对非球状颗粒运动的研究主要关注颗粒取向和运动轨迹。Jeffery[4]发现悬浮在简单剪切流中的椭球体沿周期性轨道运动,即Jeffery轨道。Lü等[5]采用有限元任意拉格朗日-欧拉法对方形颗粒在Couette 流和 Poiseuille流中的运动过程进行了直接数值模拟,发现雷诺数对方形颗粒的横向迁移会产生一定的影响。Qi等[6-7]使用格子玻尔兹曼法进行了柱状颗粒旋转运动的模拟,发现颗粒几何结构上的各向异性导致在较高雷诺数时会严重影响角振荡,且柱状颗粒的行为主要受与尾流有关的惯性效应的影响。Subramanian等[8]研究简单剪切流中惯性对细长颗粒运动的影响,发现在小雷诺数时,旋转的颗粒向剪切面缓慢地迁移,雷诺数增大时,颗粒停止旋转,向剪切面单调迁移。Kim等[9]研究了惯性对壁面附近线性剪切流中柱状颗粒迁移的影响,确定了靠近壁面的柱状颗粒的旋转惯性是向壁面惯性迁移的来源,颗粒的迁移速度受长径比影响较小。Su等[10]进行了三维直接数值模拟,研究了不同雷诺数下,具有不同宽高比的矩形微通道中刚性柱状颗粒在Poiseuille流中的惯性迁移,发现不同雷诺数的柱状颗粒在矩形微通道的横截面上会出现两个或四个稳定的平衡位置。Yang等[11]使用离散元法研究旋转滚筒中不同长径比的柱状颗粒的取向,结果表明柱状颗粒的长轴和流场中心轴趋于垂直,并且当长径比增加时,这种取向对于颗粒而言更为明显。
以往要获得运动颗粒及周围流场信息需采用贴体网格或动网格技术,当颗粒发生大的运动时具有较大的挑战。因而对柱状颗粒在剪切流场中运动的数值模拟研究较少,对颗粒和流场耦合作用、颗粒的运动规律及流场流动结构描述还不充分。本文采用直接力浸入边界法(direct forcing immersed boundary method, DF-IBM)[12]对柱状颗粒在线性剪切流中的运动进行数值模拟,分析了颗粒动力学规律,以探索不同雷诺数下颗粒在剪切流中的运动规律。
1 数值方法
1.1 DF-IBM方法数学模型
假设整个计算区域为牛顿流体不可压缩流动,无量纲连续性和动量方程为
其中${ u}$,$p$,$\rho_{\rm f} $,$\nu $分别为流体速度,压力,流体密度和流体的运动黏度,${ f}_{\rm IBM} $为颗粒存在对流体的作用力。
颗粒在剪切流中的运动方程为
其中,$u_{\rm p} $为颗粒质心运动速度,$m_{\rm p} $为颗粒的质量。${ \tau }$为应力张量,${ \tau }=-{ I}p+\nu (\nabla { u}+\nabla { u}^{\rm T})$,${ n}$为颗粒表面法线方向,$ I$为二阶单位张量。
柱状颗粒的转动力方程为
其中$J$和$\omega $分别为柱状颗粒的转动惯量和角速度。
1.2 几何模型及边界条件
数值计算区域如图1(a)所示,计算采用两套坐标系统,欧拉法计算流场的坐标系为$x\times y\times z=10D\times 500D\times 10D$,$D$为柱状颗粒的直径,计算中柱状颗粒长径比为2,颗粒与流体密度比$\alpha =\rho _{\rm p} /\rho_{\rm f} =2$,柱状颗粒雷诺数定义为$Re_{\rm p} =Gd^{2}\rho_{\rm f} /\mu $,剪切速率$G={U}/{z}=1$,$d$为同体积球状颗粒等效直径,$\rho_{\rm p} $为柱状颗粒的密度,$\rho_{\rm f} $和$\mu $分别为流体密度和黏度。用拉格朗日法描述颗粒的坐标系为$x'$-$y'$-$z'$,柱状颗粒取向的角度为$\beta $,$\gamma $和$\theta$ (图1(b))分别为颗粒长轴$y'$与流场$x$,$y$,$z$轴的夹角。
图1
数值计算中采用欧拉$\!-\!$拉格朗日两套网格进行计算,流场网格数$nx\times ny\times nz=60\times 3000\times60$,如图2所示,柱状颗粒拉格朗日离散点为310,两套网格相互独立,之间的交互通过插值计算实现。
图2
计算时$x=0$,$x=10D$,$y=0$,$y=500D$为周期性边界条件,槽道上壁面$z=5D$的速度为$U=10D$,下壁面$z=-5D$为无滑移壁面边界条件。初始时刻,颗粒位置$x=5D$,$y=5D$,$z=0$,颗粒取向角$\beta=90^\circ$,$\gamma =0^\circ$,$\theta =90^\circ$。
1.3 方法验证
图3
2 结果与分析
2.1 流场结构
为了研究柱状颗粒在线性剪切流中运动的影响因素,本文给出了颗粒周围速度和压力分布图。图4是$Re_{\rm p}=40$,$\gamma =0^\circ$时的速度云图,从图中可以看出柱状颗粒周围流场非对称分布,由于颗粒上下表面有速度差,因此会产生一个顺时针力矩使柱状颗粒发生旋转。图5是不同颗粒取向角度时的压力云图,从图中可以看出颗粒两对角线处分别形成高压区和低压区,两对压力均在颗粒中心形成顺时针力矩,促使颗粒发生顺时针转动。比较不同颗粒取向角$\gamma=10^\circ$和$\gamma =92^\circ$时发现,不同取向颗粒周围压力分布不同,颗粒取向与主流夹角越小,压力引起的力矩越大,因而颗粒在剪切流中的旋转运动随颗粒取向而发生变化。
图4
图5
2.2 颗粒旋转分析
为了对柱状颗粒的运动进行分析,给出了不同雷诺数下颗粒的取向与速度,数值模拟结果如图6和图7所示。图6为不同雷诺数下颗粒取向随流动的变化,发现颗粒在运动过程中,取向角度发生周期性变化,由于颗粒和流场的非对称性,颗粒在流动方向上取向角变化最大。从图6可知,在小颗粒雷诺数下,柱状颗粒周期性地围绕其平行于流动涡量矢量的短对称轴(也就是$x$轴)旋转,而柱状颗粒的长轴始终垂直于流动涡量矢量($x$轴方向),这种旋转状态为"tumbling"。从图6(a)可以发现,随着柱状颗粒雷诺数的增加,$\beta$偏离90$^\circ$的幅值增加,所以柱状颗粒不再是在二维平面中运动,而是在三维空间上运动。图6(b)纵坐标为颗粒长轴与$y$轴的夹角,而柱状颗粒长轴与$y$和$z$轴的夹角相差90$^\circ$,且都随着柱状颗粒雷诺数的增加,旋转周期线性增加。
图6
图7
图7显示了不同柱状颗粒雷诺数下$y$方向的无量纲速度。由图可知,颗粒在流场曳力作用下,速度不断增加,最终达到一个平衡速度;随着雷诺数的增加,柱状颗粒$y$方向的无量纲速度减小,这是由于对小雷诺数颗粒两相流,雷诺数增加,其曳力系数减小,颗粒的跟随性减弱。
图8
图9
图10为不同颗粒雷诺数下$\omega_{x}$和$T_{x}$随颗粒取向$\gamma$的变化曲线。由图可知,流场对颗粒周期性的力矩变化导致颗粒周期性旋转,由式(4)可知,最大力矩将产生最大角加速度,因而角速度变化周期落后力矩变化周期,导致颗粒运动作用力为流体曳力和颗粒惯性力,由于颗粒周围流场的非对称性,$T_{x}$值最大偏离发生在$\gamma=90^\circ$处,即颗粒与来流速度垂直状态;且随着雷诺数的增加,偏离量增大。
图10
3 结论
本文采用DF-IBM对柱状颗粒在线性剪切流中的运动进行数值模拟,研究了较小雷诺数柱状颗粒旋转运动的性质。可以得到以下结论：
线性剪切流场影响柱状颗粒表面的压力分布,使颗粒在流场中旋转;旋转速度随作用力矩的变化而周期性变化;随着颗粒雷诺数的增加,颗粒的跟随性减小,输运速度减小,颗粒旋转周期减小;由于流场三维空间非对称性,柱状颗粒力矩最大值与来流垂直方向发生偏离,且随着颗粒雷诺数增加,偏移角度增加。
参考文献
Effect of fiber orientation on the structural behavior of FRP wrapped concrete cylinders
Study on the drag of a cylinder-shaped particle in steady upward gas flow
Experimental investigation on the translational and rotational motion of biomass particle in a spout-fluid bed
The motion of ellipsoidal particles immersed in a viscous fluid
Direct numerical simulation of particle migration in a simple shear flow
Simulations of fluidization of cylindrical multiparticles in a three-dimensional space
Rotational and orientational behaviour of three-dimensional spheroidal particles in couette flows
Inertial effects on fibre motion in simple shear flow
Inertial effects on cylindrical particle migration in linear shear flow near a wall
Inertial migrations of cylindrical particles in rectangular microchannels: variations of equilibrium positions and equivalent diameters
Segregation behavior of binary mixtures of cylindrical particles with different length ratios in the rotating drum
An analysis of the spatio-temporal resolution of the immersed boundary method with direct forcing
