后来中央电视台导演到我实验室参观,对我设计的一些科学游戏(包括悬崖勒马)很感兴趣,后面就合作变成了《加油！向未来》节目中的大型游戏。节目中把小马改为小车,人坐在其中。把人和小车作为一个整体,配重暂不考虑尺寸大小。即使这样简化后,装置的运动也是很复杂的,原因是它的自由度在1~5之间变化。

这一阶段小车完全在台面上运动,系统有一个自由度：小车质心位移$x$。装置的模型见图2,参数如下：小车长为$a$,高为$b$,质量为$m_{1}$;质心距离前端为$a_{1} $,距离底部为$b_{1}$;系绳处距离底部为h;配重质量为$m_{2}$;绳长为$l$,不计质量且不可伸长;台面长为L,摩擦系数为$\mu_{1}$。装置各部分受力图见图3,这一阶段绳子拉动小车运动,绳子与台面角度为$\theta$,边缘$A$点考虑为一段微小圆弧(只影响绳子与接触面的张角,不影响水平位移),摩擦系数为$\mu_{2} $,绳子与圆弧的张角为$\pi/2-\theta $。

根据各部分的受力情况,可以列出动力学方程及补充条件为

(1)$\begin{eqnarray} \left.\begin{array}{l} m_{1} \ddot{{x}}=T_{1} \cos \theta -F \\ 0=N-m_{1} g-T_{1} \sin \theta \\ m_{2} \ddot{{x}}=m_{2} g-T_{2} \\ T_{1} {\rm e}^{(\pi /2-\theta )\mu }=T_{2} \\ F=\mu N \\ \end{array}\right\} \end{eqnarray}$

其中 $\tan \theta ={h}/({L-x-a_{1} })$

方程(1)是微分-代数方程,在数值计算中,可以先把$\ddot{{x}}$当作代数量,求出$\ddot{{x}}$后再求微分方程(在下一篇中详细介绍)。在方程(1)中令$\ddot{{x}}>0$,可以得到小车从静止到运动的临界质量比为

(2) $\begin{eqnarray} \eta \ast =m_{2} /m_{1} =\frac{\mu_{1}{\rm e}^{(0.5\pi -\theta_{0} )\mu _{2} }}{ {\cos \theta_{0} -\mu_{1} \sin \theta_{0} }} \end{eqnarray}$

其中$\tan \theta_{0} ={h}/({L-a_{1}})$。

方程(1)适用的范围是$x+a_{1}$ ≤ L (即小车前缘没有冲出边界),一旦小车冲出边界,绳子就会摆动起来,受力图和方程都要改写了,进入第二阶段。

第二阶段受力图如图4所示。当小车前缘超出了桌面平动时,系统有二个自由度：小车质心位移x、绳子摆角$\beta$。绳子摆动时可以考虑空气阻尼(如果小车停止在平台上,绳子长时间摆动)。

小车的动力学方程直接可以列出,但要注意配重的悬挂点在运动,可以采用非惯性系中的处理方法,加上牵连惯性力后再列相对运动微分方程,得到如下方程

(3) $\begin{eqnarray} \left.\begin{array}{l} m_{1} \ddot{{x}}=-F+T\sin \beta \\ 0=N-m_{1} g-T_{1} \cos \beta \\ m_{2} l^\ast \ddot{{\beta }}=-m_{2} g\sin \beta -(m_{2} \ddot{{x}}+n\dot{{x}})\cos \beta -\\\qquad nl^\ast \dot{{\beta }} \\ m_{2} l^\ast \dot{{\beta }}^{2}=T_{1} +(m_{2} \ddot{{x}}+n\dot{{x}})\sin \beta -\\\qquad m_{2} g\cos \beta \\ F=\mu N \\ \end{array} \right\} \end{eqnarray}$

其中$l^{\ast }=l$, $\beta \geqslant 0$; $l^{\ast }=l-h$, $\beta <0$。方程(3)的终止条件是：小车出现绕$A$点的转动,具体为

(4) $\begin{eqnarray} J\ddot{{\alpha }}=-N(L-x)+Fb_{1} \mbox{+}Ta_{1} \cos \beta + T(h-b_{1} )\sin \beta >0 \end{eqnarray}$

该条件一旦满足(已经不安全了),进行第三阶段。

第三阶段受力图如图5所示。当小车超出桌面较多时且产生转动时,系统有三个自由度：小车质心位置$x$和$y$、转角$\alpha$、绳子摆角$\beta$,但是由于小车与台面接触还有一个约束方程

(5) $\begin{eqnarray} y=\frac{b_{1} }{\cos \alpha }+\frac{(L-x)\sin \alpha }{\cos \alpha } \end{eqnarray}$

这时要注意绳子端点B的加速度为

(6) $\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{l} a_{Bx} =\ddot{{x}}+[(h-b_{1} )\cos \alpha -a_{1} \sin \alpha ]\ddot{{\alpha }}-\\\qquad [a_{1} \cos \alpha +(h-b_{1} )\sin \alpha]\dot{{\alpha }}^{2} \\ a_{By} =\ddot{{y}}-[a_{1} \cos \alpha +(h-b_{1} )\sin \alpha ]\ddot{{\alpha }}-\\\qquad [(h-b_{1} )\cos \alpha -a_{1} \sin \alpha ]\dot{{\alpha }}^{2} \\ \end{array} \right\} \end{eqnarray}$

不考虑空气阻尼,从而得到系统的动力学方程为

(7) $\begin{eqnarray} \left. {\begin{array}{l} m_{1} \ddot{{x}}+F\cos \alpha -N\sin \alpha -T_{1} \sin \beta =0 \\ m_{1} \ddot{{y}}-F\sin \alpha -N\cos \alpha +T_{1} \cos \beta =-m_{1} g \\ J\ddot{{\alpha }}=f(\alpha ,\beta ,F,N,T_{1} ) \\ m_{2} l\ddot{{\beta }}=m_{2} a_{Bx} \cos \beta -m_{2} (g+a_{By} )\sin \beta \\ m_{2} l\dot{{\beta }}^{2}=m_{2} a_{Bx} \sin \beta -m_{2} (g+a_{By} )\cos \beta \\ F-\mu N=0 \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$

其中$f(\alpha ,\beta ,F,N,T_{1})$是已知函数。方程(7)要与约束方程(5)和方程(6)联立才能求解。在求解过程中,一旦满足$N=0$或小车尾部超出平台边缘,表示小车脱离台面,进入下一阶段。

第四阶段受力图如图6所示。当小车脱离桌面且绳子绷紧时,系统有自由度：小车质心位置$x$和$y$、转角$\alpha$、绳子摆角$\beta$。$B$点的加速度仍是式(6)。

从而得到系统的动力学方程为

(8) $\begin{eqnarray} \left. {\begin{array}{l} m_{1} \ddot{{x}}-T_{1} \sin \beta =0 \\ m_{1} \ddot{{y}}+T_{1} \cos \beta =-m_{1} g \\ J\ddot{{\alpha }}=f(\alpha ,\beta ,T_{1} ) \\ m_{2} l\ddot{{\beta }}=m_{2} a_{Bx} \cos \beta -m_{2} (g+a_{By} )\sin \beta \\ m_{2} l\dot{{\beta }}^{2}=m_{2} a_{Bx} \sin \beta -m_{2} (g+a_{By} )\cos \beta \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$

其中$f(\alpha ,\beta ,T_{1} )$是已知函数。在求解过程中,一旦满足$T_{1}$ ≤ 0,就表示小车与配置之间的绳子松弛了,进入下一阶段。

当小车与配重之间绳子未绷紧时,是五自由度问题：小车质心位置$x$和$y$、转角$\alpha$、配重质心位置$x_{2} $和$y_{2}$。不过动力学方程却很简单,有

(8) $\begin{eqnarray} \left. {\begin{array}{l} m_{1} \ddot{{x}}=0 \\ m_{1} \ddot{{y}}=-m_{1} g \\ J\ddot{{\alpha }}=0 \\ m_{2} \ddot{{x}}_{1} =0 \\ m_{2} \ddot{{y}}_{1} =-m_{2} g \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$

在一定的配重下,小车前部可以冲出台面边缘而最终停住,其原理是：绳子的拉力是小车前进的动力,而摩擦力是小车刹车的

原因。关键是：绳子拉力的水平分量随小车前进而减少,而摩擦力分量随小车前进而增加。

对于载人游戏,安全是第一位的,所以首先要确定配重的范围,即

$L=5;\ a=1;\ b=0.5;\ h=b/2$

$l=6;\ a1=0.8;\ b1=0.6$

$m1=100;\ g=10;\ mu1=0.2$

$mu2=0.2;\ nn=10;\ H=10 $

小车质量比与最终位移关系如图7所示,从图中可以看出,配重与小车的临界质量比为$\eta \ast =m_{2} /m_{1} =27.43\%$ (具体可由式(2)得到),$\eta <\eta \ast$时小车不能运动,$\eta >\eta \ast$时小车才能运动起来。$\eta =29.60\%$时小车前缘已经到了台面的边界(但是安全),$\eta >35\%$时小车整体冲出台面边界(危险)。从表演的角度,质量比$\eta \approx 34\%$时最刺激：前缘能冲出台面,配重摆动起来,小车最终安全停留在台面上,根据方程(3)和方程(4),令加速度为零及\vspace{-6mm}\linebreak

\ni $y=b_{1}$, $\beta =0$,该情况下小车前缘最多可以伸出边界$a_{1} m_{1} /(m_{1} +m_{2})\approx 0.6$\nbs m,当然实际上要保守一点。

但是图7有一个疑问,如果$\eta $比$\eta \ast$稍大一点,小车为什么会先运动然后停在台面上?

图8是不同质量比情况下小车的速度与位移关系,可以看到：不同质量比情况下小车均是先加速再减速,其中牵引小车的绳子角度是关键：开始时$\theta$小,拉力$T_{1} $的水平分量大,小车加速;当小车向前运动使$\theta$变大后,一方面拉力$T_{1}$的水平分量变小,另一方面压力分量增加使摩擦力增加,导致小车减速。如果小车速度降到0之前就到了危险边界($L+a_{1}m_{1} /(m_{1} +m_{2} )=5.6$\nbs m),则会冲出台面。

另一个问题是,图7中的曲线为什么会有两个明显的跳跃?

第一个跳跃点是在临界质量处,这好理解：当$\eta <\eta \ast$时拉力小于摩擦力,小车静止不动,一旦$\eta >\eta \ast$小车就会运动,所以在$\eta \ast$处有一个跳跃。另一处跳跃发生在刚好冲出台面的情况,也许第二阶段小车到达危险位置时水平速度为零,但是进入第三阶段后,小车绕台面边缘$A$转动起来,又会产生水平的速度分量。

以质量比$\eta =30\%$为例,看看小车在运动过程中各种力随时间(图9)或位移(图10)的关系。可以看出水平方向的合力(绳子拉力分量减去摩擦力)开始大于0使小车加速,当小车前缘出了台面后水平分量小于0使小车减速。可以看出小车前缘在到达台面边界时各种力都有突变,以压力变化为例,可以从方程(1)和方程(3)中解出跳变的幅度,令方程(1)中$\theta=90^{\circ}$,方程(3)中$\beta =0$, $\dot{{\beta }}=0$,有

(10a) $\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{l} m_{1} \ddot{{x}}=-F \\ 0=N^{-}-m_{1} g-T_{1} \\ m_{2}\ddot{{x}}=m_{2} g-T_{2} \\ T_{1} =T_{2} \\ F=\mu N^{-} \\ \end{array} \right\} \end{eqnarray}$(10a)

(10b) $\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{l} m_{1} \ddot{{x}}=-F \\ 0=N^{+}-m_{1} g-T_{1} \\ m_{2} l\ddot{{\beta }}=-m_{2} \ddot{{x}} \\ 0=T_{1} -m_{2} g \\ F=\mu N^{+} \\ \end{array} \right\} \end{eqnarray}$(10b)

从而得到小车第一阶段最后时刻的压力为$N^{-}=m_{1}(m_{1}+m_{2})g/(m_{1}-m_{2}\mu)$=1383N,而第二阶段初始时刻压力为$N^{+}=(m_{1} +m_{2})g$=1300 N,其他力的跳跃也可以类似分析。

最后可以看看小车冲出台面但最终停在台面上的各种曲线变化：图11中绳子角度开始接近与台面平行,后来摆动起来,角度产生周期性变化,由于有空气阻尼,最终静止。图12中摩擦力开始较小,小车接近台面边缘时,绳子拉力方向接近垂直,压力增加导致摩擦力增加,小车冲出台面后摩擦力趋于零,但由于配重的摆动,导致摩擦力的方向也会变化。

悬崖勒马问题看上去简单,但是过程中自由度数目一直在变化,可以让学生了解到实际问题是如何建模、分析、计算的。本文解释了悬崖勒马的原理,给出了配重与小车的临界质量比,给出了安全位置和危险位置,分析了压力突变的范围,并对小车运动的整个过程进行了数值仿真,得到了丰富的数据、曲线和动画演示,可让学生对这一问题有全面、深入的了解。