斜面应力公式,或应力变换公式,是材料力学^[1-2]和弹性力学^[3-5]最常用的公式之一。在弹性力学中,斜面应力公式还用于表达应力边界条件^[3-5]。在材料力学中,一点的应力状态常用应力单元体表示。已知应力单元体上相互正交的表面上的应力,就可利用斜面应力公式求出任意斜面上的应力。对于平面应力问题,已知正方形单元体上的应力$(\sigma_x,\;\sigma _y ,\tau _{xy} )$,就可求出外法向与$x$轴呈任意角度$\alpha$的斜面上的正应力和切应力,即^[1-2]

反之,如果已知某点任意两个相交的(斜)面上的应力,利用上式就可求出该点的应力$\sigma_x$, $\sigma _y$, $\tau _{xy}$。弹性力学中,斜面上的应力矢量$t^\alpha =[t_x^\alpha ,t_y^\alpha ]^\text{T}$可由柯西应力公式^[3-5]求出

并可以进一步求出斜面上的正应力和法应力^[3-5]。

总之,对于二向应力问题,给定一点两个相交的面上的正应力和切应力,无论这两个面是否正交,该点的应力状态就完全确定了,这是我们从教材上获得的知识。类似地,对于三向应力问题,给定一点三个相交的面上的正应力和切应力,该点的应力状态就完全确定了。三维情况下,依然有柯西应力公式^[3-5]

式中${\sigma}$为一点的应力张量,$N$为斜面的外法线方向,$t^N$为斜面上的应力矢量。那么,斜面应力公式是否有一定的适用条件呢?本文以二向应力问题为例进行讨论,所得结论不难推广至三向应力状态。

先看两个例子。第一个例子如图1所示。这个例子出现于许多材料力学的教材中,或作为例题,或作为习题^[2]。

图1中,薄板左右两侧受拉力,是典型的平面应力问题。其顶面中部呈三角形凸出,尖点为$A$。求$A$点各截面上的正应力和切应力。注意到相交成$\beta$角度的两个面是自由面,两个主应力为零,不难由式(1)或式(2)得出结论：在交点$A$,任意斜面方向上的正应力和切应力均为0。这一结论,也可由应力莫尔圆得出：由于两个主应力皆为0,应力圆变为圆心位于原点、半径为0的圆。还可按线性代数方法^[6] 判断$A$点处于零应力状态,因为一点的应力状态可用实对称应力矩阵表示,主应力及其方向分别对应于实对称应力矩阵的特征值与特征向量。具体地说,在二向应力状态下,过$A$点的两个斜面上的切应力均为0,因此,这两个面均为主应力面;两个主面相交于$A$ 点,可知它们就是线性独立的主应力面;又因这两个主面上的正应力均为0,知这个零应力是应力矩阵的二重特征值,该点的最大、最小主应力均为0。该点以任意方向为外法线的斜面上的正应力均介于最大、最小主应力之间,必为0。于是任意斜面都是主应力面,且主应力为0。

再看第二个例子,如图2所示。薄板仅在左右两侧受拉力,也是典型的平面应力问题,但板顶中部有V形切口,形如三角形,尖点为$A$。分析$A$点的应力情况。

$A$点是两个自由面的相交点。无论利用应力变换公式,还是采用摩尔圆法,都会得出结论：V形切口的尖点处于零应力状态。但是,在这一点其实存在应力集中现象,按线弹性理论应力分量$\sigma_x $趋于无穷,呈现奇异性^[7-8]。国内外不少学者研究了V 形切口周围的应力分布情况^[8-11]。当$\beta$趋于0时,图2的情形就变为断裂力学中的I型裂纹问题。那么,为什么采用应力变换公式得出了错误结论呢?

用应力变换公式得出了错误的结论：受拉薄板的V形切口尖点处于零应力状态。得出错误结论的原因是什么呢?从应力张量的定义,我们知道,如果一点任意斜面上的应力可按斜面应力公式计算,或者说,服从应力的坐标变换规律,那么这点的应力分量就构成应力张量。而应力张量的各分量在一点是单值的、连续的。

在V形切口的尖端,如图3所示,自由面$BA$的法线沿${x}'$方向,与$x$轴的夹角为$\gamma$,自由面$\textit{BA}$上正应力为零,即$\sigma _{x}'^{(1)} (\gamma ) =0$。但顺着自由面向介质内部延伸的$\textit{AC}$面上,应力集中而非零,$\sigma _{x}'^{(2)}(\gamma ) \ne 0$。$\sigma _{x}'^{(1)} (\gamma ) \ne \sigma _{x}'^{(1)} (\gamma )$,因此,${x}'$方向的正应力在$A$点是不连续的。

如果把$AB$和$AC$当成一个面,则$\sigma _{x}' (\gamma )$在$\gamma$面上是二值的。切应力也有类似的问题。可见,在切口尖端的应力状态不能用应力张量表示,斜面应力公式也就不能用于尖端。

其实,图3所示切口尖端A点AC面上的应力(比如$\sigma _x$)是奇异的,其偏导数也是奇异的。针对无限远处受面内应力作用的V形切口薄板,Barbar^[7]在其弹性力学教材中给出了尖点附近应力奇异程度随V形角度的变化曲线,当角度$\alpha$趋于0时,V形切口变为一条裂纹,应力呈现出幂次为$-0.5$的奇异性,这是熟知的线弹性断裂力学结果。裂纹尖端的应力分量是随方位而变的,比如,沿裂纹延伸线上从内部逼近尖点时,$\sigma_x $是一个值;沿垂直于裂纹面的线逼近尖端时,$\sigma _x$是另一个值^[12]。随着V形口角度的增加,应力奇异性逐步降低,幂次的负值逐步减小。当V 形口角度变为180$^\circ$时,切口成为光滑表面的一部分,幂次变为0,奇异消失^[7]。 在光滑表面上任一点,应力既不会多值,也不会无限大,除非该点受集中力的作用。

图1所示的外凸尖点,两个自由面及其内侧介质内的任意斜面上,应力是单值的。因此,在由两个自由面为边界的介质范围$\beta < 180^\circ$内,尖点的任意斜面上,斜面应力公式是成立的。

大家知道,材料力学中用应力单元体表征一点的应力状态,如图4(a)。与图4(b)所示的微元体不同,应力单元体不是取自介质结构的微小部分,而只是为表征一点的应力状态而虚构的图形(应力圆是表征一点的应力状态的另一种图形,圆上一点对应于一点在一个斜面上的应力),单元体的各个面是过同一点的,单元体没有边长,没有体积,正方形单元体上相对的两个面上的应力完全相等^[1-2]。

而建立平衡方程或动力学方程时,则是针对(真实)微元体的^[3-5]。在微元体每一组相对的两个面之间,存在应力差。如图4(b),$x = x_0$面上的正应力为$\sigma _x $,而$x = x_0 + \Delta x$面上的正应力为$\sigma _x +\dfrac{\partial \sigma _x }{\partial x}\Delta x$,在图4中,其他应力分量均未画出。

应力变换公式是针对一点的应力状态而言的。推导斜面上的应力,自然也就只用到该点的应力。更具体地说,一点的应力变换公式是基于该点的虚构楔形微元体的平衡推导出来的,在这个虚构的微元体内应力是均匀分布的,各表面上的应力代表这同一点不同面上的应力。这个虚构微元体是把边长赋予应力单元体后的图形,再切一刀,留下一个虚构微楔形体,二维情况下就是虚构三角形微元,如图5。二向应力情况下,是对这种虚构三角形微元施加平衡条件获得形如式(1)或式(2)的斜面应力公式的。三向应力情况类似,只不过是对虚构微楔形体施加平衡条件获得形如式(3)的斜面应力公式而已。

说一点的应力状态可用应力张量表达,其实就是说该点任意斜面上的应力可由应力变换公式求出,这是张量的定义^[4-5]所含的意义。

还可以用另一种观点来解释斜面应力公式在切口尖点不适用, 而外凸尖点适用。

考察如图6所示的情况。三角形凸出点两侧各有一个表面,把它看成是固体与真空的界面。针对每一个界面,各自取一个平行且包含该界面的长方形微元体,两个微元体的重叠区域落于固体之内(红色区域为考察的固体区域)。在每个微元体上列平衡方程,可以得到微元体边界上满足的应力连续条件。重叠区域既满足左侧微元体的条件又满足右侧微元体的条件。随着两侧微元体各自向固体表面收缩时,重叠区域就收敛到尖点。因此,尖点的应力状态可根据两侧边界的应力条件和斜面应力公式获得。特别地,当尖点两侧面力为零时,尖点的全部应力分量就等于零。

而对于如图7所示的切口,同样在尖点两侧的表面上取两个不同的微元体。类似地,在两侧的微元体上列平衡方程,可以得到边界上满足的应力连续条件,重叠区域既满足左侧微元体的条件又满足右侧微元体的条件。但是,此时重叠区域落于固体之外！因此,固体尖点的应力状态就不能利用两侧边界的应力条件从斜面应力公式计算获得了。特别地,当尖点两侧为自由表面时,套用斜面应力公式得出应力为0的结论,但它是固体之外边界的应力,不是固体内的应力。

弹性力学教材上一般把柯西应力公式用作边界条件,当所讨论的边界是光滑边界时,这种做法是正确的。但我们看到,在切口和裂纹的尖端,柯西应力公式就不能用了。

按二阶张量的定义,一点的应力状态可用应力张量表示就意味着任意斜面上的应力服从应力变换公式。如果过一点的斜面上的应力不能按应力变换公式计算出来,那么,该点的全部应力分量就不构成应力张量。在裂纹和切口处的尖端,应力不是单值连续的,应力状态不构成张量,斜面的应力不能用斜面应力公式求出来。

值得说明的是,本文的讨论是以连续介质假设、小变形、线弹性为前提的。实际介质受力作用时,一旦某点的某应力分量达到屈服极限,该应力分量就不再进一步增加,更不会出现奇异;切口也不可能理想化到无限尖锐的程度;分子与分子之间是有距离的,在微观上看介质不是连续的。以小变形、线弹性为前提的弹性理论出现了应力奇异的现象,应变就会很大,这是与前提相冲突的。现代力学研究已采用了微观的观点,但微观力学不是本文的讨论范围。在弹塑性断裂力学理论中,考虑了裂纹或切口尖端的塑形,于是尖端的应力是有限的,但依然是不连续的或双值的,应力变换公式依然不适用于裂纹或切口的尖端。