自1936年被列为冬奥会比赛项目以来,高山滑雪一直吸引着世界各国的众多运动爱好者和专业运动员参与其中。我国高山滑雪项目的开展较为落后,运动员与国际先进国家的滑雪水平存在较大的差距。但随着北京冬季奥运会的成功举办以及冰雪运动在国内的普及和推广,越来越多的人开始关注并参与到高山滑雪运动中来。作为典型的运动项目,高山滑雪运动中蕴含了丰富的力学知识,非常适合作为实际案例用于力学专业教育及科普介绍中。

高山滑雪又叫阿尔卑斯滑雪,起源于欧洲阿尔卑斯山区,人们通过使用滑雪板、滑雪杖等装备,从一定高度顺山势向下滑行,实现在山区雪地上的快速移动^[1]。目前的高山滑雪冬奥项目主要包括滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项。其中,回转和大回转属于技术项目,要求运动员在20$^\circ$~27$^\circ$的斜坡雪面上以之字形从上而下滑行通过标注的数十个旗门,在此基础上来比拼谁用的时间最短。起点与终点的高度差为120~220 m (回转项目)和260~400 m (大回转项目),大回转中的旗门数在30个以上,回转中的旗门数有45~75个。因此,运动员在比赛过程中既要使自己的滑行轨迹尽可能接近直线以减小滑行距离,又要保证较高的滑行速度,还要满足在旗门间来回穿梭的比赛要求。整个运动项目的完成主要取决于运动员是否能很好地完成回转动作,也就是绕旗门的动作。

当前常用的高山滑雪回转技术称为刻滑(carving),实现在不明显降低滑行速度的情况下完成转弯^[2-4]。通过观察高山滑雪运动员的比赛视频,可以发现刻滑回转技术具有两个关键特征：一是身体倾斜,二是雪板变形(如图1所示)。目前,研究者们主要从上述两个关键特征入手,为刻滑回转技术在竞技项目中的应用奠定理论基础和分析技术。M\"{u}ller等^[4]分析了雪板参数对刻滑回转效果的影响,建立了雪板板腰、弯曲、立刃等参数与回转半径间的关系。Yoneyama等^[5]研发了滑雪运动员下肢力学测量装置,对比分析了不同回转技术中人体关节的运动特性和受力情况,为运动员的技术改进提供基础数据支持。陈礼等^[6]将人体看成单刚体系统,结合雪面及雪板的约束方程,建立了人体滑雪运动的拉格朗日动力学方程,用来分析滑雪运动整个过程中的动力学特性。张艺佳等^[7]设计搭建了可穿戴式人体运动捕捉与姿态重构系统,实现了对回转动作过程中关键技术指标的定量评估,助力运动水平科学分析及训练辅助指导。然而,由于人体运动的复杂性和回转动作的技巧性,现有研究较为复杂,使其不适于直接纳入到力学课程的教学以及面向普通学生的科普介绍中,需要进一步围绕着关键知识点进行力学简化,既使学生能建立起实际情况与力学理论间的有效关联、促进对所学知识的吸收掌握,又能提升大众创新求真、知行合一的科学素养和崇尚科学、热爱科学的正向风气。下面,我们分别从理论力学和材料力学理论出发,对运动员身体倾斜和滑雪板的弯曲变形进行力学分析和实验。

首先,对高山滑雪的回转过程进行力学简化,做如下假设：第一,当对运动员回转动作的某一瞬时进行动力学分析时,可将运动员简化为其冠状面内的二维刚体模型;第二,在回转过程中的某一时刻下,运动员的各体段姿态稳定,人体可视为一个刚体;第三,由于雪板、雪鞋和人体足踝部之间的稳定连接,雪板、雪鞋和人体下肢间无相对移动,此时雪板的立刃角度(即雪板与雪面间的夹角)与人体下肢的倾斜角度(约等于人体刚体轴线与雪面间的夹角)互为余角;第四,雪板与雪面间的摩擦力和回转过程中的风阻忽略不计;第五,由于回转的半径(十米量级)远大于人体身高,人体质心的转动半径等同于雪板的转动半径。

基于上述假设,建立高山滑雪运动员刻滑回转动作的单刚体动力学模型,采用动力学中常用的达朗贝尔原理进行分析(如图2所示)。雪板嵌入到雪面内,点$A$为雪板最低点,点$B$为雪板在雪地表面的接触点,角$\beta$为雪板立刃角度。在点$A$处建立二维直角坐标系$xAy$,点$C$为运动员人体的质心,其坐标为($x_{C},y_{C} $)。轴$O$为回转轴,运动员质心与轴$O$的距离为$\rho$。对该刚体进行达朗贝尔惯性力系的简化,将质点系的惯性力转化为质心$C$处的惯性力系主矢$F_{{\rm I}C} $和主矩$M_{{\rm I}C} $,具体为^[8]

其中,$m$为运动员质量,$J_{{C}}$为运动员对质心的转动惯量,$v_{{\rm c}} $为运动员质心的速度,$\alpha$为回转的切向角加速度,$F_{{\rm I}C} $指向离心方向。由于$M_{{\rm I}C}$方向与冠状面垂直,求解冠状面内平衡方程时可忽略。此外,该刚体受到的外力还包括质心处的重力$G$,雪面对雪板的支持力(包括垂直于雪板底面的等效支持力$F_{{\rm N1}} $和垂直于雪板侧面的等效支持力$F_{{\rm N2}}$)。最后,列写该刚体在点$A$的力矩平衡方程为

其中$d$为支持力$F_{{\rm N1}} $作用点与点$A$的距离。由于雪板嵌入雪面的长度(几厘米)远小于人体重心的位置参数($x_{C}$,$y_{C} $),该项可忽略,此时平衡方程简化为

将式(1)及重力表达式代入式(4)可得

计算立刃角度$\beta $为${\rm arc}\tan \left[ {v_{{\rm c}}^{2} }/({\rho g}) \right]$。进一步,沿$F_{{\rm N1}} $方向列写力平衡方程为

$F_{{\rm N1}} -F_{{\rm I}C} \sin \beta -G\cos \beta ={\bf 0}$

求解可得

随后,取雪板为研究对象,由受力平衡可得人体足部对雪板的施加载荷$F_{{\rm L}}=F_{{\rm N1}} ={mg}/{\cos \beta }$。

设回转半径分别为10 m和15 m,通过式(5)可得出立刃角度与回转速度间的定量关系(如图3(a)所示)。可以发现,无论回转半径多大,当回转速度增大时,运动员维持身体平衡所需的立刃角度越大。也就是说,只有通过大角度倾斜身体获得较大的立刃角度,才能保证运动员以较高的速度实现转弯。因此,在实际比赛中,我们往往能看到运动员以几乎完全贴地的姿势进行回转。此外,通过式(6)还可得出立刃角度与雪板受力之间的关系(如图3(b)所示)。结果表明,雪板受力与立刃角度有关,而与回转速度无关;当立刃角度增大时,雪板所受的法向支持力会快速增大。当雪板立刃为70$^\circ$时,雪板的受力增大到2.9倍体重,单侧雪板将承受1.45倍体重;当雪板立刃增大到80$^\circ$时,雪板的受力增大到5.8倍体重,单侧雪板将承受2.9倍体重。真实情况下,雪板在该载荷水平下会出现明显的弯曲变形,下面我们通过材料力学理论来进行分析。

假设雪板为截面大小不变的直梁,忽略雪板前端的上翘以及雪板板腰处的侧切,并假设雪板材料为连续均匀的各向同性线弹性材料。基于上述假设,将雪面对雪板的支持力等效成雪板前后两端的支撑铰链,足部施加在雪板上的载荷为集中力$F_{{\rm L}}$ (作用点为人体质心位置在雪板上的投影),使用材料力学里的弯曲变形理论求解雪板的弯曲变形(如图4)。已知对跨度远大于截面高度的梁,剪力对弯曲变形的影响可忽略。此时,梁所受的弯矩$M$与变形曲率$\rho_{{\rm beam}} $间的关系^[9]为

其中$E$为梁的弹性模量,$I$为横截面对中间轴的惯性积。为简化分析,将式(7)进行线性化得到挠曲线$\omega=f\left( x \right)$的近似微分方程为

并用积分法求解该边界条件下雪板的挠曲线方程和前端截面转角分别为

设梁的跨度$l$等于雪板长度(160 cm),弹性模量$E$为10 GPa,惯性积$I$为8 cm$^{4}$。通过式(9)得到不同载荷大小在不同位置加载时的雪板前缘弯曲转角,如图5所示。当载荷从雪板中央位置向前移动13 cm时(约板长的8%),雪板前端截面转角增大了约2.7%;当载荷从雪板中央位置向后移动相同距离时,雪板前端截面转角减小了约8.0%。该结果表明,调整载荷的加载位置(如改变身体重心在雪板上的投影位置)可改变雪板前端的弯曲变形,尤其是当载荷加载位置偏后(如运动员后仰姿势)时雪板前端的弯曲变形非常明显。这也部分揭示了高山滑雪运动员在回转时因重心落后引起滑行速度降低的原因^[10]。

当然,上述理论分析中设置的一些假设与真实情况还有一定的差别(如真实雪板在前端区域的变截面几何特征等),使得理论计算数据与雪板弯曲的实验结果间有较大差别。基于此,我们搭建了一套用于进行高山雪板三点弯曲力学实验的简易装置(如图6(a)所示)。该装置包含支撑雪板的支架、用于加载的配重物、用于测量弯曲状态的坐标纸背板以及用于标注弯曲轮廓的马克笔。首先,调整好支架两端横梁间的距离,为防止雪板滑落,弯曲实验中的雪板跨度设置为120 cm。然后,将40 kg重物分别悬挂在雪板的中央位置、中央偏前10 cm和中央偏后10 cm,实现对雪板不同位置的加载。在完成加载后,使用马克笔在雪板后侧的坐标纸背板上画出雪板前端下边缘的轮廓。

通过实验结果对比可以发现,三种不同的加载位置可以使雪板前部下边缘弯曲情况出现明显改变,如图6(b)所示。其中,黑色虚线为无载荷状态,黑色实线为中央加载,蓝色实线为偏前加载,红色实线为偏后加载。所对比的这三种载荷分别对应运动员重心处于正常位置、偏前位置和偏后位置三种情况,也意味着运动员可以通过调节自身重心位置来调控雪板的变形,进而调整自己的转弯半径。当然,真实的情况其实复杂得多,运动员需要考虑自身的条件、能力做出各种实时的、细微的调整,以找到回转与速度的最佳平衡。

本文应用理论力学、材料力学等经典力学理论和方法,对高山滑雪运动员在刻滑回转动作中的身体倾斜和雪板变形进行了定量分析和实验研究,分别得到了雪板立刃角度与运动员回转速度间的定量关系以及载荷施加位置对雪板前端弯曲变形的影响,说明了高山滑雪中的回转动作与人体姿态倾斜和滑雪板力学性能间的密切关系。所构建的力学模型简单易懂,分析过程应用了达朗贝尔原理、梁的弯曲理论等核心知识点,可作为力学相关课程的教学案例来培养学生解决实际问题的实践能力,也可作为科普案例来展示力学在人们日常生活中的具体体现。由于回转半径、雪板变形、回转速度及身体倾斜各变量间彼此影响,下一步可将分析身体姿态与回转的达朗贝尔原理、分析雪板变形的弯曲理论以及雪板材料几何等真实参数进行综合考虑,联合求解相关特性,构建出更为综合的力学实践案例供学生锻炼,进一步提升学生的综合创新实践素养。