选取图1 所示的双跨框架梁进行分析, 其简化分析模型如图2所示.采用拆除构件法, 拆除中柱$C$, 将重力不平衡荷载$G$作用 在$C$点上. 其中$R$为结构抗力, $C$为失效点, $\varDelta$为失效点位移, $\theta $为梁端转角, $l$为两跨框架梁的长度(单跨梁的长度为$l/2$), $k$为半刚性节点的转动刚度.梁端采用固接边界条件, $\omega (x)$为梁的挠度曲线, 取坐标方向如图2所示.

图1

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	图1 失效子结构模型

图2

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	图2 分析模型

根据文献[7]中所得试验结果, 并结合已有分析研究所得结论, 本文将半刚性钢框架结构抗力与位移曲线简化为如图3所示的4个阶段：弹性阶段、塑性铰阶段、悬链线阶段Ⅰ 、悬链线阶段Ⅱ .

图3

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	图3 抗力-位移曲线

根据式(1)可知, 不平衡荷载做功等于抗力耗能, 图3中表示为^[8] $S_{AFGH} = S_{ABCDEH}$, 即

$ G \cdot \varDelta _u = \dfrac{1}{2} \cdot R_p \cdot \varDelta _y + R_p \cdot \left( {\varDelta _p - \varDelta _y } \right) + \\ \qquad \dfrac{1}{2} \cdot \left( {R_p + R_n } \right) \cdot \left( {\varDelta _n - \varDelta _p } \right) +\\ \qquad \dfrac{1}{2} \cdot \left( {R_n + R_u } \right) \cdot \left( {\varDelta _u - \varDelta _n } \right) \quad(2)$

其中, $R_{p} $, $R_{n} $, $R_{u}$, $\varDelta_{y} $, $\varDelta _{p} $, $\varDelta _{n} $, $\varDelta _u $分别为各个阶段的极限抗力和极限位移.根据文献[7]中的平齐式端板子结构模型(子模型5)所得的分析结果, 分别取$\varDelta _y = 0.01l$, $\varDelta _{p} =0.045l$, $\varDelta_n = 0.065l$作为各个阶段的分界点, 并以此作为后面分析结果对比的关键点.

各阶段抗力-位移表达式得到后, 代入式(2)即可求得半刚性钢框架结构在连续倒塌工况下所能承受的最大不平衡荷载$G$.

1.2.1 弹性阶段

在梁机制的弹性工作阶段, 梁内存在的轴力和挠度形成的力矩与梁段内弯矩抗力相比要小得多, 所以此阶段可以忽略轴力对抗力的影响, 只考虑弯矩作用对结构抗力的贡献, 而忽略了剪力和轴力的影响^[9].

此阶段梁处于小变形状态, 梁通过弯曲变形做功来抵抗不平衡荷载做功.根据图3中抗力-位移曲线分析可得, 该阶段子结构中抗力耗能就是曲线和坐标轴围成的三角形面积, 表示为

$U_{R1} = \dfrac{1}{2}R_1 \cdot \varDelta _1 \quad(3)$

其中$R_1 $为弹性阶段的抗力, $\varDelta_1$为梁机制弹性阶段失效点竖向位移.

由材料力学对梁在小变形状态下的应变能假定, 可忽略梁的剪切应变能, 得到梁弯曲应变能为

$U_{E1} = \dfrac{1}{2}EI\int_0^l ({\omega }'')^2 d x \quad(4)$

式中$E$和$I $分别为梁的弹性模量及惯性矩, $\omega $为梁的变形挠度曲线.根据文献[10]提出的半刚性钢框架的梁端约束系数$\mu = \dfrac{M}{M_{r} } = \dfrac{1}{1 + {2EI}/(kl)}$, 式中$M$和$M_r $分别为半刚性节点梁端实际弯矩及固端弯矩, $k$为半刚性节点的转动刚度, 按照欧洲规范取节点的初始转动刚度.定义梁线刚度为$k_b = {2EI}/{l}$, 则$\mu = \dfrac{M}{M_{r} } = \dfrac{1}{1 + {k_b }/{k}}$, 此式表明梁线刚度与节点刚度的比值${k_{b} }/{k}$对梁端约束系数的影响.半刚性钢框架在连续倒塌工况下的挠曲线方程可引入约束系数$\mu $, 通过修正刚接和铰接框架的挠曲线来获得.

定义求解固接框架的挠曲线方程为

$\omega _1 = B_1 (1 - \cos {2\pi x}/{l}) \quad (5)$

定义求解铰接框架的挠曲线方程为

$\omega _2 = B_2 \sin {\pi x}/{l} \quad (6)$

假定半刚性钢框架的挠曲线方程为

$\omega = \mu B_1 (1 - \cos {2\pi x}/{l}) + (1 - \mu )B_2 \sin {\pi x}/{l} \quad(7)$

根据边界条件^[6]

$\left. \begin{array}{l} (\theta )_{x = 0} =\Big (\dfrac{d\omega }{d x} \Big)_{x = 0} \\ (\omega )_{x = l / 2} = \varDelta _1 \\ (\omega '')_{x = 0} = \dfrac{k\theta }{EI} \end{array} \right\} \quad(8) $

推导出

$\left. \begin{array}{l} B_1 = \dfrac{\theta l}{2\pi ^2} \cdot \dfrac{1}{1 - \mu } \\ B_2 = \dfrac{\theta l}{\pi (1 - \mu )} \\ \theta = {\varDelta _1 }\Bigg / \Bigg (\dfrac{l}{\pi ^2} \cdot \dfrac{\mu }{1 - \mu } + \dfrac{l}{\pi } \Bigg) \end{array} \right\} \quad(9) $

从而得到半刚性钢框架子结构的挠曲线方程为

$\omega = \dfrac{\theta l}{2\pi^2} \cdot \dfrac{\mu }{1 - \mu } \cdot \Big(1 - \cos \dfrac{2\pi x}{l} \Big) + \dfrac{\theta l}{\pi } \cdot \sin \dfrac{\pi x}{l} \quad(10) $

将式(10)代入式(4)得到弹性阶段框架弯曲变形能

$U_{E1} = \dfrac{EI\theta ^2}{l}\Bigg[ \Big(\dfrac{\mu }{1 - \mu } \Big)^2 + \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\mu }{1 - \mu } + \dfrac{\pi ^2}{4} \Bigg] \quad(11) $

半刚性节点做功为

$U_{E2} = 4 \cdot \dfrac{1}{2}k\theta ^2 = 2k\theta ^2 \quad(12)$

联立式(3)、式(11)和式(12), 可得弹性阶段的能量平衡方程为

$\dfrac{1}{2} {R}_1 \varDelta _1 = \dfrac{EI\theta ^2}{l} \Bigg[ \Big(\dfrac{\mu }{1 - \mu } \Big)^2 + \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\mu }{1 - \mu } + \dfrac{\pi ^2}{4} \Bigg] + 2k\theta ^2 \quad(13)$

化简得到弹性阶段抗力曲线

${R}_1 = \dfrac{2EI\theta ^2}{\varDelta _1 l} \Bigg[ \Big(\dfrac{\mu }{1 - \mu } \Big)^2 + \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\mu }{1 - \mu } + \dfrac{\pi ^2}{4} \Bigg] + \dfrac{4k\theta ^2}{\varDelta _1 } \quad(14)$

将式(9)代入式(14), 得到弹性阶段抗力-位移曲线表达式为

$ {R}_1 = \dfrac{2EI \Bigg[ \Big(\dfrac{\mu }{1 - \mu }\Big)^2 + \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\mu }{1 - \mu } + \dfrac{\pi ^2}{4}\Bigg] + 4kl}{l\left( {\dfrac{l}{\pi ^2} \cdot \dfrac{\mu }{1 - \mu } + \dfrac{l}{\pi }} \right)^2} \cdot \varDelta _1 \quad(15) $

1.2.2 塑性铰阶段

梁两端截面同时达到全截面屈服, 该截面所能承受的弯矩不能继续增加, 并形成塑性铰, 结构进入塑性铰阶段.结构模型如图4所示. 根据文献[9]研究得到的结论, 为抵抗竖向不平衡荷载作用, 梁内的轴力开始发展, 但此时轴力相对较小, 所引起的轴向应变能抵消的外部输入能量只占该阶段的很小一部分, 故该阶段轴向应变能可忽略不计.

图4

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	图4 塑性铰阶段计算模型

根据图3中抗力-位移曲线得到该阶段子结构抗力做功为

$U_{R2} = R_2 \cdot (\varDelta _2 - \varDelta _y ) \quad(16)$

其中$R_2 $和$\varDelta _2 $分别为塑性铰阶段抗力和失效点竖向位移.

子结构在塑性铰阶段通过梁两端的塑性弯矩在其相应广义位移上所做功进行耗能

$U_{E} = 4M_p \left( {\theta _2 - \theta _y } \right) \quad(17)$

其中$\theta _2 $为塑性铰阶段梁端转角.

由于该阶段仍处于小变形状态, 故

$\theta _2 - \theta _y = \dfrac{2(\varDelta _2 - \varDelta _y )}{l} \quad(18)$

将式(18)代入式(17)得到

$R_2 = \dfrac{8M_P }{l} \quad(19)$

1.2.3 悬链线阶段I

随着梁进入大变形工作状态, 子结构梁内轴力不断增大, 而梁内弯矩逐渐减小, 子结构主要通过梁内轴力组成的悬链线抗力机制抵抗竖向不平衡荷载^[12].此时梁的弯曲变形能比轴力做功小得多, 故忽略其对子结构抗力和耗能的贡献.假定梁柱节点不先于梁发生破坏, 以保证节点具有足够的强度和延性, 使得悬链线阶段充分发展.实际工程中设计时按照"强节点弱构件"的设计原则, 所以上述假定是合理的.

在悬链线阶段, 周边构件对梁的轴向约束更为敏感, 但是本文研究的主要目的在于研究计算过程简单、结果可靠的整个连续倒塌过程的抗力表达式, 因此本文将周边构件对梁的轴向约束作为一种安全储备考虑.

由于该阶段分析中忽略了梁的弯曲变形能以及周边构件对梁的轴向约束, 所以选取如图5所示的计算模型, 将梁段假设为直杆以符合上述计算假定.其中$\theta _3 $为该阶段梁端的转角, $\varDelta _3 $为该阶段的失效点竖向位移, $F_p $为梁端节点拉结力, $R_3$为该阶段的抗力.

图5

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	图5 悬链线阶段I计算模型

根据图3中抗力-位移曲线可得该阶段子结构抗力做功为

$U_{R3} = \int_{\varDelta _p }^{\varDelta _3 } {R_3 d\varDelta } \quad(20)$

由于该阶段梁内轴力$F_p $未达到屈服极限, 故认为

$F_p \left( \varDelta \right) = EA \cdot \dfrac{\sqrt {\left( { {l}/{2}} \right)^2 + \varDelta ^2} - {l}/{2}}{ {l}/{2}} \quad(21) $

其中$E$和$A$分别为梁的截面模量、截面面积.

轴力与其产生的竖向位移在该阶段做功为

$ U_E = \int_{\varDelta _p }^{\varDelta _3 } 2EA \cdot \dfrac{\sqrt {\left( { {l}/{2}} \right)^2 + \varDelta ^2}- {l}/{2}}{ {l}/{2}} \cdot \\ \qquad \dfrac{\varDelta }{\sqrt {\left( { {l}/{2}} \right)^2 + \varDelta ^2} } d \varDelta \quad(22)$

通过联立式(20) $\sim$式(22)得悬链线阶段I的抗力-位移曲线表达式为

$ R_3 = \dfrac{4EA}{l} \cdot \dfrac{\sqrt {\left( { {l}/{2}} \right)^2 + \varDelta _3 ^2} - {l}/{2}}{\sqrt {\left( { {l}/{2}} \right)^2 + \varDelta _3 ^2} } \cdot \varDelta _3 \quad(23)$

1.2.4 悬链线阶段II

梁内某点受拉屈服后, 假定该阶段轴力保持屈服轴力 $F_y $不变, 直到结构破坏^[13].

取计算模型如图6所示, 其中$\theta _4 $为该阶段梁端的转角, $\varDelta _4 $为该阶段的失效点竖向位移, $R_4$为该阶段的抗力, $F_y $为梁端屈服轴力.

图6

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	图6 悬链线阶段II计算模型

根据图3中抗力-位移曲线可得该阶段子结构抗力做功为

$U_{R4} = \int_{\varDelta _n }^{\varDelta _4 } {R_4 d\varDelta } \quad(24)$

轴力与其产生的竖向位移在该阶段做功为

$U_E = \int_{\varDelta _n }^{\varDelta _4 } {2F_y \cdot \dfrac{\varDelta _4 }{\sqrt {\left( { {l}/{2}} \right)^2 + \varDelta _4 ^2} }} d\varDelta \quad(25)$

联立式(24)和式(25)得悬链线阶段II的抗力-位移曲线表达式为

$R_4 = 2F_y \cdot \dfrac{\varDelta _4 }{\sqrt {\left( { {l}/{2}} \right)^2 + \varDelta _4 ^2} } \quad(26) $

根据规范DOD2013^[3]中的规定, 将$\varDelta < l/10$定为梁结构倒塌过程中的极限位移.若超过极限位移后结构抗力仍有发展, 可不进行分析, 而是将其作为安全储备.

取文献[7]中的平齐式端板子结构模型(子模型5), 梁单跨跨度$l/2 = 2\, 104$mm. 其中, 梁截面为UB 254$\times$146$\times $37, 柱截面为UC 203$\times $203$\times $71, 钢材为S355, 其屈服强度和抗拉强度相当于国内的Q345钢.端板型号 为306$\times $200$\times $12, 与梁焊接, 钢材为S275, 相当于国内的Q295钢; 高强度螺栓为8.8级, 直径20mm. 钢材弹性模量均为$E$ =2.06$\times $10$^{5}$MPa. 截面详图如图7所示.

图7

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	图7 截面详图

将本文公式得到的计算结果与文献[7]中子模型5试验得到的抗力-位移曲线进行比较, 如图8所示.各阶段关键点处的对比分析见表1.

通过关键点处的对比, 文献[7]中子模型5试验计算得到的梁机制极限抗力为$R_p =74.2$kN, 根据上文公式的计算结果得$R'_p = 69.5$kN.悬链线阶段, 由于文献[7]子模型5试验过程中挠度达到悬链线阶段的$\varDelta _4 =350$mm处出现大量螺栓脱落, 造成子结构承载力迅速下降, 故本算例极限抗力$R_{u} $取$\varDelta _4 =350$mm处进行比较, 此后不做分析比较. 文献[7]试验得到的极限抗力为$R_n =161.1$kN, 本文公式计算出的相应位移处的极限抗力为$R'_{n} = 143.4$kN.但此后仍有较高承载力, 故将其作为安全储备考虑.

图8

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	图8 分析结果比较

表1

表1

表1 关键点比较

表1 关键点比较

将各个阶段的极限抗力和极限位移代入式(2)求得不平衡荷载$G$, 即本算例在连续倒塌工况下所能承受的最大不平衡荷载.文献[7]数据代入求得的不平衡荷载为$G = 83.5$kN, 本文求得的不平衡荷载为$G' = 76.8$kN, 二者吻合较好.

经过图8以及表1的对比可以发现, 各阶段计算结果与试验结果吻合得较好, 使用本文计算公式得到的结果均小于试验结果, 是因为在计算过程中进行了各种假定, 先后忽略了梁的轴力做功以及弯曲变形能等.本文使用的能量法计算结果偏于安全, 可以获得比较好的精度, 满足工程使用要求.