空间机器人系统能在航天器在轨服务技术中发挥重要作用^[1-9]。在以往的研究中,许多学者关注了空间机器人系统中机械臂臂杆的柔性控制问题^[10-13]。但需引起注意的是,弹性关节控制被认为比臂杆柔性控制更具挑战性^[14-15]。由于空间机器人关节系统设计中使用了大量谐波减速器等柔性元件,因此在空间机器人控制系统设计中若不考虑关节弹性振动,将会对控制精度及稳定性造成很大影响^[14-16]。

当前,弹性关节空间机器人的控制算法主要分为奇异摄动法^[14,17]和基于柔性补偿的奇异摄动法两类^[18]。刘福才等^[17] 基于奇异摄动法,将柔性关节空间机器人分解为快、慢变子系统,并分别设计控制器,但该方法仅适用于弹性关节刚度较大的情况;陈志勇等^[18]建立了基于柔性补偿的奇异摄动修正模型并设计控制器,虽然可以应用于刚度较小柔性关节空间机器人的控制中,但随着关节柔性刚度的进一步减小,控制效果并不理想。再者,由于奇异摄动分解理论的束缚,以上两类控制算法很难运用于位置不控、姿态受控的空间机器人动力学模型。

近年来,滑模控制在空天领域得到广泛应用^[19-21]。戴巧莲等^[22]提出了一种基于干扰观测器的空间机器人反步控制算法,但其观测器设计的不足是：需测量角加速度,同时要求质量阵中主对角线上的项必须为常数;米根锁等^[23]设计了一种基于干扰观测器的机械臂非线性滑模控制策略,其在干扰观测器设计时假设干扰的变化是缓慢的,但这在实际应用中很难做到。

鉴于以上研究现状,为实现弹性关节空间机器人在关节柔性刚度较小情况下的轨迹跟踪及弹性振动控制问题,本文拟基于非线性级联系统的概念建立双臂弹性关节空间机器人系统动力学方程,并在此基础上设计一种基于放宽条件改进型非线性干扰观测器(nonlinear disturbance observer, NDO)的新型自适应动态终端滑模控制算法及力矩反馈控制算法。该算法可用于关节柔性刚度较小情况下空间机器人轨迹跟踪及抑制弹性关节振动。

目前,对空间机器人准确执行自主操作任务的要求不断提高,这导致了对轻量化材料和机构的需求增加。因此,关节柔度效应变得非常重要,是实现空间机器人良好轨迹跟踪性能的主要限制因素。文中应用图1所示的双臂弹性关节空间机器人系统开展改进型NDO、新型自适应动态终端滑模控制系统及关节弹性振动控制系统设计,图1所示双臂弹性关节空间机器人系统由载体$B_0$,左、右臂$B_1$,$B_2$,$B_3$,$B_4$及柔性关节$O_1$,$O_2$,$O_3$,$O_4$组成。建立惯性坐标系$xOy$及分体$B_{i}(i=1,2,3,4)$的连动坐标系$x_iO_iy_i$;此外,图中$\theta_{0}$为系统载体姿态实际转角,$\theta_{im} (i=1,2,3,4)$为各关节驱动电机转子转角变量,$\theta_{i}(i=1,2,3,4)$为各操作臂$B_{i} (i=1,2,3,4)$刚性连杆转角变量,$P_2$和$P_4$为负载。

空间机器人弹性关节一般采用谐波减速器装置,这些齿轮机构因其具有高减速比、体积小、重量轻、同轴装配等优点而在空间机器人应用中受到越来越多的关注。然而,对于谐波减速器装置,柔轮的弹性振动是控制系统开发面临的重大 挑战。文中将弹性关节假设为一个线性扭转弹簧^[24](如图2所示),$\theta_{\rm m}$和$\tau_{\rm m}$为电机转角和电机力矩。

考虑双臂弹性关节空间机器人系统,假设每个关节被建模为恒定刚度的线性扭转弹簧^[24],其非线性动力学模型是由拉格朗日公式在系统中存储的动能和势能导出的,具体建模过程如下。

由系统总质心定义及位置几何关系,可导出

其中,${r}_{i}(i=0,1,3)$为$B_{i}$的质心$O_{Ci}(i=0,1,3)$相对惯性坐标系原点$O$的矢径,${r}_{2}$为载体$B_{2} $与载荷$P_{2} $所组成的联合体的质心$O_{C2}$相对惯性坐标系原点$O$的矢径,${r}_{4} $为载体$B_{4} $与载荷$P_{4}$所组成的联合体的质心$O_{C2} $相对惯性坐标系原点$O$的矢径,$L_{ij}$ $(i=0,1,2,3,4$;$j=0,1,2,3,4$)均为系统惯性参数的组合函数,${e}_j$为$x_j$轴的基矢量。

取系统广义坐标矢量${Q}=[\theta_{0}$, $\theta_{1}$, $\theta_{2}$, $\theta _{3}$, $\theta_{4}$, $\theta_{{\rm 1m}}$, $\theta_{{\rm 2m}}$, $\theta _{{\rm 3m}}$, $\theta_{{\rm 4m}}]^{\rm T}$。系统总动能为系统动能$T_{\rm r}$和电机转子动能$T_{\theta} $之和。因此,有

式中,$T_{{\rm r}} =T_{0} +T_{1} +T_{2} +T_{3}+T_{4} $;$T_{{\theta }} =T_{{\theta 1}} +T_{{\theta 2}} +T_{{\theta 3}} +T_{{\theta 4}} $;载体$B_{0} $、机械臂$B_{1} $和机械臂$B_{3}$的动能分别为$T_{0}=m_{0} \dot{r }_{0}^{2}/2+J_{0} \omega _{0}^{2}/2$,$T_{1}=m_{1} \dot{r }_{1}^{2}/2+J_{1} \omega _{1}^{2}/2$, $T_{3}=m_{3} \dot{r }_{3}^{2}/3+J_{3} \omega _{3}^{2}/2$;机械臂$B_2$与载荷$P_2$所组成的联合体动能为$T_{2}= m_{2 P _{2}} \dot{ r }_{2}^{2}/2+J_{2 P _{2}} \omega _{2}^{2}/2$;机械臂$B_4$与载荷$P_4$所组成的联合体动能为$T_{4}=m_{2 P _{4}} \dot{ r }_{4}^{2}/2+J_{2 P _{4}} \omega _{4}^{2}/2$; 关节$O_i$处电机转子的动能$T_{\theta i }=J _{\theta i } \omega _{\theta i }^{2}/2$。 其中,${\omega }_{0} =\dot{{\theta }}_{0} {z}$,${\omega }_{1}=(\dot{{\theta }}_{0} +\dot{{\theta }}_{1})z$,${\omega }_{2} =(\dot{{\theta }}_{0} +\dot{{\theta }}_{1} +\dot{{\theta }}_{2})z$,${\omega }_{3} =(\dot{{\theta }}_{0} +\dot{{\theta }}_{1} +\dot{{\theta }}_{2} +\dot{{\theta }}_{3})z$,${\omega }_{4} =(\dot{{\theta }}_{0} +\dot{{\theta }}_{1} +\dot{{\theta }}_{2} +\dot{{\theta }}_{3} +\dot{{\theta }}_{4})z$,${\omega }_{\theta1} =\dot{{\theta }}_{{\rm 1m}} {z}$,${\omega }_{\theta {\rm 2}} =\dot{{\theta }}_{{\rm 2m}} {z}$,${\omega }_{\theta{\rm 3}} =\dot{{\theta }}_{{\rm 3m}} {z}$,${\omega }_{\theta {\rm 4}} =\dot{{\theta }}_{{\rm 4m}} {z}$。 $m_0$,$m_1$,$m_3$分别为载体$B_{0}$、机械臂$B_{1}$和机械臂$B_{3}$的质量; $J_0$,$J_1$,$J_3$分别为载体$B_{0}$、机械臂$B_{1}$和机械臂$B_{3}$的转动惯量; $m_{2P2}$和$J_{2P_{2}}$分别为机械臂$B_2$与载荷$P_2$所组成联合体的质量和转动惯量;$m_{2P_{4}}$和$J_{2P_{4}}$分别为机械臂$B_{4}$与载荷$P_{4}$所组成联合体的质量和转动惯量; $\omega_{0}$,$\omega_{1}$, $\omega_{3} $分别为载体$B_{0}$、机械臂$B_{1}$和机械臂$B_{3} $的角速度;$\omega_{2}$,$\omega_{4}$分别为机械臂$B_2$与载荷$P_2$所组成联合体和机械臂$B_{4}$与载荷$P_{4}$所组成联合体的角速度;$J_{\theta i}$ $(i=1,2,3,4)$为电机转子的转动惯量;$z$为中间变量。

在太空微重力条件下,系统的总势能$U$表达为

式中,${K}_{i{\rm m}}$ $(i=1, 2, 3, 4)$表示第$i$个弹性关节的扭转刚度。不失一般性,假设系统的初始动量、动量矩为零,即$\dot{r }_{ C }={\bf0}$,于是系统动量、动量矩守恒关系可表示为

利用式(1)$\sim$式(5)、拉格朗日法及Spong假设,可导出双臂弹性关节空间机器人级联动力学方程

其中,式(6)为机械臂动力学模型,式(7)为关节动力学模型,两模型式之间通过机械臂端输入力矩${\tau }$而连接;${M}({q})\in {R}^{5\times 5}$为质量阵;${ H}({q},{\dot{{q}}}){\dot{{q}}}\in$ ${R}^{5\times1}$为离心力、科氏力矢量,且对于任选列向量${Z}$ $\in R^{5}$均满足：$2{Z}^{\rm T}HZ={Z}^{\rm T}{\dot{{D}}Z}$;${q}=[\theta _{0} \ \theta _{1}$ $ \theta_{2} \ \theta _{3} \ \theta_{4}]^{\rm T}$为载体姿态角与关节角组成的向量。 ${\theta }_{{\rm m}}=[\theta _{{\rm 1m}} \ \theta_{{\rm 2m}} \ \theta _{{\rm 3m}} \ \theta_{{\rm 4m}}]^{\rm T}$和${J}_{{\rm m}} ={\rm diag}$ $({J}_{{\rm 1m}}$ ${J}_{{\rm 2m}}$ ${J}_{{\rm 3m}} \ {J}_{{\rm 4m}} )$分别为关节电机的转角列向量和对称正定转动惯量阵;${K}_{{\rm m}} ={\rm diag}(K_{{\rm 1m}}$ $K_{{\rm 2m}}$ $K_{{\rm 3m}}$ $K_{{\rm 4m}} )$为扭转刚度阵,$K_{{i\rm m}}$ ($i=1, 2, 3, 4)$表示第$i$个弹性关节的扭转刚度;${\tau }_{0} $为载体姿态角控制力矩;${\tau }_{\rm m} \in R^{4}$为关节电机实际输出力矩列向量。转角误差${\delta }={\theta}_{\rm m} -{\theta }$。

为更好设计双臂弹性关节空间机器人控制器,建立了式(6)$\sim\!$式(8)组成的空间机器人级联动力学方程,因为级联系统在限定范围内具有全局渐近稳定性,因此,更加适用 于弹性关节空间机器人控制器设计^[25-26]。

本研究提出的控制策略采用基于非线性级联系统的方法。该方法应用于柔性关节空间机器人,为设计控制算法提供了一种思路。该控制算法的基本思想是：首先,将整个空间机器人系统视为由机械臂动力学模型、关节动力学模型及两模型式之间通过机械臂端输入力矩${\tau}$而连接组成的级联系统;其次,为这两个动力学模型分别设计具有级联关系的内、外环控制器;再次,将关节输出电机转子转角${\theta }_{{\rm m}} $视为机械臂动力学模型的控制变量,设计虚拟的电机转角${\theta }_{{\rm fm}}$以实现关节轨迹跟踪控制;而后,针对关节弹性易产生振动的实际工况,设计${\tau }_{\rm m} $,使电机输出转角${\theta }_{{\rm m}} $跟踪虚拟控制量${\theta }_{{\rm mf}} $,即使机械臂端的实际输入力矩${\tau }={ K}_{{\rm m}} {\theta }_{{\rm m}} $快速跟踪机械臂的虚拟输入力矩${\hat{{\tau }}}={K}_{{\rm m}} {\theta }_{{\rm mf}} $ (其中$\Delta \tau=\tau-\hat{\tau}$代表了关节弹性振动),从而抑制关节弹性振动。文中级联控制原理如图3所示,${q}_{{\rm d}} $为载体姿态及关节角的期望轨迹。

文中机械臂动力学模型式(6)采用基于放宽条件改进型NDO的新型自适应动态终端滑模控制算法,其算法设计思路是：为有效消除参数不确定和未知干扰对空间机器人控制性能的影响,首先设计放宽条件的改进型NDO对系统集中不确定项${D}$进行估计,并证明观测误差的收敛性,然后,再对其与实际估计${\hat{{D}}}$的误差${\tilde{{D}}}={D}-{\hat{{D}}}$用新型自适应终端动态滑模控制来补偿,系统控制框图如图4所示,${ d}$为外部扰动力矩。

为便于算法设计,将机械臂动力学模型式(6)写为

式中,${D}=\Delta {M}({q}){\ddot{{q}}}+\Delta {H}({q},{\dot{{q}}}){\dot{{q}}}+{d}$为集中不确定项。${M}_{{\rm n}} ({q})$和${H}_{{\rm n}} ({q},{\dot{{q}}}){\dot{{q}}}$为模型已知部分。

2.2.1 放宽条件的改进型NDO设计及稳定性分析

为改进空间机器人惯常NDO设计中存在需测量角加速度${\ddot{{q}}}$及要求质量阵${M}({q})$中主对角线上的项必须为常数的不足^[21],文中设计一种改进型NDO

式中,${\hat{{D}}}$为系统集中不确定项${D}$的估计; ${z}$为中间变量;${P}({q},{\dot{{q}}})$和${L}({q},{\dot{{ q}}})$分别为待设计的辅助矢量和观测器增益函数,对观测器的稳定性及观测效果起着重要的作用,满足的关系式为

定义NDO观测误差为

由式(9)和式(10)可得观测器动态方程

观测器增益函数选取为

其中,${X}$为可逆的正定常数矩阵,由式(11)得

定理1： 针对机械臂动力学模型式(9),设计改进型NDO式(10),其观测器增益函数选取如式(14),辅助矢量函数为式(15)。在下列假设成立的情况下,观测误差能以指数收敛率收敛于相应区间。若扰动为缓慢信号,即${\dot{{D}}}\approx {\bf0}$,则观测误差将收敛于零。

假设1：存在一个对称正定矩阵${\varGamma }$,满足不等式

假设2：集中不确定项的变化率有界,即$\exists k>0$,$\left\| {{\dot{{D}}}(t)} \right\|\leqslant k$ $(\forall t>0)$。

有观测器观测误差全局一致最终有界,并以$(1-\xi )\lambda_{\min } ({\varGamma })/(2\sigma_{2}) \left\| {{X}} \right\|^{2}$收敛,收敛区间半径为${2k\sigma_{2} \left\| {{X}}\right\|^{2}}/[{\xi \lambda_{\min } ({\varGamma })}]$ ($0<\xi <1$)。

证明：构建改进型NDO的正定Lyapunov函数

式(17)对时间求导,得

因此,得

由式(16)和式(19)可知,当$\tilde{ D } \in R^{ n }$时,$\dot{V}_{1}$是负定的,因此,扰动跟踪误差渐近收敛于零,即

考虑正定Lyapunov函数式(17)、式(16)和式(19),可得

式中,$\tilde{ D } \in R^{ n }$,因此,当$\varGamma \neq {\bf0}$,$\forall \tilde{ D } \in R^{ n }$时,干扰观测器跟踪误差呈指数收敛于零。

利用Rayleigh-Ritz不等式^[27]

式中,$\forall {\tilde{{D}}}\in R^{n}$。基于$X ^{\rm T} M _{\rm n}( q ) X$是对称矩阵,得

可得

即

由式(25),得

结合Rayleigh-Ritz不等式(22)及式(21),得

由于$\varGamma$是对称正定矩阵,因此

由式(26)$\sim\!$式(28),可得

其解析解为

由式(17)及Rayleigh-Ritz不等式(22),得

再结合式(30)和式(31),可得

可见,观测误差能以指数收敛率收敛于$\lambda_{\min}(\varGamma)/$ $(2\sigma_{2}\| X\|^{2})$相应区间。若扰动为缓慢信号,即${\dot{{D}}}\approx {\bf0}$,则观测误差将收敛于零。

证毕。

然而,基于扰动为缓慢信号的假设是很难满足工程实际需要的,这限制了NDO的应用,因此,针对该情况,放宽对扰动信号变化率的限制,在新的条件下设计改进型NDO。

假设系统扰动变化率放宽为

式中,$\sigma $为未知正常数,则观测误差动态方程为

求解式(34),得

式中,$\tilde{{D}}_{j}(t)=\varepsilon^{-L_{j} t}\tilde{{D}}_{j}(0)+\varepsilon^{-L_{j} t}\int_0^t {\varepsilon^{L_{j} \tau }\dot{{d}}_{j} }{\rm d}\tau $,$j=1,2,\cdots,n$。 将$\dot{{d}}_{j} $看作$\dot{{d}}_{j} <\sigma $范围内取值的系数,有

同理,$\dot{{d}}_{j} >-\sigma $时,得观测器误差收敛下限为

因此,观测器误差可收敛到球域内

式中,$r(B_{\rm d})$为球域半径,通过设计${L}({q},{\dot{{q}}})$可使得$r(B_{\rm d})$足够小。

2.1.2 新型自适应动态终端滑模控制算法设计

由于空间机器人系统存在系统动量守恒约束关系,所以上节设计的放宽条件改进型NDO也很难精确估计系统集中不确定项${D}$,假定补偿后仍存在观测误差${\tilde{{D}}}={\hat{{D}}}-{ D}$,且满足不等式$\left\| {{\tilde{{D}}}} \right\|<{\eta }_{0} +{\eta }_{1} \left\| {{q}} \right\|+{\eta }_{2} \left\| {{\dot{{q}}}} \right\|^{2}$。基于此,本节设计新型自适应终端动态滑模控制算法对观测误差${\tilde{{D}}}={\hat{{D}}}-{D}$进行有效补偿。该算法显著优点为：通过采用自适应动态滑模切换项,克服了惯常滑模趋近律需要预知不确定上界的缺点,因为对于复杂系统,不确定上界是很难预知的;同时,降低高频抖振提高了控制精度。

该控制算法由等效控制项和切换控制项两部分组成,具体设计步骤如下。

首先,设计滑模面

式中,${e}={q}_{{\rm d}} -{q}$为跟踪误差;${\alpha },{\beta }\in {R}^{5\times 5}$为对角正常数矩阵。

其次,当${\dot{{S}}}={\bf0}$时,由式(9)和式(39)可得滑模控制器中的等效控制项

再次,设计自适应动态滑模切换项

式中,${n}$为正常数,${g}(t)$为待设计的参数。

将等效控制项式 (40)、动态滑模切换项式 (41)及放宽条件改进型NDO的补偿项${\hat{{D}}}$结合起来,则机械臂动力学模型式 (9)的控制律为

式中,NDO的补偿项${\hat{{D}}}$为${D}$的估计。

定理2： 针对式(9)描述的双臂弹性关节空间机器人机械臂动力学模型,如果滑模面设计为式(39),结合放宽条件的改进型NDO式(10), 采用新型自适应动态终端滑模控制算法为式(42),选取参数${\hat{{\eta }}}_{0} $,${\hat{{\eta }}}_{1} $ 和${\hat{{\eta }}}_{2} $的自适应律分别为

式中,${\rho }_{i}(i=0,1,2)$为学习率,则系统渐近稳定收敛。

证明：取Lyapunov函数

式中,${\tilde{{ \eta }}}_{i} ={ \eta }_{i} -{\hat{{ \eta }}}_{i} $为参数估计误差。式(44)对时间求导,可得

为保证系统状态能够运动到滑模面上,控制算法应满足滑动模态条件,即当${S}\ne {\bf0}$时,${\dot{{ V}}}<0$。设计

式中,${\lambda }$为正常数矩阵。

将式 (43)、式 (45)和式 (46)代入式 (44)可得

式中,$n$和$\varepsilon$为正常数。因此,被控系统渐近稳定收敛。其中,推导过程使用的范数默认为2-范数的平方。在工程实践中,要进一步降低滑模控制中存在的高频颤振以提高控制精度,在式(42)中,利用函数$\tanh (\cdot )$代替符号函数${\rm sign}(\cdot )$,则机械臂动力学模型式(9)的控制律式(42)改进为

空间机器人关节的弹性振动给机器人的控制带来了很大的挑战,如果在控制系统设计中忽略了关节柔度的影响,会导致系统不稳定甚至失控。基于此,文中设计基于力矩反馈的内环控制律${ \tau }_{{\rm m}} $来抑制关节谐波减速器装置引起的弹性振动。$\Delta {\tau }={\tau }-{\hat{{\tau }}}$代表弹性关节的弹性振动特性。即,设计关节电机驱动力矩${\tau }_{{\rm m}} $,使${\tau }$快速跟踪${\hat{{\tau }}}$。

设计基于力矩反馈的关节动力学模型控制律

其中,$k_{2},k_{3} $均为设计参数。将式(49)代入式(7),可得

由式(50)可得

由于,$k_{2} /k_{3}>0$,因此关节动力学模型的闭环控制系统有界输入、有界输出稳定性。

综上所述,双臂弹性关节空间机器人的控制系统由式(7)$\sim\!$式(9)、式(48)和式(49)组成,控制律式(48)和式(49)存在级联关系。相较于奇异摄动控制方案,基于级联法的控制算法的显著优点是：控制方案理论上不受关节刚度大小的约束,同时,能够运用于 文中位置不控,姿态受控这种电机转子数与关节数不对等的弹性关节空间机器人数学模型。

为了校验本文提出的改进型NDO设计、新型自适应动态终端滑模控制和弹性振动抑制控制算法的有效性,对图1所示的双臂弹性关节空间机器人系统进行数值仿真,仿真选取的模型参数：载体$B_0$的质量和转动惯量分别为$m_0=40$ kg,$I_0=34.17$ kg$\cdot$m$^2$; 两臂首杆的质量和转动惯量分别为$m_1=m_3=40$ kg,$I_1=I_3=1.5$ kg$\cdot$m$^2$; 两臂末杆的质量和转动惯量分别为$m_2=m_4=1$ kg,$I_1=I_3=0.75$ kg$\cdot$m$^2$; 设柔性关节$O_{i}$ $(i=1,2,3,4)$的扭转刚度为$K_{i} =15$ N$\cdot$m/rad $(i=1, 2, 3, 4)$,关节电机转子转动惯量为$J_{i} =0.8$ kg$\cdot$m$^{2}$ ($i=1, 2,3,4)$;$O_0$沿$x_0$,$y_0$方向距$O_1(O_3)$长度为$L_x=2$ m,$L_y=1$ m;左、右臂$B_1$,$B_2$,$B_3$,$B_4$的杆长为$L_i=2$ m ($i=1, 2, 3, 4)$。 设系统仿真时间$t=10$ s,利用控制律式(48)和式(49)对图1所示空间机器人系统进行数值仿真,各臂杆关节运动轨迹为 $\theta_{0d}=\sin(\pi t/4)/3$, $\theta_{1d}=\cos(t\pi/3)+\pi/3-1$,$\theta_{2d}=\sin(t\pi/3)+\pi/3$, $\theta_{3d}=\cos(t\pi/3)+2\pi/3-1$, $\theta_{4d}=\sin(t\pi/3)-\pi/3$. $\theta_{0d}$, $\theta_{1d}$, $\theta_{2d}$, $\theta_{3d}$和$\theta_{4d}$的单位为rad,且系统初始构型为 $\theta(0)=[0.2, 0.8, 1.2, 1.8, -0.8]^{\rm T}$ rad,$\theta_{\rm m}(0)=[0.8,$ $ 1.2, 1.8, -0.8]^{\rm T}$ rad。

控制参数选择为$\alpha=\beta={\rm diag}$ $(5,5,5,5,5)$; $X^{-1}={\rm diag}$ $(120,$ $120,80,120,80)$;$k_2=20$;$k_3=1$;$n=\varepsilon=4$。

用于比较的控制方案中参数$k_4=k_3$;$k_5=k_2$; $k_6=k_3$。

参数自适应律的初始值为$\eta_i=0$。

为验证文中设计级联控制算法的有效性,仿真将对以下两种算例进行讨论比较,仿真结果如图5 $\sim$ 图10所示。

图5$\sim$图7分别给出了文中设计控制算法在开启和关闭系统中观测器补偿项$\hat{D}$及式(29)中参数$\hat{\eta}_0$, $\hat{\eta}_1$和$\hat{\eta}_2$自适应律情况下,载体姿态角关节角$\theta_0$的对比情况,左臂关节角$\theta_1$和$\theta_2$的对比情况,右臂关节角$\theta_3$和$\theta_4$的对比情况,可以看出,若没有对文中自适应终端动态滑模控制算法进行观测器估计及动态滑模参数自适应律设计,仅通过动态终端滑模控制会大大降低空间机器人的控制精度。

本算例中,在相同关节刚度$K_i=15.0$ N$\cdot$m/rad ($i=1$, 2, 3, 4)情况下,分别采用文中控制算法与基于文献[14]的奇异摄动法以及基于文献[18]柔性关节补偿的奇异摄动法对双臂弹性关节空间机器人控制时进行对比仿真,仿真结果如图8$\sim$图10所示。 可以看出,当关节柔性刚度较小时,文献[18]基于关节柔性补偿控制器的奇异摄动控制算法和文献[14]奇异摄动控制算法在初始阶段均无法跟踪期望轨迹,而文中设计的基于非线性级联系统的控制算法能够精确跟踪期望轨迹。

空间机器人控制系统设计中若不考虑关节弹性振动,将会对控制精度及稳定性造成很大影响。为此,本文依据非线性级联系统的概念,设计了一种基于放宽条件改进型NDO的新型自适应动态终端滑模控制算法及力矩反馈控制算法。通过仿真可知：当关节柔性较小时,文中所提出的控制方案可精确完成空间机器人轨迹跟踪并抑制弹性关节振动,而此时,文献[14]奇异摄动控制算法基本失效,文献[18]基于关节柔性补偿控制器的奇异摄动控制算法也未能完全精确跟踪;同时,若没有对文中机械臂动力学模型式的控制律式(42)进行观测器估计及自适应动态滑模切换项设计,仅靠非奇异终端滑模控制会大大降低空间机器人的控制精度。