十字轴万向节是一种在工程中应用较为广泛的传动系统,它的主动轴与从动轴可以存在一定的夹角。十字轴万向节具有制造简单、可靠耐用等优势,但存在主动轴与从动轴转速不等的情况。在主动轴旋转360$^\circ$的过程中,虽然从动轴也同样旋转360$^\circ$,但两者的转角、角速度并不总是相等,这就是十字轴万向节的不等速性。

在理论力学的运动学教学中,十字轴万向节是如何运动的,以及两轴转动的角度关系是一个难点。在实验室中通常将两轴转动的差异用电信号进行转换处理,学生感到不够直观。为了解决这一问题,本文首先设计制作出一个简单的万向节模型,然后导出万向节的转角差异关系,最后设计制作出了一个改进的万向节模型,可以让学生直观地看出两轴转动角度的差异。

十字轴万向轴的要点是：主动轴与从动轴的夹角可以在一定范围内变化,十字轴绕其中心点做定点运动。因此在设计时要考虑这两个因素。

利用AutoCAD软件进行设计,利用激光切割机对密度板进行加工,可以很快获得十字轴的零部件(图1)。设计中考虑了接口的过盈配合,不需要胶水就可以把框架拼好(图2)。

十字轴的连接轴也用密度板来实现,框架与连接轴之间留有微小缝隙,拼装好后可以灵活转动(图3)。万向节的底板分为两大块,两者可相对做圆周运动且始终保持接触,以方便圆弧边缘有刻度显示主动轴与从动轴的夹角;底板上可以插上立柱,而立柱可与十字轴连接(图4)。

用2根铁轴分别连接十字轴两端的边框,并分别插到底板立柱的孔中,就做好了一个简版的十字轴万向节,它可以实现两轴平行(图5)以及两轴有偏角(图6)时的运动演示,很直观。

激光切割的精度很高,误差在0.1 mm以内,所以整个装置拼好后,精度还是比较高的。当然以后如果可以用金属来加工,误差可以更小,摩擦也更小,演示效果也会更好。

结合简易版的万向节模型,可以做运动分析,下面特别关注两轴的转角差异问题。

万向节的运动坐标系如图7所示,所有坐标原点均在$O$点,但为了方便观看,图中原点放在不同的位置。固定坐标系$x_0y_0 z_0 $,初始时刻动坐标系$x_1 y_1 z_1 $与$x_0 y_0 z_0$重合,且主动轴$OM$固连,$OM$轴沿$x_1 $方向,$OA$沿$y_1 $方向;动坐标系$x_2 y_2 z_2$与从动轴$ON$固连,$ON$轴沿$x_2 $方向,$OB$沿$z_2 $方向;假设$OMN$始终在$x_0 y_0$平面内,$OM$轴与$ON$轴的夹角为偏角$\alpha$;$OM$轴转动$\varphi _1 $后$A$到了$A'$,动坐标系变为$x_3 y_3 z_3 $; $ON$轴转动$\varphi _2$后$B$到$B'$,动坐标系变为$x_4 y_4 z_4 $。

在这种假设条件下,$A_{01} $是单位矩阵,其余各坐标系之间的方向余弦矩阵为

设${r}_{A'} $表示从$O$到$A'$的矢量,而${r_{\underline{A'}}}_i $表示${r}_{A'} $在坐标系$x_i y_i z_i$中的列阵,根据矢量的列阵在不同坐标系之间的转换关系,则有

$\begin{eqnarray*} &&A_{12} =\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {\cos \alpha } & {-\sin \alpha } & 0 \\ {\sin \alpha } & {\cos \alpha } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} }} \right]\\ &&A_{13} =\left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {\cos \varphi _1 } & {-\sin \varphi _1 } \\ 0 & {\sin \varphi _1 } & {\cos \varphi _1 } \end{array} }} \right]\\ &&A_{24} =\left[ {{\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {\cos \varphi _2 } & {-\sin \varphi _2 } \\ 0 & {\sin \varphi _2 } & {\cos \varphi _2 } \end{array} }} \right] \end{eqnarray*}$

因为$OA'$垂直于$OB'$,有${r}_{A'} \cdot {r}_{B'} =0$,或${r_{\underline{A'}} }_0^{\rm T} {r_{\underline{B'}} }_0 =0${,} 代入式(1)和式(2)后有

$\begin{eqnarray*} -\cos \varphi _1 \cos \alpha \sin \varphi _2 +\sin \varphi _1 \cos \varphi _2 =0 \end{eqnarray*}$

从而得到

由此可见万向节两轴的转动角度是不同的,设$\Delta \varphi =\varphi _2 -\varphi _1$,式(3)可以变化为

图8显示了不同偏角情况下两轴转角的差异。偏角$\alpha$越大,两轴转角的差异就越大。

进一步对式(3)两边求导,可以得到

即两轴角速度之比也随时间周期性变化。

通常在理论力学求解万向节角速度的习题中,会有意识地让$\varphi _1=0$或$\varphi_1=\pi/2$,就是为了避免复杂的运动学分析,但这也容易让学生误解,以为两轴角速度之比是常数。

为了直观看出万向节两轴转角的差异,可以巧妙利用锥齿轮,把两个非平行的转轴变为两个平行的转轴,再类似钟表的处理方式,把两个平行轴变为共轴的"分针"和"秒针"转动,这样就可以通过"分针"和"秒针"的夹角,直接看出两轴转角的差异。

具体设计中的要点是：在装置示意的俯视图(图9)和正视图(图10)中,齿轮$C$通过锥齿轮与$OM$轴连接,然后与齿轮$D_1$连接;齿轮$E$通过锥齿轮与$ON$轴连接,然后与齿轮$D_2$连接。而齿轮$D_1$和$D_2$共轴且轴的延长线过$O$点。

这样的设计保证了当$ON$轴和$OM$轴保持不同的偏角$\alpha $时,齿轮$E$总可以与齿轮$D_2$啮合。共轴设计将$OM$和$ON$的转角同时在齿轮$D_1$和$D_2$中反映出来,再将指针分别与$D_1$和$D_2$齿轮固接,就可以通过看两指针夹角的变化,直观地看出万向节两轴转角的差异。

图11和图12是改进后的装置,其中$C$,$D$,$E$齿轮的齿数还可以适当改变,目的是将两轴转动的差异进行放大。

(责任编辑: 胡漫)