$n=3$,各杆质量均为2$m$、长度均为2$R$,相邻杆间的夹角均为60$^{\circ}$,如图2(b)所示。车轮在铅垂面内向右滚动,杆件各端点依次与路面发生完全塑性碰撞,且不发生相对滑动。端点$A$与路面碰撞前、后瞬时车轮的角速度分别记为$\omega_{A0} $和$\omega_{A1}$,端点$B$与路面碰撞前、后瞬时车轮的角速度分别记为$\omega_{B0} $和$\omega_{B1} $。已知重力加速度为$g$。

1) 求$\omega_{B1} $与$\omega_{B0} $的比值;(3分)

2) 如图2(b)所示,假设路面上与端点$A$,$B$,$C$碰撞的三个点位于同一高度,求车轮能够由图中实线位置滚动到虚线位置的$\omega_{A1} $的最小值;(4分)

3) 车轮沿倾角为$\theta $ ($\theta <30^{\circ}$)的斜面向下滚动,如图2(c)所示,为使$\omega_{B1}=\omega_{A1}$,求$\theta $应满足的关系式。(5分)

点评： 第1)问是典型的碰撞问题,且是塑性碰撞,是碰撞问题中比较容易的题目。直接对碰撞点列写动量矩守恒的公式,还需要利用一下转动惯量的移轴公式,应该比较容易获得答案。

第2) 问涉及动能定理的应用,实际上要考虑轮心两次上升下降的过程。没有发生碰撞时系统机械能守恒,发生碰撞的前后瞬时,由前一问知道角速度的关系,综合起来可以求出最小的角速度。

第3) 问比较综合,需要考虑没有碰撞时的机械能守恒、碰撞前后对碰撞点的动量矩定理。答案是一个非线性表达式

由于求不出显示表达式,采用计算机算出,$\theta \geqslant 7.08^{\circ}$时满足要求(见图3)。也许有人会奇怪,为什么解答是一个范围,而不是一个确定的角度。这是因为题目假设了杆件各端点与路面发生完全塑性碰撞,且不发生相对滑动(涉及摩擦),而摩擦问题的解通常是一个区域。

评论：本题设计比较巧妙,需要概念清楚,综合考虑较多因素,作为竞赛题比较好。

第3题(15分)是静不定平面杆系交汇的静力学平衡问题,杆件的应力$\!-\!$应变关系为分段线弹性和小变形。

题目： 平面杆系结构由四根材料相同的圆截面直杆组成,其中杆$AC$与杆$BC$长度相同、直径均为$d_{1}=20$ mm,杆$CD$与杆$CE$长度相同、直径均为$d_{2}=40$ mm,设计尺寸如图4(a)^①(①本文中,试题题目中的原图号根据本文实际图号有所变化,后同。)所示。各杆材料的应力$\!-\!$应变曲线如图4(b)所示(分段线性),$ Oa$和$ab$段的弹性模量分别为$E_{a}= 200$ GPa,$E_{b}=50$ GPa。装配时发现杆$AC$和杆$BC$均比设计尺寸短了0.3 mm。

1) 求装配完成后各杆的内力;(7分)

2) 装配完成后,在点$C$施加垂直向下的力$F=90$ kN,如图4(c)所示,求各杆的内力。(8分)

点评： 轴向受力的四根桁架杆件交汇于铰节点$C$,为2次静不定结构,材料为双线性弹性和小变形。利用左右结构、杆件内力和约束条件的对称性,$C$点水平位移为零,仅余下1次静不定。基本概念是制造误差不引起静定结构的内力变化,但是引起静不定结构的内力重新分配。

第1)问是杆件发生制造误差后完成装配引起的内力。由于上部两杆产生制造误差,使得静不定杆件体系的内力重新分配。通过$C$点处力和位移的竖向投影,建立平衡方程和变形协调条件。利用对称性和小变形,取对称轴一侧的隔离体建立平衡方程,在方程中包含了材料的物性关系,即双线性的应力$\!-\!$应变关系,为1次静不定问题。联立平衡方程和几何方程(变形协调方程),求解两根杆件的内力。在材料力学教材中有简单静不定桁架的例题和作业,大部分学生能够完成这个求解过程,属于基本训练内容。

第2)问是$C$点作用垂直向下的集中载荷。因为是双线性弹性材料,根据受力后的杆件应力$\!-\!$应变关系,判断杆件材料处于哪个弹性阶段,采用哪个弹性模量。需要通过应力试算的方法求解,如果变形超过弹性阶段1,就要重新建立变形协调条件,考虑叠加上弹性阶段2的变形。如果考虑压杆稳定性校核,就要采用细长杆屈曲的欧拉公式。

评论：这道题难易程度适中,是力学分析计算的基本题目。多数学生熟悉求解静不定体系的平衡和变形协调方程,知道如何入手分析。但是第2)问的计算比较繁杂,需要试算判断材料处于双线性应力$\!-\!$应变的哪个区间。这里需要注意的是不要将$a$点之后的应力$\!-\!$应变曲线误判为进入塑性,按照弹塑性问题卸载。

第4题(15分)是圆轴扭转和拉伸时表面应变状态的计算

题目：直径为$D$、长度为$l$的实心圆轴试件如图5(a)所示。在圆周表面画一微线段$AB$,其初始位置与水平线$AC$成$\beta$角。当圆轴两端受到外力偶矩$M_{\rm e}$作用后,实验测得微线段$AB$顺时针偏转了$\Delta\beta_{1}$。已知圆轴的材料常数$E$和$\mu$,变形均在线弹性小变形范围内。

1) 求外力偶矩$M_{\rm e}$;(5分)

2) 在外力偶矩$M_{\rm e}$作用下再施加轴向拉力$F$,如图5(b)所示。实验测得微线段$AB$偏转角又增大了$\Delta\beta_{2}$,求拉力$F$;(5分)

3)为提高实验测试灵敏度,$\Delta \beta$越大越好。当外力偶矩$M_{\rm e}$和轴向拉力$F$同时作用且$F={8M_{\rm e}}/{D}$,问$\beta $为何值时$\Delta \beta $最大?(5分)

点评：第1)问是给定圆轴表面一条微线段(前视图),在产生圆轴扭转变形的外力偶矩作用下产生微小转角,求所施加的外力偶矩的值(图5(a))。首先要清楚圆轴受纯扭转时,圆轴表面$A$点为纯剪切应力状态,画出$A$点处矩形单元的变形几何关系(要用到小变形的近似简化),并要注意微线段的微小转角不是该点的剪应变(在材料力学中,剪应变是过某点两根变形前相互垂直的微线段在变形后直角的改变量,且与微线段的方位有关),接着将剪切应力用剪切应变乘以剪切模量表示,利用剪切应力与扭矩的关系,获得所施加的力偶矩的值。第1)问考验学生对扭矩、扭转剪切应力$\!-\!$应变关系的理解。

第2) 问是保持第1)问的微线段微小转角和外力偶矩,增加拉伸载荷,此时圆轴产生拉扭组合受力和变形,通过实验测得的微线段微小转角增量,求所施加的拉伸载荷。第2)问考验学生对扭转和拉伸组合受力和变形的理解,比第1)问提高了难度。这两个问题都是已知变形求外力。出题很好,属于基本题目。

第3) 问求变形的极值问题。已知内力求应力的极值问题没有难度,引入强度理论评估失效状态。但是,已知内力求变形的极值问题是有难度的,计算也比较复杂。引入极值条件,令转角增量对转角的一阶导数等于零,得到驻值;判断二阶导数的正负号,给出极小或极大值。

评论：这个题目出得很好,前两个问题融合了圆轴扭转中剪应变、剪应力与扭矩的关系。属于基本题目,不超纲,考验学生对材料中一点的应变状态和角位移实验测量以及剪应变正确概念的理解能力和精确计算能力。

第3) 问是超出了大多数学生的知识范围。目前教材普遍讲授一点应力状态,比如弯曲、扭转和拉伸作用下的应力状态,通过理论公式和应力莫尔圆计算主应力和最大剪应力,给出一点应力状态下的最大主应力。学生普遍掌握剪切变形的计算问题。对于一点应变状态的分析内容,在美国铁摩辛柯编著的材料力学教材和我国20世纪80 $\sim$ 90年代的教材中包含这部分内容,但是目前大多数教材中没有这部分内容,由于学时所限,课程内也不讲这部分内容,所以学生普遍不会做。

第5题(15分)是理论力学(已知运动求主动力的动力学题)与材料力学的综合问题。

题目：图6所示圆盘$\!-\!$连杆$\!-\!$活塞机构在铅垂平面内运动,圆盘$O$上$OA$的长度为1000 mm,连杆$AB$的长度为2000 mm、质量为200 kg,活塞$B$的质量为200 kg,所有构件均可视为均质体。在驱动力$F$作用下,圆盘$O$以匀角速度$\omega=100$ rad/s逆时针转动。考虑重力,不计摩擦。

1) 将圆盘$O$、连杆$AB$和活塞$B$均视为刚体。当$\theta $为何值时,活塞$B$上驱动力$F$的大小有多解?当$\theta =90^\circ$ 时,求活塞$B$上的驱动力$F$;(5分)

2) 将连杆$AB$视为变形体(不考虑连杆$AB$的压杆稳定性问题)。已知连杆$AB$的横截面面积$A=12.8\times10^{3}$ mm$^{2}$,抗弯截面系数$W=1.0\times10^{6}$ mm$^{3}$,材料的许用应力$[\sigma ]=180$ MPa。当机构运动到$\theta=90^\circ$时,校核连杆$AB$的强度,并画出连杆$AB$弯矩图的大致形状。(1分)

点评：第1)问是机械运动的常识,知道机构在运动时存在奇异位置或称为"死点"(也称运动死点、机械死点)就很简单,不知道则无从下手。所谓"机械死点",是指在平面连杆机构中,若以摇杆或滑块为主动件,当运动构件处于同一直线位置时,不论驱动力多大,都不能使机构起动。

火车是用活塞(滑块)运动推导车轮转动的,万一停车时处于"机械死点"位置,火车就开动不了。为了避免这一现象,两侧车轮与活塞的连接位置错开90$^\circ$即可。

第2)问是常规的动力学问题,可以运用质系普遍定理求解。这一题最简便的方法是采用donf动力学普遍方程求解：设$AB$杆与垂线角度为$\varphi$,半径为$r$,杆长为$L$,列出一般位置$B$点和$AB$杆中点$C$的坐标,求导得到加速度,然后加上惯性力和惯性力偶,给出虚位移(见图7),不用拆开系统,直接求出$F$。

设$y$轴原点在$O$点,向上为正。由运动学关系,有

对式(2)求导有

利用$r\sin \theta =L\sin \varphi $,以及$\theta =\pi/2$,$\varphi =\pi/6$,

系统加上惯性力及惯性力偶,注意圆盘匀速转动时惯性力偶为0,$AB$杆惯性力偶为$J_{C}\alpha_{AB}$。加上虚位移,利用$AB$杆瞬时平动(虚转角为零,各处虚位移相同),有

其中$S_{B} =m_{B} \ddot{{y}}_{B}$,$S_{AB} =m_{AB} \ddot{{y}}_{C}$,$\delta \varphi =0$,因此有

点评：本题第1)问较好,考察学生是否灵活掌握了机械运动中的知识点。第2)问是常规的动力学问题,没有太多难点,计算步骤较多。采用动力学普遍方程,不拆开系统,且充分利用$AB$杆瞬时平动、圆轮匀速转动的条件,很多问题整体计算很

简单,如果拆开处理,就很繁琐。

第6题(25分)是质点系动力学的综合问题。

题目：图8示圆筒直立放置在光滑水平面上,小球$A$可沿圆筒内壁上的螺旋线沟槽无摩擦下滑。已知小球$A$的质量为$m$,均质圆筒的质量为2$m$、半径为$R$、高为$h$,螺旋线的升角$\theta=\pi/6$。初始时圆筒静止,将小球从螺旋线沟槽的顶部静止释放。假设小球下降过程中圆筒不会翻倒,水平面对圆筒的支承力的合力记为$F_{\rm N}$。求：

1) 圆筒的质心相对地面的运动轨迹;(3分)

2) 小球运动到圆筒底部时,在地面上观察到的小球运动轨迹的总长度$s$;(6分)

3) 小球下降过程中$F_{\rm N}$的大小;(6分)

4) 小球下降过程中$F_{\rm N}$的作用线与圆筒轴线间的距离$d$(表示为小球下降的垂直距离$z_{A} $的函数)。(10分)

点评：第1)问涉及动量定理中的质心运动守恒。若动量定理概念清楚,本题就比较简单,应该是送分题。

第2)问中质点相对圆筒的运动轨迹是螺旋线,把圆筒展开,相对运动是沿直角三角形斜边的运动(图9(a))。

质点运动时,轨道光滑,牵连运动在水平面内,对垂直面内的运动没有影响,因此$v_{az}=v_{r} \sin \theta$。再利用水平面内动量守恒以及对质心的动量矩定理,用小球相对圆柱的速度来表示其他运动量,由于切向速度与垂直方向速度之比为常数,明确绝对运动轨迹是(新的)螺旋线。然后根据速度方向沿轨迹的切向,定出绝对运动螺旋线的升角$\varphi$;再根据螺旋线的高度,求出绝对运动轨迹的长度(图9(b))。

第3)问中,利用动能定理,找出相对速度与下降高度的关系,求导获得垂直方向的角速度,然后利用系统的质心运动定理,得到作用力。

第4)问中,根据前面的结果,利用动静法,加上惯性力和惯性力矩后,由力矩平衡方程得到支撑力的位置。注意支撑力作用在整个圆筒底部,是分布的平行力系,其最终的简化结果是一个合力$F_{\rm N}$,作用点位置在动坐标系中为$x$,$y$。

如果画出$x$,$y$的变化曲线(图10),可以看出$x$不超出圆筒边界,但是$y$可能会超出圆筒边界(圆筒高度约大于2.8倍半径时,圆筒会倾倒)。这意味着题目中的圆筒不会翻倒,实际上是有条件限制的。

如果要看作用点相对地面的轨迹,需要进行转换(图11,定坐标系原点为系统质心)。

由运动学关系有

动系相对定系的坐标转换矩阵为

根据前面已经得到的结果,在动系中$R_{O} =-R/3$ (沿$y$负方向),则式(8)在定坐标系中投影后有

根据前面已经求出的关系式

$z_{A} =\dfrac12a_{az} t^{2},\ \ \alpha =-\frac{\sqrt 3 }{10R}g,\ \ a_{az} =\frac{2}{5}g$

则坐标系的转角为

从而得到作用点在定坐标系中的运动轨迹(图12中大圆是圆筒边界的包络线：以质心为圆心,半径为$4R/3$的圆)。

评论：总体来说,本题涉及的计算太多,太过繁琐;利用相对运动来表示其他运动量,是一种处理问题的技巧。未来的题目设计应该避免这类过于繁琐的计算,而是重视概念,采用某种技巧时可以很简略地完成。

第7题(20分)是充满液体的直立圆锥形薄壁金属容器的静力平衡问题。

题目："小口尖底彩陶瓶"是距今约6000年新石器时代(仰韶文化)的汲水器或酒礼器,如图13(a)所示。现将其简化为如图13(b)所示的充满液体的圆锥形薄壁容器,处于铅垂直立位置,上沿周边支承,圆锥角为2$\alpha$,其体积按薄壁结构计算。容器的密度为$\rho_{\rm c}$,容器各处壁厚均为$\delta $,液体的密度为$\rho_{\rm w}$,液面高度为$h$。

1) 求容器内沿母线方向的正应力$\sigma_{\rm m} $;(6分)

2)求容器内与母线垂直且与表面相切方向的正应力$\sigma_{\rm t} $;(6分)

3) 设$\rho_{\rm c}=3\rho_{\rm w}$,$\delta ={h}/{90}$,$\alpha=30^\circ$,根据第三强度理论求容器内的最大相当应力。(8分)

点评：第1)问和第2)问是求无矩内力状态下的圆锥壳的正应力和面内切应力,将某一点的应力分量投影到母线方向,计算正应力和与母线垂直且与表面相切方向的切应力。注意容器内的液面是上下变化的。考验学生对壳体力系的简化、内力平衡和强度计算分析等综合能力。

第3问是利用强度理论求最大相当应力。由于是薄壁圆锥壳体,忽略壳体径向应力作用(答案中给出了考虑径向应力的计算结果,其数值很小,可以忽略),仅计算沿母线方向的正应力和与母线垂直且与表面相切方向的切应力,即平面应力状态。计算一点的最大和最小主应力,得到最大切应力。然后代入第3强度理论求相当应力。

评论：作为综合性提高题,这道题非常有创意,题目描述简单清晰,出题人下了功夫和动了脑筋。它展示了我国古代的汲水器或酒礼器,将其简化为充满液体的圆锥形薄壁容器。但是,在材料力学教材中仅讲授了圆筒形薄壁容器,求解了在均匀内压作用下沿母线和环线方向的正应力,不计筒壁的自重。内压作用下的直立圆锥形薄壁容器,考虑容器内变化液面的流体质量和外锥壳自重,几何投影和受力平衡关系复杂,超出了材料力学教学大纲内容,考验学生对材料力学知识的扩展能力,需要力学概念清楚,如何截取单元体更是本题的关键,并需要分析沿母线方向和环向的载荷和单元体的平衡,熟悉运用单元体上应力求其主应力和第三强度理论的计算公式。

这道综合性题目超出了本科力学课程大纲内容,即便是学过板壳理论无矩内力解答的研究生,也是比较难的题目,况且很多学校即便是研究生也不再开设板壳理论的课程。尽管能够做出完整解答的学生很少,但从卷面上还是看到少部分学生具有较强分析和解

决问题的能力。

为了大学生力学竞赛的积极健康发展,针对考试命题的深度和广度,提出我们的不成熟意见和建议。

一是出题目的,针对考试对象,处理好选拔优秀与照顾多数的关系。使得学生参加竞赛有所收获,看到不足,激发动力,促进后续相关课程的学习。所以题目中的问题难度一定要梯次深入,让大多数学生抓得住基本采分要点,让优秀的学生有发挥空间。

二是出题难度,对基础题和提高题的要求。基础题是教学大纲的中上限内容,一般学生能够很快看懂题目,入手做题得到一定分数;提高题是教学大纲的上限并可拓展发挥,比如可以是与后续结构力学和弹性力学课程的过渡内容,也可以是与相关工科专业(土木水利、机械、能源动力,航空航天)的衔接过渡内容。

三是出题表述,文字阐述简洁明了,200字以内说明问题、条件和求解要求。力学概念清楚,知识要点明确,尽量避免冗长的问题叙述。

有些教学一线老师建议：为了评卷方便,基础题可以考虑采用填空形式,回答理论概念或计算结果。

作为国内大学生力学竞赛,题目必须有一定难度。其难度体现在：或者比较综合,涉及较多概念;或者涉及逆向思维,不能立刻得到解题的思路;或者解题步骤比较多,实际上,难和繁是不同的。我们不提倡通过耗时间的繁琐计算带来难度,这次的个别题目就有这个问题,计算量偏大。再是不提倡题目过多,题量过大,本次竞赛出了7道题,类似这种分量的题目如果出5或6道题比较合适。竞赛应当主要考出学生力学基本概念的准确理解、基本理论和原理的正确应用和知识的拓展能力,题目不宜过多。

力学竞赛的参赛者是广大工科学生,命题应当是使最后得分能够反映参赛者的不同水平,即最后的分数分布不应当过于集中于某个水平的参赛者。这次命题对于中等偏下的参赛者就不能反映他们的成绩。今后命题应当有难易的分布,不应当把题目集中在某一个难度的层次上。这次命题总体偏难,没有反映出具有稍低水平的参赛者的能力,会给各地方学会的进一步评奖造成困难。若希望扩大受益面,可考虑许多地方高校提出的建议,适当提高获奖比例。