岩石进入破坏阶段后, 强度逐渐丧失, 直至达到残余强度, 此时, 岩石承载力几乎完全由破裂面之间的摩擦力提供.一般的损伤模型 难以描述残余阶段的特性, 而残余强度是岩石变形后期影响岩石强度的主要因素.因此建立反映岩石变形破坏全过程的本构模型一直是岩石力学研究的热点之一.

目前, 国内外学者对岩石损伤本构模型进行了大量的研究. 曹文贵等^[1]提出统计假设理论, 并研究了材料的最弱链强度理论.Zhou等^[2]分别选取不同的统计分布变量及强度准则, 建立岩石损伤本构模型; 秦跃平等^[3]利用指数分布定义损伤变量, 以损伤应变能释放率为微元强度建立了损伤模型; 杨建平等^[4]假设岩石微元破坏服从Mohr-\(\!\)-Coulomb强度准则, 建立了岩石发生剪切破坏时的损伤演化方程; 李树春等^[5]通过引入初始损伤系数, 建立了基于初始损伤系数修正的岩石损伤本构模型; 周永强等^[6]引入修正系数\(\delta=\sqrt{\sigma_{\rm r}/\sigma_{\rm f}}\)建立了考虑应力阈值和残余强度的岩石本构模型.上述损伤本构模型虽然能较好地反映岩石应变软化特征, 但无法有效描述岩石破坏后的残余强度特征.

本文根据损伤力学理论, 基于Weibull分布和D-\(\!\)-P准则, 引入损伤变量修正系数 \(\delta\), 建立了能较好反映残余强度变化规 律的损伤本构模型.

基于 Lemaitre假说^[7], 岩石损伤本构关系可表示为\[ {\pmb \sigma } = {\pmb C} {\pmb \varepsilon } ( 1 -D ) \ \ (1) \]

式中\({\pmb \sigma }\)为名义应力矩阵, \({\pmb C}\)为岩石弹性矩阵, \({\pmb\varepsilon }\)为应变矩阵, \(D\)为损伤变量.

在岩石三轴力学特性试验中, 可以测得名义应力\(\sigma _{1}\), \(\sigma _{2}\), \(\sigma _{3}\)和应变\(\varepsilon_{1}\), \(\varepsilon _{2}\), \(\varepsilon _{3}\), 对应的有效应力分别为\(\sigma _{1}^{\ast }\), \(\sigma _{2}^{\ast}\), \(\sigma _{3}^{\ast }\). 则在等围压的条件下, 由式(1)可得

\[\varepsilon _1 = (\sigma _1 ^\ast - 2\mu \sigma _3 ^\ast ) / E\ \ (2)\]

\[\varepsilon _3 = [\sigma _3 ^\ast - \mu (\sigma _1 ^\ast + \sigma _3 ^\ast)] / E\ \ (3)\]

\[\varepsilon _3 = [\sigma _3 ^\ast - \mu (\sigma _1 ^\ast + \sigma _3 ^\ast)] / E\ \ (4)\]

\[\sigma _3 ^\ast = \sigma _2 ^\ast = \sigma _3 / (1 - D)\ \ (5)\]

假定岩石微元破坏服从Weibull 统计分布, 其概率密度函数为^[8]

\[P ( F ) = \dfrac{m}{F_0 }\left( {\dfrac{F}{F_0 }} \right)^{m - 1}\exp \left[ {\left( { - \dfrac{F}{F_0 }}\right)^m} \right]\, , \ \ F \geqslant 0 \ \ (6)\]式中\(m\), \(F_{0}\)为Weibull 统计分布参数, \(F\)为Weibull 统计分布变量.

概率密度是岩石微元损伤率的一种度量, 微元破坏的积累导致了损伤程度连续增大, 由式(6)可将损伤变量表述为\[D = \int_0^F P ( F ) d F = 1 - \exp \left[ { - \left( {\dfrac{F}{F_0 }} \right)^m} \right] \ \ (7)\]

根据式(7)及式(2) \(\sim \)式(5), 即可建立岩石的损伤本构关系式为\[\left.\begin{array}{l} \sigma _1 = E\varepsilon _1 \exp \left[ { - \left( {\dfrac{F}{F_0 }}\right)^m} \right] + 2\mu \sigma _3 \\ \sigma _3 = E\varepsilon _3 \exp \left[ { - \left( {\dfrac{F}{F_0 }}\right)^m} \right] + \mu \sigma _1 + \mu \sigma _3 \end{array} \!\! \right \} \ \ (8)\]

基于D-\(\!\)-P破坏准则, 可用岩石微元强度表示Weibull随机分布变量\(F\), 则\[F = \alpha _0 I_1 ^\ast + \sqrt {J_2 ^\ast } \ \ (9)\]式中\(I_1^\ast \)为有效应力张量第一不变量; \(J_2^\ast \)为有效应力偏量第二不变量; \(\alpha _0\)为与岩石材料性质有关的参数. 分别表示为

\[\alpha _0 = \sin \varphi / \sqrt {9 + 3\sin ^2\varphi }\ \ (10)\]

\[I^* _1=\sigma^* _1+\sigma^* _2+\sigma^* _3\ \ (11)\]

\[\sqrt {J_2 ^\ast } = \sqrt {\dfrac{1}{6}\left[ {\left( {\sigma _1^\ast - \sigma _2^\ast }\right)^2 - \left( {\sigma _2^\ast - \sigma _3^\ast } \right)^2 - \left( {\sigma _3^\ast - \sigma _1^\ast }\right)^2} \right]} \ \ (12)\]

式中\(\varphi \)为内摩擦角, \(\sigma _i^\ast \)为名义应力\(\sigma _i \)对应的有效应力.

沿袭广义胡克定律的思想, 并考虑岩石损伤特性, 可将式(9)用名义应力与应变表示为\[ F = \dfrac{E\sin \varphi \left( {\sigma _1 + 2\sigma _3 } \right)}{\sqrt {9 + 3\sin ^2\varphi } \left({\sigma _1 - 2\mu \sigma _3 } \right)}\varepsilon _1 +\\ \qquad \dfrac{E\left( {\sigma _1 - \sigma _3 }\right)}{\sqrt 3 \left( {\sigma _1 - 2\mu \sigma _3 } \right)}\varepsilon _1 \ \ (13)\]

当应变足够大, 即岩石变形进入残余阶段时, 由式(8)中第1式可得残余应力

\[ \sigma _{\rm r}= \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon _1 \to \infty } \sigma _1 = \mathop {\lim}\limits_{\varepsilon _1 \to \infty } \left\{ {E\varepsilon _1 \exp \left[ { - \left( {\dfrac{F}{F_0 }}\right)^m} \right] + 2\mu \sigma _3 } \right\} = 2\mu \sigma _3 \ \ (14)\]

以上本构模型认为岩石损伤的根本原因是其内部形成了空洞, 且空洞部分不具备任何承载能力, 因此当岩石损伤变量\(D=1\)时, 残余强度名义上为\(2\mu \sigma _3 \). 实际上, 在岩石的压缩过程中, 损伤的微元还具有一定的承载力, 需对模型进一步修正.

为了验证本文所建立的岩石损伤模型, 特地进行了不同围压条件下红砂岩常规三轴压缩试验, 所得岩石力学参数如表1所示.

表1

表1

表1 不同围压下的岩石试验参数

表1 不同围压下的岩石试验参数

利用表1中的试验数据, 选取合适的修正系数并根据式(13)、式(16)、式(28)和式(29)可以确定模型修正前和模型修正后的理论曲线, 并与试验曲线进行对比, 如图1所示.

由图1可知, 岩石本构模型无论修正前还是修正后其曲线对峰前段几乎没有影响, 但峰后段由于选取了适当修正系数\(\delta\), 即围压在2\, MPa, 4\, MPa, 6\, MPa时, \(\delta \)分别取0.7, 0.62, 0.6, 此时该模型能够更好地反映残余段的变形特征.

图 1

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图 1 不同围压下岩石应力应变曲线图

不同修正系数的选取, 对修正模型的残余强度影响程度不同.因此, 在不同围压下选取不同的修正系数对修正模型进行分析如图2所示.

图2

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图2 不同围压下修正系数对修正模型影响曲线图

从图2可知, \(\delta \)越接近于1, 残余强度提高越不明显; \(\delta \)越小, 残余强度提高越显著, 但\(\delta\)选取过小时, 残余段的线性增加趋势越明显, 与岩石的性质不符.

一般地修正系数应在\((0, 1)\)之间取值, 文献[6]中对修正系数进行了数学定义即 \(\delta=\sqrt{\sigma_{\rm r}/\sigma_{\rm f}}\), 从定义式可以看出, 当修正系数\(\delta\) 增大, 峰值应力\(\sigma _{\rm f}\)不变时, 残余强度\(\sigma _{\rm r}\)增大. 而从图2可以看出, 随着修正系数\(\delta\) 的增大, 峰值应力\(\sigma _{\rm f}\)不变时, 残余强度\(\sigma _{\rm r}\)是减小的, 这与文献[6]的定义刚好相反.

设修正前的岩石第一主应力为\(\sigma' _1 \), 修正后为\(\sigma''_1 \), 二者的表达式分别为

\[\sigma'_1 = E\varepsilon _1 \exp \left[ { - \left( {\dfrac{F}{F_0 }} \right)^m} \right] + 2\mu\sigma _3\ \ (30)\]

\[\sigma''_{1} = E\varepsilon _1 \left\{ {1 - \delta + \delta \exp \left[ { - \left({\dfrac{F}{F_0 }} \right)^m} \right]} \right\} + 2\mu \sigma _3\ \ (31)\]

在不考虑损伤变量\(D\)的差异性时, 得到岩石第一主应力修正前\(\sigma'_1 \)和修正后\(\sigma''_1 \)之差\[\sigma''_{1}- \sigma'_1 = E\varepsilon _1 \left( {1 - \delta } \right) - \left( {1 - \delta }\right)E\varepsilon _1 \exp \left[ { - \left( {\dfrac{F}{F_0 }} \right)^m} \right] \ \ (32)\]

因此修正后和修正前岩石残余强度的差\[\sigma''_{r} - \sigma'_r = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon _1 \to \infty } \left( {\sigma''_{1} -\sigma'_1 } \right) = E\varepsilon _1 \left( {1 - \delta } \right) \ \ (33)\]

式(33)表明, 本文修正模型的本质是在原有基础上加一线性项, 减去一非线性项.在岩石变形进入残余段前, 线性项和非线性项都对应力应变曲线的变化产生影响, 模型曲线在峰前段基本保持不变; 当岩石变形进入残余段后, 非线性项变为0, 此时仅线性项影响残余阶段, 使岩石残余强度在原来的基础上有了较大提高.