1 动量方程的历史
在丁老师最近新修订的《流体力学》第三版中[1],增加了这么一段话,"柯西(A. Cauchy)于1822年引入了应力张量概念,得到了连续介质运动方程的一般式,但也未解决黏性流体运动的问题"。这个柯西的一般式应该就是式(1)。也就是说,式(1)还可以称为柯西运动方程。
其中,$A$,$B$,$C$是法向应力;$D$,$E$,$F$是剪切应力;$x$,$y$,$z$是空间坐标;$X$,$Y$,$Z$分别是$x$,$y$,$z$三个方向上的重力;$\chi$,$\delta $,$\tau $是加速度。这个$\tau $ 和式(1)中的$\tau $是同一个希腊字符,但柯西的原文中就是用这个字符,所以这儿没有改变这个字符。这个式子和式(1)是一致的,区别是形式上还没有把压强项独立出来。
Stokes[8]在1845年的工作中使用的以应力表示的运动方程是
其中,$P_{1}$是法向应力,$T_{2}$和$T_{3}$是剪切应力,$u$是$x$方向的速度,$t$是时间。这个方程是$x$方向的运动方程,和式(2a)对应。因此,Stokes给出动量方程的时间比柯西晚。
2 动量方程的使用
Stokes从式(3)出发还给出了流体力学中的基本方程,即常说的NS方程。流体力学主要是研究水和空气的宏观运动的学科,因此NS方程在航空、航海、环境以及工业等领域有着广泛的用途。所以,式(1)在流体力学上的使用和Stokes这个人有关,式(1)或许还可以称为斯托克斯运动方程。
其中,$d$为形变速率张量,$\mu $ 为流体的黏度,$\varPsi_{2}$是第2法向应力差系数。Rivlin[21]在第15和16两个小节分别求解了角速度不变的圆柱状流体的旋转流动和角速度变化的无限长同轴圆筒间的流动。
近3年,在课上讲完NS方程及其应用后,作者又提了一下运动方程(1)。说这个式子,还适用于描述既有黏性又有弹性的流体的流动,以表示这个式子的重要性。
3 结语
本文介绍了流体力学中运动方程的形成和使用情况。文献表明,微分形式的运动方程是由斯托克斯第一次正确地用于实际流体的流动问题[8]。式(1)用途广泛。
感谢中国高等教育数字图书馆上海市文献信息服务中心和上海交通大学图书馆提供了Cauchy 和Stokes 的文献。
参考文献
人工管和商业管在过渡粗糙区的差异
Difference between artificial and commercial pipes in transition zone
On the theories of the internal friction of fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids
Sur les equations qui experiment les conditions d'equations ou les lois du mouvement interieur d'un corps solide, elastique ou non elastique
The hydrodynamics of non-Newtonian fluids. I
