酸腐蚀条件下石膏岩分数阶蠕变本构模型研究1)

图1 蠕变试验准备

Fig.1 Preparation for creep test

1.2 试验步骤

首先对编号为UCS-1~3的三个试样进行单轴压缩试验,获得试样的单轴抗压强度为64.00 MPa,从而确定单轴蠕变试验分级加载的载荷;分别配置pH=7的水溶液,pH=6和pH=5的盐酸溶液,然后以分级加载的方式开始对编号为UCT-1,~,3的3个试样进行不同pH盐酸溶液浸泡条件下单轴压缩蠕变试验,对UCT-4的试样进行干燥条件下单轴蠕变试验,分别以试样单轴抗压强度的60%,70%,80%为第一、第二、第三个应力等级进行分级加载,每个应力等级加载48 h;对试验前后的试样进行电镜扫描试验,观察岩样的微观变化。

2 试验结果分析

2.1 单轴压缩蠕变试验

本次力学试验采用RYL-600岩石剪切流变仪(图2),该设备最大轴向试验力为600 kN,试验力测量误差一般小于$\pm$0.5%。对试样进行单轴压缩试验,然后自制容器,对试样进行酸腐蚀浸泡单轴蠕变试验。

图2

图2 岩石蠕变实验及其示意图

Fig.2 Creep experiment of rock and its schematic diagram

不同pH酸腐蚀条件下石膏岩的单轴压缩蠕变曲线及试验破坏形态如图3所示。由图可以看出,干燥状态下的石膏岩蠕变曲线在所有曲线的下方,而且加载的三个应力等级都只有衰减蠕变和稳定蠕变阶段;在相同载荷下,处于干燥状态下的试样瞬时蠕变最小,且随着pH的减小,试样的瞬时应变增大,蠕变时间减小,表明酸腐蚀对试样的蠕变特性有很大的影响。

图3

图3 不同pH状态下试样的蠕变试验曲线及破坏形态

Fig.3 Creep test curves and failure modes of samples under different pH conditions

在第一级载荷下,pH=5的试样在12.6 h时,蠕变应变达到1.24%,进入加速蠕变阶段,随后试样破坏;而pH=6,pH=7和干燥状态下的试样,蠕变应变分别为1.19%,1.17%,1.13%,蠕变应变随酸性减小而减小,仅出现了衰减蠕变阶段和稳态蠕变阶段。在第二级载荷下,pH=6的试样在加载总时间为74.7 h时,蠕变应变达到1.33%,进入加速蠕变阶段;pH=7的试样在加载总时间为94.3 h时,蠕变应变达到1.31%,进入加速蠕变阶段;干燥状态下试样仍仅出现了衰减和稳态蠕变阶段;pH=6的试样进入加速蠕变阶段时的蠕变量大于pH=7的试样,其蠕变时间则小于pH=7的试样。在第三级载荷下,干燥状态下的试样仍未出现加速蠕变阶段。

蠕变试验后的试样破坏形态如图3,干燥状态下,试样未发生破坏;水、酸腐蚀条件下,试样破坏形式主要为劈裂和剪切破坏,且试样端部出现了损伤,pH=5状态下的试样端部损伤破坏尤为明显。表明酸腐蚀对岩石的破坏有较大影响,与采矿工程中矿柱受地下水侵蚀而变尖不谋而合。

2.2 扫描电镜试验

采用SU3500扫描电镜对酸腐蚀前后的试样进行电镜扫描试验。该设备(图4)画质高、灵活性好,能满足试验需求。

图4

图4 SU3500扫描电镜扫描电镜

Fig.4 SU3500 scanning electron microscopy

试验结果如图5所示。由图可以发现,干燥状态下的石膏岩结构较为致密完整,而对于加了不同pH酸的试样,则产生了不同程度的孔隙,尤其是处于pH=5状态下的试样,产生了较大尺寸的孔隙,结构疏松,石膏岩主要成分是CaSO$_{4}$$\cdot$2H$_{2}$O,并含有CaCO$_{3}$,SiO$_{2}$,CaO,Al$_{2}$O$_{3}$,Fe$_{2}$O$_{3}$,MgO等矿物,由于石膏岩的部分成分溶于水或与盐酸发生了化学反应,破坏了试样的完整性,降低了岩样的力学性能,水和酸对石膏岩样的结构、力学性能有着不可忽视的影响。

图5

图5 扫描电镜试验结果

Fig.5 SEM scanning test results

3 考虑酸腐蚀条件下的分数阶蠕变本构模型

3.1 考虑酸腐蚀条件下的分数阶导数流变元件

(1) 常系数Abel黏壶：常系数Abel黏壶本构方程^[18,22]为

(1)$\sigma(t)=\eta^{\gamma} \frac{\mathrm{d}^{\gamma}[\varepsilon(t)]}{\mathrm{d} t^{\gamma}} \quad(0 \leqslant \gamma \leqslant 1)$

式中,$t$为时间,$\gamma $为分数阶的阶次,当$\gamma =0$时,即$\eta ^{0}=E$,该元件为代表理想固体的弹簧元件;当$\gamma =1$时,即$\eta^{1}=\eta$,该元件为代表理想流体的黏性元件,故常系数Abel可用来描述介于理想流体和理想固体之间材料的模型。

(2) 考虑酸腐蚀的变系数Abel黏壶：周宏伟等^[18]在常系数Abel黏壶的基础上,考虑了载荷作用时间的影响,引入了定义为负指数函数形式的损伤变量$D=1-\mathrm{e}^{-\alpha t}$来描述岩盐流变损伤演化规律。岩石处在水化学的环境中,其不仅受到加载过程中应力造成的损伤,还受到化学腐蚀的影响,导致其结构发生变化,孔隙增大,产生化学损伤,即化学腐蚀加剧了岩石的蠕变损伤^[13,23]。研究表明,当对岩石的载荷达到或者超过一定应力水平时,岩石内部才会产生损伤,并出现加速蠕变阶段^[13,23-24]。所以本文仅对黏性系数考虑应力和化学腐蚀损伤的影响。通过对蠕变试验结果进一步分析,计算出试样加速蠕变阶段的平均应变速率,pH=5, pH=6,pH=7的试样加速蠕变阶段平均应变速率分别为2.72,$\times$,10$^{-3}$ h$^{-1}$, 1.01,$\times$,10$^{-3}$ h$^{-1}$, 4.07,$\times$,10$^{-4}$ h$^{-1}$。分析试样加速蠕变阶段平均应变速率可知,随着pH的减小,试样在加速蠕变阶段平均应变速率基本呈线性增加。表明酸的存在,影响了岩石的加速蠕变阶段,且酸性越强,效果越明显。黏性元件的本构关系^[25]为

(2)$ \sigma =\eta \frac{{\rm d}\varepsilon }{{\rm d}t}=\eta \varepsilon' $

式中,$\eta $为黏性系数,$\varepsilon'$为应变速率。

由式(2)可知,应力$\sigma $保持不变时,当应变速率$\varepsilon'$呈线性增加时,黏性系数$\eta$呈线性衰减。结合图6可知酸腐蚀作用造成了黏性系数劣化衰减从而促进了岩石的加速蠕变。参考高峰等^[26]通过研究温度对介质黏性的影响所提出的黏性衰减系数,在周宏伟等^[18]提出的变系数Abel黏壶基础上,引入酸腐蚀劣化衰减系数$\beta$(0<$\beta$≤1),当$\beta=1$时,表示没有酸腐蚀作用,当0<$\beta$<1时,$\beta$越小,表示pH越小,酸性越强,对岩石的腐蚀作用越大,即黏塑性体中有

(3)$ \eta^{\gamma }( t,D)=\beta \eta^{\gamma }(1-D_{\rm s} ) $

图6

图6 考虑酸腐蚀的变系数黏壶描述的非稳定蠕变

Fig.6 Unsteady creep described by variable coefficient dashpot considering acid corrosion

其中

(4)$D _{\rm s} =1-{\rm e}^{-\alpha t }$

式中,$D_{\rm s}$为应力损伤变量,$\alpha $为与岩石性质相关的系数,$\beta $为酸腐蚀劣化系数,与化学腐蚀相关。

由式(1)、式(3)和式(4)得到考虑酸腐蚀的变系数黏壶本构关系为

(5)$\sigma(t)=\left(\beta \eta^{\gamma} \mathrm{e}^{-\alpha t}\right) \frac{\mathrm{d}^{\gamma}[\varepsilon(t)]}{\mathrm{d} t^{\gamma}} \quad(0 \leqslant \gamma \leqslant 1)$

式中$\beta \eta^{\gamma }{\rm e}^{-\alpha t}$为随时间演化的黏性系数。

式(5)中$\sigma (t)$保持不变时,由R-L分数阶微积分算子理论可得

(6)$ \varepsilon ( t )=\frac{\sigma }{\beta \eta^{\gamma }} t ^{\gamma }\sum\limits_{k=0}^\infty {\frac{(\alpha t )^{k}}{\varGamma (k+1+\gamma )}} (0\leqslant \gamma \leqslant 1) $

即式(6)为考虑酸腐蚀的变系数黏壶描述的流变。将$\sigma =38.4$ MPa,$\eta^{\gamma }=8$ GPa$\cdot$h,$\alpha =0.02$ h$^{-1}$,$\beta=1$,代入式(6)中,可得阶数$\gamma$不同时的流变曲线,如图6(a);将$\gamma=0.8$代入式(6)中,其他参数不变,可得酸腐蚀劣化系数$\beta$不同时的一组流变曲线,如图6(b);将$\beta =0.8$,$\gamma =0.6$代入式(6)中,其他参数不变,可得到岩石相关系数$\alpha$不同时的一组流变曲线,如图6(c),由此可见,考虑酸腐蚀的变系数黏壶元件能够较好地反应化学腐蚀影响下的加速流变过程。

3.2 考虑酸腐蚀条件下的分数阶蠕变本构模型建立与求解

岩石的蠕变过程一般分为瞬态蠕变、稳态蠕变和加速蠕变三个阶段,传统的西原模型元件少、能够全面地反映岩石的弹-黏弹-黏塑性特性^[25],但是不能反映岩石的加速蠕变阶段。为了能够精确地描述酸腐蚀条件下岩石的三个蠕变阶段,本文采用考虑酸腐蚀的分数阶变系数黏壶代替西原模型中黏塑性体的牛顿黏壶,从而建立考虑酸腐蚀的分数阶蠕变本构模型(图7)。

图7

图7 考虑酸腐蚀的分数阶蠕变本构模型示意图

Fig.7 Schematic diagram of fractional creep constitutive model considering acid corrosion

图7中,$\varepsilon_{\rm e}$为胡克体的应变,$\varepsilon_{\rm ve}$为黏弹性体的应变,$\varepsilon_{\rm vpc}$为考虑酸腐蚀的黏塑性体的应变,则总应变为

(7)$\varepsilon_{\rm c} =\varepsilon_{\rm e} +\varepsilon_{\rm ve} +\varepsilon_{\rm vpc}$

(1)胡克体的应力应变关系为

(8)$\varepsilon_{\rm e} =\frac{\sigma }{{E}_{0} }$

式中,$E_0$为胡克体的弹性模量。

(2)对于黏弹性体,由组合模型并联性质有

(9)$\left.\begin{array}{l}\varepsilon_{\mathrm{ve}}=\varepsilon_{\mathrm{h}}=\varepsilon_{\mathrm{ba}} \\\sigma=E_{1} \varepsilon_{\mathrm{ve}}+\beta \eta_{1} \frac{\mathrm{d}\left(\varepsilon_{\mathrm{ve}}\right)}{\mathrm{d} t}\end{array}\right\}$

式中,$\varepsilon_{\rm h}$为黏弹性体中弹簧应变,$\varepsilon_{\rm ba}$为牛顿黏壶的应变,$E_{1}$为黏弹性体中弹簧的弹性模量,$\eta_{1}$为牛顿黏性系数。

解微分方程式(9)可得黏弹性体应变为

(10)$\varepsilon_{\rm ve} =\frac{\sigma }{{E}_{1} }\left( {1-{\rm e}^{-\dfrac{{E}_{1} }{\eta_{1} } t }} \right)$

(3)考虑酸腐蚀的黏塑性体,摩擦片的应力$\sigma_{\rm p}$可表示为

(11)$\sigma_{\mathrm{p}}=\left\{\begin{array}{ll}\sigma, & \sigma<\sigma_{\mathrm{s}} \\\sigma_{\mathrm{s}}, & \sigma \geqslant \sigma_{\mathrm{s}}\end{array}\right.$

式中,$\sigma_{\rm s}$为屈服应力。

根据元件并联关系有

(12)$\sigma =\sigma_{\rm p} +\sigma_{\rm d}$

式中$\sigma_{\rm d}$为考虑酸腐蚀的Abel黏壶中的应力,$\sigma$为黏塑性体总应力。

当$\sigma <\sigma_{\rm s}$时,由式(11)和式(12)可得$\sigma_{\rm d}=0$,即

(13)$\varepsilon_{\rm vpc} =0$

当$\sigma \geqslant \sigma_{\rm s}$时,由式(11)及考虑酸腐蚀的变系数Abel黏壶本构关系得

(14)$\sigma = {\beta \eta_{2}^{\gamma } {\rm e}^{-\alpha t }} \frac{{\rm d}^{\gamma }\left( {\varepsilon_{\rm vpc} } \right)}{{\rm d} t ^{\gamma }}+\sigma_{\rm s}$

对式(14)进行整理可得

(15)$\frac{\mathrm{d}^{\gamma}\left[\varepsilon_{\mathrm{vpc}}(t)\right]}{\mathrm{d} t^{\gamma}}=\frac{\sigma-\sigma_{\mathrm{s}}}{\beta \eta_{2}^{\gamma}} \mathrm{e}^{\alpha t}$

根据分数阶微积分理论,初始条件$\varepsilon _{\rm vpc}=0$,可知R-L分数阶导数与Caputo分数阶导数有

(16)$\frac{\mathrm{d}^{\gamma}[y(t)]}{\mathrm{d} t^{\gamma}}=\frac{C^{\gamma} \mathrm{d}^{\gamma}[y(t)]}{\mathrm{d} t^{\gamma}}$

将式(16)代入式(15)得

(17)$\frac{C_{\mathrm{d}}^{\gamma}[y(t)]}{\mathrm{d} t \gamma}=\frac{\sigma-\sigma_{\mathrm{s}}}{\beta \eta_{2}^{\gamma}} \mathrm{e}^{\alpha t}$

通过对式(17)进行Laplace变换,再进行Laplace逆变换可得

(18)$\varepsilon_{\rm vpc} =\frac{\sigma -\sigma_{\rm s} }{\beta \eta_{2}^{\gamma } } t ^{\gamma }\sum\limits_{k=0}^\infty {\frac{\left( {\alpha t} \right)^{k}}{\varGamma \left( {k+1+\gamma } \right)}}$

即考虑酸腐蚀的黏塑性体应变为

(19)$\varepsilon_{\mathrm{vpc}}=\left\{\begin{array}{ll}0, & \sigma<\sigma_{\mathrm{s}} \\\frac{\sigma-\sigma_{\mathrm{s}}}{\beta \eta_{2}^{\gamma}} t^{\gamma} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\alpha t)^{k}}{\Gamma(k+1+\gamma)}, & \sigma \geqslant \sigma_{\mathrm{s}}\end{array}\right.$

结合三部分应变,可得考虑酸腐蚀条件下的分数阶蠕变本构模型为

(20)$\varepsilon(t)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sigma}{E_{0}}+\frac{\sigma}{E_{1}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{E_{1}}{\eta_{1}} t}\right), \sigma<\sigma_{\mathrm{s}} \\\frac{\sigma}{E_{0}}+\frac{\sigma}{E_{1}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{E_{1}}{\eta_{1}} t}\right)+ \\\frac{\sigma-\sigma_{\mathrm{s}}}{\beta \eta_{2}^{\gamma}} t^{\gamma} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\alpha t)^{k}}{\Gamma(k+1+\gamma)}, \sigma \geqslant \sigma_{\mathrm{s}}\end{array}\right.$

3.3 考虑酸腐蚀条件下的分数阶蠕变本构模型参数拟合

为便于拟合,引入双参数M-L函数

(21)${E}_{\alpha,\beta } (z)=\sum\limits_{k=0}^\infty {\frac{z^{k}}{\varGamma (\alpha k+\beta )}}\ \ (\alpha >0,\beta >0)$

即当$\sigma \geqslant \sigma_{\rm s}$时,式(20)可表示为

(22)$\begin{aligned}\varepsilon(t) &=\frac{\sigma}{E_{0}}+\frac{\sigma}{E_{1}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{E_{1}}{\eta_{1}} t}\right)+\\& \frac{\sigma-\sigma_{\mathrm{s}}}{\beta \eta_{2}^{\gamma}} t^{\gamma} E_{1,1+\gamma}(\alpha t)\end{aligned}$

结合酸腐蚀条件下的石膏岩单轴压缩蠕变试验,对考虑酸腐蚀条件下的分数阶蠕变模型式(22)进行参数拟合,获得相关参数,具体拟合参数如表2所示,拟合曲线如图8所示,图中$\sigma$为试样发生破坏时所受作用力的大小。由图8可发现,西原模型能够很好地反映石膏岩的减速和稳态蠕变阶段,但是对加速蠕变阶段却无能为力;而对于考虑酸腐蚀分数阶模型,虽然试验曲线与拟合曲线存在些许的误差,但是整体拟合效果理想,这表明本文建立的考虑酸腐蚀条件下的分数阶蠕变模型能够很好地对酸腐蚀条件下石膏岩单轴蠕变特性进行描述,能很好地反映石膏岩的三个蠕变阶段,尤其是加速蠕变阶段。

表2 参数拟合结果

Table 2 Parameter fitting results

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图8

图8 蠕变模型拟合曲线

Fig.8 Creep model fitting curves

3.4 参数敏感性分析

关于分数阶蠕变本构模型中应力水平$\sigma $的影响,分数阶导数$\gamma $的影响,以及岩性系数$\alpha$的影响,Zhou等^[16]和周宏伟等^[18]已进行过深入分析,故本文不再赘述。本文仅对引入的酸腐蚀劣化衰减系数$\beta$进行分析,参照试验结果以及表2的拟合参数结果,将表2中pH=6的参数代入式(22),在保持其他参数不变的情况下,改变参数$\beta$的值,得到一组不同$\beta $条件下的蠕变曲线,如图9所示。可见,随着$\beta$的减小,应变逐渐增大,减速蠕变阶段、稳定蠕变阶段、加速蠕变阶段的时间均缩短,表明$\beta$主要影响蠕变应变以及蠕变三个阶段的时间长短。

图9

图9 不同$\beta $下的蠕变曲线

Fig.9 Creep curves under different $\beta $}

4 结论

本文通过对酸腐蚀条件下石膏岩进行研究,主要得到以下结论。

(1) 通过对石膏岩进行酸腐蚀条件下的单轴压缩蠕变试验和电镜扫描试验,结果表明,水和酸腐蚀对岩石蠕变均有较大影响,酸性越强,试样蠕变速率越快;试样的破坏形式主要为劈裂和剪切破坏,并且端部有损伤破坏情况,且酸性越强,端部损伤破坏得越明显。微观上,干燥状态下的试样结构紧密,整体较为均质;而水和酸腐蚀后的试样表面孔隙明显增多,并出现大尺寸的孔隙,结构疏松,且酸性越强,越明显。表明水和酸对岩石的侵蚀,破坏了其完整性,从而降低了岩石的宏观力学性能。

(2) 通过引入酸腐蚀劣化衰减系数,对变系数Abel黏壶进行改进,提出了一个考虑酸腐蚀的变系数Abel黏壶元件,对西原体模型进行改造,用考虑酸腐蚀的变系数Abel黏壶元件代替西元体中黏塑性体部分的牛顿黏壶,建立了一个考虑酸腐蚀条件下的分数阶蠕变本构模型。通过与试验数据进行拟合,结果表明,建立的考虑酸腐蚀条件下的分数阶蠕变模型能够很好地对酸腐蚀条件下石膏岩单轴蠕变特性进行描述,能很好地反应石膏岩的三个蠕变阶段,尤其是加速蠕变阶段。

(3) 对参数$\beta $进行了敏感性分析,发现随着$\beta$的减小,应变逐渐增大,减速蠕变阶段、稳定蠕变阶段、加速蠕变阶段的时间均缩短。表明$\beta$主要影响蠕变应变以及蠕变三个阶段的时间长短,这与酸腐蚀条件下应变增加,蠕变速度加快的试验结果相符。

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

谢和平

深部岩体力学与开采理论研究进展

煤炭学报, 2019, 44(5):1283-1305

Xie

Heping

Research review of the state key research development program of China: deep rock mechanics and mining theory

Journal of China Coal Society, 2019, 44(5):1283-1305(in Chinese)

[2]

冯晓伟, 王伟, 王如宾

等.

考虑水化学损伤的砂岩流变损伤本构模型

岩土力学, 2018, 39(9):3340-3346, 3354

Feng

Xiaowei

, Wang

Wei

, Wang

Rubin

, et al.

A rheological damage model of sandstone under water-rock chemical interaction

Rock and Soil Mechanics, 2018, 39(9):3340-3346, 3354 (in Chinese)

[3]

周训, 张华, 赵亮

等.

浅析广西北海市偏酸性地下水的形成原因

地质学报, 2007(6):850-856

Zhou

Xun

, Zhang

Hua

, Zhao

Liang

, et al.

A preliminary analysis of the formation of the weak acidic groundwater in Beihai, Guangxi

Acta Geologica Sinica, 2007(6):850-856 (in Chinese)

[4]

Zhao

, Guo

, Ning

, et al.

Numerical modeling of stability of fractured reservoir bank slopes subjected to water-rock interactions

Rock Mechanics and Rock Engineering, 2018, 51(8):2517-2531

DOI URL [本文引用: 2]

[5]

Miao

, Cai

, Guo

, et al.

Damage effects and mechanisms in granite treated with acidic chemical solutions

International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2016, 88:77-86

[6]

Qiao

, Wang

, Huang

Alteration of mesoscopic properties and mechanical behavior of sandstone due to hydro-physical and hydro-chemical effects

Rock Mechanics and Rock Engineering, 2017, 50(2):255-267

[7]

Xie

, Wan

Mechanical damage to the diorite caused by acid corrosion

Geotechnical and Geological Engineering, 2020, 38:3087-3094

[8]

Okubo

, Fukui

, Hashiba

Long-term creep of water-saturated tuff under uniaxial compression

International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2010, 47(5):839-844

[9]

Brzesowsky

, Hangx

SJT

, Brantut

, et al.

Compaction creep of sands due to time-dependent grain failure: Effects of chemical environment, applied stress, and grain size

Journal of Geophysical Research Solid Earth, 2015, 119(10):7521-7541

[10]

丁梧秀, 冯夏庭.

化学腐蚀下裂隙岩石的损伤效应及断裂准则研究

岩土工程学报, 2009, 31(6):899-904

Ding

Wuxiu

, Feng

Xiating

Damage effect and fracture criterion of rock with multi-preexisting cracks under chemical erosion

Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2009, 31(6):899-904 (in Chinese)

[11]

刘永胜

化学腐蚀作用下深部巷道围岩的细观力学性能研究

岩土工程学报, 2013, 35(S1):350-353

Liu

Yongsheng

Micromechanical properties of surrounding rock in deep roadways under chemical corrosion

Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2013, 35(S1):350-353 (in Chinese)

[12]

张站群, 蔚立元, 李光雷

等.

化学腐蚀后灰岩动态拉伸力学特性试验研究

岩土工程学报, 2020, 42(6):1151-1158

Zhang

Zhanqun

, Yu

Liyuan

, Li

Guanglei

, et al.

Experimental research on dynamic tensile mechanics of limestone after chemical corrosion

Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2020, 42(6):1151-1158 (in Chinese)

[13]

王艳春, 王永岩, 李剑光

等.

基于化学酸碱度表征的页岩蠕变模型

煤炭学报, 2019, 44(S2):509-516

[本文引用: 3]

Wang

Yanchun

, Wang

Yongyan

, Li

Jianguang

, et al.

Shale creep equation based on chemical pH value characterization

Journal of China Coal Society, 2019, 44(S2):509-516 (in Chinese)

[本文引用: 3]

[14]

姜立春, 温勇.

AMD蚀化下砂岩的损伤本构模型

中南大学学报(自然科学版), 2011, 42(11):3502-3506

Jiang

Lichun

, Wen

Yong

Damage constitutive model of sandstone during corrosion by AMD

Journal of Central South University (Natural Science edition), 2011, 42(11):3502-3506 (in Chinese)

[15]

殷德顺, 任俊娟, 和成亮

等.

一种新的岩土流变模型元件

岩石力学与工程学报, 2007, 26(9):1899-1903

Yin

Deshun

, Ren

Junjuan

, He

Chengliang

, et al.

A new rheological model element for geomaterials

Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2007, 26(9):1899-1903 (in Chinese)

[16]

Zhou

, Wang

, Han

, et al.

A creep constitutive model for salt rock based on fractional derivatives

International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2011, 48(1):116-121

[17]

何利军, 孔令伟, 吴文军

等.

采用分数阶导数描述软黏土蠕变的模型

岩土力学, 2011, 32(S2):239-243, 249

Lijun

, Kong

Lingwei

, Wu

Wenjun

, et al.

A description of creep model for soft soil with fractional derivative

Rock and Soil Mechanics, 2011, 32(S2):239-243, 249 (in Chinese)

[18]

周宏伟, 王春萍, 段志强

等.

基于分数阶导数的盐岩流变本构模型

中国科学: 物理学力学天文学, 2012, 42(3):310-318

[本文引用: 5]

Zhou

Hongwei

, Wang

Chunping

, Duan

Zhiqiang

, et al.

Time-based fractional derivative approach to creep constitutive model of salt rock. Scientia Sinica Physica,

Mechanica and Astronomica, 2012, 42(3):310-318 (in Chinese)

[本文引用: 5]

[19]

吴斐, 刘建锋, 武志德

等.

盐岩的分数阶非线性蠕变本构模型

岩土力学, 2014, 35(S2):162-167

Fei

, Liu

Jianfeng

, Wu

Zhide

, et al.

Fractional nonlinear creep constitutive model of salt rock

Rock and Soil Mechanics, 2014, 35(S2):162-167 (in Chinese)

[20]

丁靖洋, 周宏伟, 刘迪

等.

盐岩分数阶三元件本构模型研究

岩石力学与工程学报, 2014, 33(4):672-678

Ding

Jingyang

, Zhou

Hongwei

, Liu

, et al.

Research on fractional derivative three elements model of salt rock

Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2014, 33(4):672-678 (in Chinese)

[21]

, Zhang

, Zou

, et al.

Viscoelastic-plastic damage creep model for salt rock based on fractional derivative theory

Mechanics of Materials, 2020, 150:103600

[22]

Kiryakova

, Al-Sauabi

Explicit solutions to hyper-Bessel integral equations of second kind

Computers ＆ Mathematics with Applications, 1999, 37:75-86

[23]

, Li

, et al.

Damage evolution mechanism and constitutive model of freeze- thaw yellow sandstone in acidic environment

Cold Regions Science and Technology, 2018, 155:174-183

DOI URL [本文引用: 2]

[24]

王春萍, 陈亮, 梁家玮

等.

考虑温度影响的花岗岩蠕变全过程本构模型研究

岩土力学, 2014, 35(9):2493-2500, 2506

Wang

Chunping

, Chen

Liang

, Liang

Jiawei

, et al.

Creep constitutive model for full creep process of granite considering thermal effect

Rock and Soil Mechanics, 2014, 35(9):2493-2500, 2506 (in Chinese)

[25]

蔡美峰, 何满潮, 刘东燕. 岩石力学与工程. 北京: 科学出版社, 2002

Cai

Meifeng

, He

Manchao

, Liu

Dongyan

. Rock Mechanics and Engineering. Beijing: Science Press, 2002 (in Chinese)

[26]

高峰, 徐小丽, 杨效军

等.

岩石热黏弹塑性模型研究

岩石力学与工程学报, 2009, 28(1):74-80

Gao

Feng

, Xu

Xiaoli

, Yang

Xiaojun

, et al.

Research on thermo-visco-elastoplastic model of rock

Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2009, 28(1):74-80 (in Chinese)