作为目前应用力学中最具活力之一的振动力学,在近几十年取得了长足的发展。振动控制是振动力学中的重要组成部分,也是振动力学走向应用的主要方向之一。被动控制因为其稳定性、低成本等优点成为振动控制理论及其工程应用研究领域的主要关注点。在离散体振动的被动控制中,采用力的传递率评价积极隔振的指标,采用位移传递率评价消极隔振的效果。国内外多本教材都给出了单自由度离散结构积极隔振和消极隔振的传递率定义,并说明了对于单自由度系统的线性振动两种隔振传递率的一致性[1 -6 ]。
对于非离散结构的分布参数结构的横向弯曲振动,国内外教材中已经阐述了相关的建模、固有频率、振动模态等内容[2 -3 ]。推动了弹性体振动基本理论的发展。但是对于连续结构的振动控制问题,教材中很少涉及。特别是对于弹性结构横向弯曲振动的隔离理论,还未见收录于教材中。由于对于连续体的隔振需要不止一个支撑点,所以振动传递率的定义有别于离散结构。Ding等[7 ]通过两端隔振点的合力传递,给出了弹性梁横向振动积极隔离的传递率。
为了推动弹性结构振动控制基本理论的发展与应用,本文通过计入内阻尼的弹性梁横向受迫振动,给出各个隔振点分力以及两个隔振点的合力的传递率定义。并通过对称和非对称隔振,说明三种传递率的异同。
1 控制方程
中点激励下两端弹性支撑弹性梁的力学模型如图1 所示。令弹性梁水平平衡位置为$x$轴,$t$为时间坐标,$u(x,t)$为梁横向弯曲振动的位移,梁的长度为$l$,$k_{\rm l}$和$k_{\rm r}$ 分别代表两个梁左端和右端边界的弹性支撑刚度,等直梁的密度为$\rho$,截面积为$A$,弹性模量为$E$,惯性矩为$I$,$F(x,t)$为外部激励力。
图1
计入弹性梁的内黏性阻尼$\mu$,根据达朗伯原理和欧拉--伯努利梁理论,通过分析弹性梁微元横向的受力平衡,得到梁横向线性振动的控制方程[2 ]
(1) $\begin{align} \rho Au,{}_{tt} + EIu,{}_{xxxx} + \mu Iu,{}_{xxxxt} = F(x,t) \end{align}$
式中逗号后面下角标表示对下角标变量求偏导。不计边界处阻尼的影响,梁两端的边界条件为
(2) $\begin{align}\left.\begin{array}{ll} EIu,_{xx} \left( {0,t} \right) = 0, EIu,_{xx} \left( {l,t} \right) = 0 \\ k_{\rm l} u\left( {0,t} \right) + EIu,_{xxx} \left( {0,t} \right) = 0 \\ k_{\rm r} u\left( {l,t} \right) - EIu,_{xxx} \left( {l,t} \right) = 0 \end{array}\right\} \end{align}$
2 固有频率和模态函数
不计黏性阻尼的影响,假设弹性梁无阻尼自由振动的响应为无限多个主振动的叠加
(3) $\begin{align} u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {q_i \left( t \right)\phi _i (x)} \end{align}$
式中$\phi_{i}(x)$和$q_{i}(t)$分别代表弹性梁的$i$阶模态函数和模态广义坐标。模态函数的通解可以写为
(4) $\begin{align} \phi _i (x) ={}& C_1 \cos \beta _i x + C_2 \sin \beta _i x + \notag \\ & C_3 {\rm ch}\beta _i x + C_4 {\rm sh}\beta _i x \end{align}$
式中$C_{j}$ ($j=1$, 2, 3, 4)为待定系数,$\beta_{i}$为特征值。将式(3)代入式(2),可以得到如下模态函数的边值条件
(5) $\begin{align} \left.\begin{array}{l} EI{\phi }''_i (0) = 0,~~ EI{\phi }''_i (l) = 0 \\ k_{\rm l} \phi _i (0) + EI\phi _i ^{\prime \prime \prime} (0) = 0 \\ k_{\rm r} \phi _i \left( l \right) - EI\phi _i ^{\prime \prime\prime }( l ) = 0 \end{array}\right\} \end{align}$
(6) $\begin{align} \left( \begin{array}{*{20}c} {k_{\rm l} } & { - EI\beta _i ^3} & {k_{\rm l} } & {EI\beta _i ^3} \\ 1 & 0 & { - 1} & 0 \\ {\dfrac{k_{\rm r} }{EI}\cos \beta _i - \beta _i ^3\sin \beta _i l} & {\dfrac{k_{\rm r} }{EI}\sin \beta _i l + \beta _i ^3\cos \beta _i l} & {\dfrac{k_{\rm r} }{EI}\text{ch}\beta _i l - \beta _i ^3\text{sh}\beta _i l} & {\dfrac{k_{\rm r} }{EI}\text{sh}\beta _i l - \beta _i ^3\text{ch} \beta _i l} \\ { - \cos \beta _i l} & { - \sin \beta _i l} & {\text{ch}\beta _i l} & {\text{sh}\beta _i l} \end{array} \right)\left( {{\begin{array}{*{20}c} {C_1 } \\ {C_2 } \\ {C_3 } \\ {C_4 } \end{array} }} \right) = \bf 0 \end{align}$
令$C_{1}$为非零常数,特征值以及$C_{2}$, $C_{3}$和$C_{4}$的值可以通过令上式的系数行列式为零计算得到。由此可以确定弹性支撑梁横向振动的模态函数以及固有频率。
3 弯曲振动响应
将式(3)代入式(1),并将等式两端与$\phi _m ( x)$相乘后沿梁的全长积分,其中$m =1,2,\cdots$。利用正交性条件,可得
(7) $\begin{align} \ddot {q}_m +{}& \frac{I\int_0^l {\phi _m ^{\prime \prime \prime \prime}(x)\phi _m (x)dx}} {\rho A\int_0^l {\phi _m (x)\phi _m (x)dx} }\left( {\mu \dot {q}_m + Eq_m } \right) = \notag \\ & \frac{\int_0^l {F\left( {x,t} \right)\phi _m \left( x \right)\text{d}x} }{\rho A\int_0^l {\phi _m (x)\phi _m (x)dx}} \end{align}$
(8) $\begin{align} \left.\begin{array}{ll} m_m ={}& \rho A\int_0^l {\phi _m (x)\phi _m \left( x \right)dx} \\ k_m ={}& EI\int_0^l {\phi _m ^{\prime \prime\prime \prime }\left( x \right)\phi _m (x)dx} \\ \omega _m^2 ={}& \dfrac{EI\int_0^l {\phi _m ^{\prime \prime\prime \prime }(x)\phi _m (x)dx}}{\rho A\int_0^l {\phi _m (x)\phi _m (x)dx}} \\ \xi _m ={}& \dfrac{\mu \sqrt I \sqrt{\int_0^l {\phi _m ^{\prime\prime\prime \prime }(x)\phi _m (x)dx}}}{2\sqrt E \sqrt{\rho A\int_0^l {\phi _m (x)\phi _m (x)dx}}} \end{array}\right\} \end{align}$
其中$m_{m}$为模态质量,$k_{m}$为模态刚度,$\omega_{m}$为固有频率,$\zeta_{m}$为模态阻尼比。假设外激励$F(x,t)$为作用于梁中点的简谐力
(9) $\begin{align} F( {l/2,t} ) = F_0 \cos \left( {\omega _{\rm b} t} \right) \end{align} $
式中$F_{0}$和$\omega_{\rm b}$分别代表外激励的幅值和频率。此时可以得到如下模态广义力的幅值
(10) $\begin{align} F_m = F_0 \phi _m \left( {l/2} \right) \end{align}$
(11) $\begin{align} & \ddot {q}_m + 2\xi_m \omega _m^2 \dot {q}_m + \omega _m^2 q_m = \notag\\ & \frac{F_m }{m_m }\cos \left( {\omega _{\rm b} t} \right) \end{align}$
引入无量纲的激励频率$s_m = {\omega _{\rm b}}/{\omega _m}$,由此可得弹性梁稳态响应
(12) $\begin{align} u\left( {x,t} \right) ={}& \sum\limits_{i = 1}^\infty {\phi _i \left( x \right)} \frac{F_i }{k_i }\frac{1}{\sqrt {(1 - s_i ^2)^2 + (2\xi _i s_i )^2} }\cdot \notag \\ &\cos \left( {\omega _{\rm b} t - \theta _i } \right) \end{align}$
(13) $\begin{align} \theta _i = \arctan \frac{2\xi _i s_i }{1 - s_i^2 } \end{align}$
4 弯曲振动传递率定义
(14) $\begin{align} \left.\begin{array}{l} F_{\rm l} (t) = k_{\rm l} \times \sum_{i = 1}^\infty {\phi _i (0)\dfrac{F_i }{k_i }\dfrac{1}{\sqrt {(1 - s_i ^2)^2 + (2\xi _i s_i )^2} }\cos \left( {\omega _{\rm b} t - \theta _i } \right)} \\ F_{\rm r} (t) = k_{\rm r} \times \sum_{i = 1}^\infty {\phi _i (l)\dfrac{F_i }{k_i }\dfrac{1}{\sqrt {(1 - s_i ^2)^2 + (2\xi _i s_i )^2} }\cos \left( {\omega _{\rm b} t - \theta _i } \right)} \end{array}\right\} \end{align}$
因此,可以定义弹性梁两支撑端力的传递率以及两端合力的传递率
(15) $\begin{align} \left.\begin{array}{l} \eta _{\rm l} = \dfrac{k_{\rm l} }{{F_0}/2}\times \text{Max}\left[ {\sum\limits_{i = 1}^\infty {\phi _i (0)\dfrac{F_i }{k_i }\frac{1}{\sqrt {(1 - s_i ^2)^2 + (2\xi _i s_i )^2} }\cos \left( {\omega _{\rm b} t - \theta _i } \right)} } \right] \\ \eta _{\rm r} = \dfrac{k_{\rm r} }{{F_0}/2}\times \text{Max}\left[ {\sum\limits_{i = 1}^\infty {\phi _i \left( l \right)\dfrac{F_i }{k_i }\dfrac{1}{\sqrt {(1 - s_i ^2)^2 + (2\xi _i s_i )^2} }\cos \left( {\omega _{\rm b} t - \theta _i } \right)} } \right] \\ \eta _{\rm t} = \dfrac{F_{\rm l} (t) + F_{\rm r} (t)}{F_0 } = \dfrac{1}{F_0}\text{Max}\left[ {\sum\limits_{i = 1}^\infty {\dfrac{F_i }{k_i }\dfrac{k_{\rm l} \times \phi _i (0) + k_{\rm r} \times \phi _i \left( l \right)}{\sqrt {(1 - s_i ^2)^2 + (2\xi _i s_i )^2} }\cos \left( {\omega _{\rm b} t - \theta _i } \right)} } \right] \end{array}\right\} \end{align}$
5 数值结果
以铝合金梁为例,物理参数如下：杨氏模量为68.9 GPa,密度为2800 kg/m$^{3}$,长度为0.5 m,截面宽度为0.02 m,截面高度为0.01 m,内黏性阻尼为10$^{6}$ N$\cdot$s/m$^{2}$。梁两端的支撑刚度是对称的：$k_{\rm l}=k_{\rm r}=50$ kN/m。 由此可以计算得到前4阶固有频率为$\omega_{1}=67.04$, $\omega_{2}=154.35$, $\omega_{3}=283.93$, $\omega_{4}=595.50$。 对称弹性支撑隔振的弹性梁横向振动的传递率如图2 所示。图2 表明,采用两端对称的线弹性隔振时,梁横向振动通过两个隔振端的传递率与两端合力的传递率完全重合。
梁两端的支撑刚度为非对称的$k_{\rm l}=50$ kN/m及$k_{\rm r}=5$ kN/m时,计算得到前4 阶固有频率为$\omega_{1}=34.479$, $\omega_{2}=109.53$, $\omega_{3}=255.23$, $\omega_{4}=581.00$。 非对称隔振的梁的传递率如图3 所示。观察图3 可以发现,在非对称弹性支撑下,梁的横向振动通过两端分别传递以及两端合力的传递率都不相同。支撑刚度较强的一端,一般也具有较大的传递率。
图2
图3
6 讨论
本文旨在讨论弹性结构横向振动隔离的传递率定义。以弹性梁横向振动的积极隔离为例,给出了三种定义方式,即两个隔振端各自的力的传递率,以及两端合力的传递率。结果显示,在梁中点简谐力激励下,弹性梁两端对称隔振时,三种传递率完全重合;但是对于两端非对称隔振时,外力通过两端分别传递和两端合力的传递是互不相同的,而且三种传递率存在较大的差别。鉴于弹性结构横向弯曲振动的隔离属于振动理论的基本问题,而且与离散结构振动隔离的理论存在较大的差别,因此建议在振动力学的教学中予以涉及,并收录于教材中。这对于推进振动力学基本理论的发展,以及振动力学的工程应用都是有所助益的。
参考文献
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... 作为目前应用力学中最具活力之一的振动力学,在近几十年取得了长足的发展.振动控制是振动力学中的重要组成部分,也是振动力学走向应用的主要方向之一.被动控制因为其稳定性、低成本等优点成为振动控制理论及其工程应用研究领域的主要关注点.在离散体振动的被动控制中,采用力的传递率评价积极隔振的指标,采用位移传递率评价消极隔振的效果.国内外多本教材都给出了单自由度离散结构积极隔振和消极隔振的传递率定义,并说明了对于单自由度系统的线性振动两种隔振传递率的一致性[1 -6 ]. ...
2
2019
... 对于非离散结构的分布参数结构的横向弯曲振动,国内外教材中已经阐述了相关的建模、固有频率、振动模态等内容[2 -3 ].推动了弹性体振动基本理论的发展.但是对于连续结构的振动控制问题,教材中很少涉及.特别是对于弹性结构横向弯曲振动的隔离理论,还未见收录于教材中.由于对于连续体的隔振需要不止一个支撑点,所以振动传递率的定义有别于离散结构.Ding等[7 ]通过两端隔振点的合力传递,给出了弹性梁横向振动积极隔离的传递率. ...
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1
1989
... 对于非离散结构的分布参数结构的横向弯曲振动,国内外教材中已经阐述了相关的建模、固有频率、振动模态等内容[2 -3 ].推动了弹性体振动基本理论的发展.但是对于连续结构的振动控制问题,教材中很少涉及.特别是对于弹性结构横向弯曲振动的隔离理论,还未见收录于教材中.由于对于连续体的隔振需要不止一个支撑点,所以振动传递率的定义有别于离散结构.Ding等[7 ]通过两端隔振点的合力传递,给出了弹性梁横向振动积极隔离的传递率. ...
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2008
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Transmissibility of bending vibration of an elastic beam
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