俗话说："一个和尚挑水喝,两个和尚抬水喝,三个和尚没水喝",这个问题虽然简单但也很难解决,千百年来,为了达到三个和尚都满意的公平,社会大众提出了各种各样的解决方案^[1],但大多都倾向于从管理以及合作的方面来解决问题。本文另辟蹊径,利用结构力学理论^[2-6],从结构的角度来解析为什么会出现这样的问题。一个和尚挑水,全部由一个人负担,不存在公平性问题。两个和尚抬水,大家一人负担一半,公平性问题也很容易就解决了。但是在三个和尚抬水的问题中,原因就复杂了,例如三人之间的配合问题,负担受力问题,和尚本身条件问题等。其中最重要的原因是,三个和尚的付出比较难以达到相同,用力学的语言描述即为,由于结构体系受力等原因,三个和尚所承受的载荷不均等,彼此都认为自己出了太多的力而不公平,使得合作无法继续,因此会产生偷懒行为,从而更难满足公平。本文就三个和尚抬水的力学模型问题进行简化并讨论,将三个和尚载荷相同视为公平的基本条件,对基本的结构力学模型进行了一些优化与改进,并设计分析了新的结构方案,以寻求达到公平所能采取的理论措施。为面对此类问题的解决者(老和尚或决策协调者)提供多种解决方案。

从力学简化模型上看,一个和尚挑水,独自承受两桶水的力$P$,此为有一个支撑的双悬臂静定梁结构,如图1所示。

两个和尚抬水,可以简化为一个两端简支的简单静定梁模型,如图2所示。

两端支座载荷相同,因此也是公平的,只要两个支座条件一致,即可保证公平。

但是在三个和尚抬水问题中,可简化为有三个竖向支撑的超静定连续梁结构,导致三个和尚承受的载荷不均等,因此出现公平性问题,使得合作无法继续。

三个和尚抬水问题的结构计算简图,采用一整根扁担时为超静定模型,如图3(a)所示,采用两根扁担时为静定模型,如图3(b)所示,其中,$L$为两个和尚肩膀之间的间距。

将扁担简化成梁,即抗拉刚度$EA$远大于抗弯刚度$EI$且无剪切变形的杆件,将人简化为链杆支座。

对此基本的力学模型,超静定结构用力法进行求解可得,两侧支座支反力为${5}P/{16}$,中间支座支反力为${11}P/{8}$,静定结构两侧支座支反力为$P/2$,中间支座支反力为$P$,无论是哪个模型,对三个和尚来说都存在着明显的载荷不均的现象,所以需要对结构进行优化设计,改变结构受力状况,从而实现公平。而在结构力学理论中,结构分析模型的简化由以下内容组成：结构体系、杆件、结点、支座、载荷、材料等,这为结构模型的选取和修改提供了设计分析思路。因此从以下六个方面进行模型的修改和分析：改变结构形式、改变结构尺寸、改变载荷形式、改变载荷位置、改变支座形式、改变支座位置。

根据结构力学理论,最简单的办法是改变载荷位置,可以直接使得结构的受力发生改变。这里同时讨论了改变载荷位置对两个模型(超静定结构和静定结构)的影响。

2.1.1 超静定结构载荷偏移

对于超静定结构模型,载荷偏移模型结构计算简图如图4所示,其中,$x$为水桶重力$P$与端支座之间的距离。

对图4所示结构,利用对称性简化方法,取半结构,并采用力法进行计算,可求得两侧支座支反力$F$为

令$F = {2}P/{3}$,解得$x \approx 0.226L$,此时三人载荷相等,达到公平。因此在实际中,可通过改变载荷的位置,使得三个和尚受力相同,达到公平。

2.1.2 静定结构载荷偏移

对于两跨的静定结构模型,载荷偏移模型结构计算简图如图5所示。

按照静定结构求解方法,对单跨静定梁进行分析,当$x={L}/{3}$时,两端支座载荷为${2}P/{3}$,中间支座载荷为${2}P/{3}$,能够使得三人载荷相同,达成公平条件。此模型方案中,注意中间支座处,两根杆件的连接形式为铰结构造。

2.2.1 改变支座位置

将中间支座给定下沉位移(以此模拟中间和尚的允许位移或偷懒行为),示意图如图6所示,其中$\varDelta$为支座位移。

对其求水桶重力$P$在结构上产生的弯矩$M_{{\rm P}}$和支座位移$\varDelta$在结构上产生的弯矩$M_{\varDelta}$,弯矩图如图7所示,计算可知,两端支座支反力为

中间支座支反力为

若三人载荷相同,即满足公平条件时,有$F_{1} =F_{2} $。此时解得$\varDelta ={17L^{3}P}/({144EI})$

以上分析表明,在此方案模型中,可以发生中间支撑有$\varDelta$的下沉,也就是说可允许处于中间位置的和尚有一定的"偷懒行为",也可保证三个和尚出力相同,从而保证公平。

2.2.2 改变支座形式

将三个支座全部改为弹簧支座,结构计算简图如图8所示,其中,$k_i$为弹簧支座刚度系数($i=1,2,3$)。

计算可得,支反力关系为

当满足三支座支反力相同,达成公平条件时,有$X_{1} =X_{2} =X_{3}$,代入式(4)和式(5)可以解出$k_{1}$,$k_{2}$,$k_{3}$之间的关系式为

根据式(6)可知,当$k_{1}$或$k_{3}$增大时,$X_{1}=X_{3}$增大,$X_{2}$减小。当$k_{2}$增大时,$X_{2}$增大,$X_{1}=X_{3}$减小。取其中两种特殊情况进行证明,当$k_{1}=k_{3}=\infty$,$k_{2}={96EI}/({17L^{3}})$或$k_{1}=k_{3}={48EI}/{L^{3}}$,$k_{2}={96EI}/({19L^{3}})$时,能够达成公平条件,即$X_{1}=X_{2} =X_{3}={2}P/{3}$。当然,在符合式(6)的条件下,还可以取得无限多组可以满足公平条件的$k_{1}$,$k_{2}$,$k_{3}$的解。

2.3.1 三人四桶结构

为了采用更加灵活的手段(多个可调参数)处理问题,可采用不同的结构形式,以及载荷大小与形式,采用三人四桶结构形式,计算简图如图9所示,其中,$x$为两端水桶重力$P_2$与两侧支座之间的距离。

将内侧的两个水桶重量设为$P_{1} $,两端两个水桶重量设为$P_{2}$。解一次超静定结构,利用力法方程的变形协调条件可算得中间支座支反力为

将中间支座替换为支反力$X_{1} $,解静定结构可得两端支座支反力为

当三支座载荷相同时,令$X_{1} =X_{2} $即可得

即$P_{1} $,$P_{2}$,$x$,$L$满足式(9)时,将使得三人载荷相等,达到公平。简单地,当$x={L}/{4}$,$P_{1}=2P_{2}$时,达到公平。此方案中,提供了三个参数,根据实际情况,依据式(9)通过调整$P_{1}$,$P_{2} $,$x$的值,达到公平性的要求。

2.3.2 两端为铰支座的变截面结构

将两端长为$x$的两段杆变为抗弯刚度为$kEI$的等截面杆。结构计算简图如图10所示。

为方便计算,利用结构的对称性,取其半结构进行分析,如图11所示,$EI$为杆的抗弯刚度,$k$为比例系数,$x$为抗弯刚度为$kEI$的等截面杆的长度。

一次超静定结构,图乘法可得力法方程中的系数项 $\delta_{11}={x^{3}}/({3kEI})+({L^{3}-x^{3}})/({3EI})$,$\varDelta_{1P} =-[{k(L-x)^{2}(2L+x)P}]/({6EI})$,利用力法变形协调条件算得端支座支反力

式中,$\delta_{11}$为端支座在$X_1$作用下产生的位移的比例系数,$\varDelta_{1P}$为端支座处在水桶重力$P$作用下产生的位移。

为达成公平条件,即三人载荷相同,可知$X_{1} ={2}P/{3}$,代入式(10)可得

由此可知,当$x$与$k$的关系满足式(11)时,能够达成公平条件,使三个支座的载荷相同。取其中两种特殊情况进行证明,当$k=3.210$,$x=0.23$或$k=0.451$,$x=0.22$时,求得$X_{1}=0.666 7P$,满足公平条件。同理,在符合式(11)的前提下还可以解出无限多组满足公平条件的$k$和$x$的解。

2.3.3 两端为固定端支座的变截面结构

由结构力学原理可知,若两端支座由铰支座更换为固定端支座,则两端支座支反力将会增大,以此为先决条件,对变截面模型进行进一步优化,如图12所示。

为方便计算,利用结构的对称性,取其半结构进行分析,如图13所示。

一次超静定结构,忽略杆件轴向变形,不考虑$X_{3}$,图乘法可得力法方程中的系数项

为简化公式,令$\alpha_{i} =kL^{i}+(1-k)x^{i}$,$i=1,2,3$。利用力法变形协调条件算得

为达成公平条件,即三人载荷相同,可知$X_{1}={2}P/{3}$,代入式(12)进行求解可得

由此可知,当$x$与$k$的关系满足式(13)时,能够达成公平条件,使三个支座的载荷相同。取其中两种特殊情况进行证明,当$k=7.28$,$x=0.5$或$k=28.11$,$x=0.6$时,求得$X_{1}=0.666 7P$,满足公平条件。同理,在符合式(13)的前提下还可以解出无限多组满足公平条件的$k$和$x$的解。

2.3.4 正三角架结构

将结构改造为空间受力体系,如图14所示,结构杆件为布置在水平平面中的三角支架,而载荷位于面外,竖直方向。其中,$M_i$为支反力$X_i$在水桶重力$P$处产生的弯矩($i=1,2,3$)。

正三角支架中部设置一个通过三角支架中心的横梁,在中心处设置承重滚珠以保证水桶重力的作用线始终通过结构中心。

若等边三角形边长为$L$,则三个角点处三个和尚提供的支反力的力臂为$x={\sqrt3}L/{3}$。$X_{1}$,$X_{2}$,$X_{3}$在平行于结构平面上对承重滚珠(结构中心)的力矩(图14)为$M_{1}={\sqrt 3 }X_{1} L/{3}$,$M_{2} ={\sqrt 3 }X_{2}L/{3}$,$M_{3} ={\sqrt 3 }X_{3} L/{3}$,三者之间的夹角均为120$^\circ$。 由力矩平衡即可得,三个支反力大小相等,能够在抬水的过程中达成并且始终维持公平条件。

各个方案中,方案一改变载荷位置为最简单的情况,简单改变载荷的作用位置,即可达到公平。

方案二改变支座稍显复杂,2.2.1中间支座下沉方案中,需要对扁担材质进行解析,进而求出公平条件达成时,中间支座的下沉高度,而在实际应用中可能会出现挑水的三人两强一弱或两弱一强的情况,这时就可以适当地调整中间支座的下沉高度以适应实际情况。2.2.2三弹簧支座方案比较简单,可以依据实际应用中挑水三人的身体状况选择不同弹性系数的弹簧支座,使得在绝大多数情况下都能够保证公平条件的达成。

方案三改变结构形式相对复杂,其中2.3.1三人四桶结构有多个可变参量,与方案一相比相对灵活,而且能够在一个来回中运输更多的水桶,只需各参量之间的关系满足式(9),就能够达到公平。2.3.2和2.3.3的变截面结构相对繁琐,但也不失为一种较好的解决方案,传统的两人三桶模型使得2.3.2和2.3.3变截面模型较2.3.1三人四桶结构和2.3.4三角架结构更加灵活,适用于路面状况相对复杂的地段。对于2.3.4三角架结构,要比其他结构更为笨重,但适宜在路面宽阔的地带三人合力运输一个大型水桶或其他物件,而且仅靠结构本身就能够实现公平。

3.2.1 静定结构中间铰的实际应用模型

静定结构中,中部需要将两个扁担铰接,在实际应用中可以在两个扁担的两端开小孔,使用肩带(绳网)连接再通过肩带作用在人的肩上。

3.2.2 水桶位置固定的问题

对于扁而平的扁担,可以在对应位置开小孔嵌入挂钩,使木桶挂在挂钩上防止滑移。对于高而窄的梁式结构,可以在对应位置打磨一段不影响结构受力特性的槽口,使水桶可以直接挂在指定位置。

3.2.3 支座沉降以及弹性支座的实际应用模型

对于实际应用中的支座沉降,可使扁担在该点处截面与下部支座间事先预留出所需空间,待在水桶载荷作用下使截面产生竖直位移后,再作用于该支座上,起到支座沉降的效果。

关于实际应用中的弹性支座,可以通过采用与扁担联结成为一个整体的弹性垫块或刚度不同的弹性撑杆实现,将和尚与地面视为一个整体的刚性支座,即可简化为2.2.2中的三弹簧模型。

3.2.4 实际应用中的支反力检测方法

在实际应用中,由于超静定结构的特性,在$X_{1} =X_{2} =X_{3}$以外的情况依旧能够保持稳定,但不满足三个和尚载荷相同的公平条件。对于这种情况,参照新型钢结构建筑的应力监测系统^[7],可以考虑在三个支点处加装压力传感器,用以实时监测压力状况,将抖动等因素产生的压力变化计算在内,设定正常压力区间,在超出阈值时使用蜂鸣器进行报警提醒,可以在一定程度上保证公平。

对于三个和尚挑水的力学模型问题,无论如何改变结构,都可以总结为以下六点：改变结构形式、改变结构尺寸、改变载荷形式、改变载荷位置、改变支座形式、改变支座位置。

根据结构力学理论,改变这六点中任意一点,或者同时改变其中几点,都有可能求解出在理论上能够达成目标的结构,但方法是否有效还需要联系实际,如结构的尺寸,材料的性质等加以检验。同时,对于不同的实际情况,各种结构会有不一样的实现难度,在这种条件下就需要权衡利弊,采用最适用于当前状况的结构。