塑性力学是与工程实际紧密相关的重要专业技术基础课,在固体力学的理论体系中起到承上启下的作用。目前,塑性力学课程在国内的主要教学状况：(1)塑性力学教学具有基本概念繁多、抽象、学时少、教学难度大的特点;(2)线上教学资源缺乏,无教学视频等,教师课堂唱独角戏,翻转课堂难以开展;(3)塑性力学的学习,需要学生有扎实的力学基础,而多数学生因力学理论基础薄弱而感到课程枯燥、乏味。

在此情形下,如何激发学生学习兴趣、提升课程内容的高阶性^[1-4],培养学生综合应用能力,是目前教学研究的重点。尚福林等^[5]将与教材内容相关的外文资料引入塑性力学教学中,如将岩石、土壤等屈服条件,与金属材料的屈服条件形成鲜明对比,拓展了知识,提高了学生英语阅读水平。米海珍等^[6]以塑性力学基本概念、理论为导向,删减繁琐的数学推导,从不同角度拓展分析塑性变形的物理本质,将培养学生的知识、能力和素质有机结合。张鹏^[7]以工程实例为导向,列举大量算例拓展学生对塑性力学基本概念的理解,强化学生的工程意识。王仲仁^[8]研究了洛德应力参数对塑性流动的影响,给出了压力加工在屈服圆柱上的定位依据,从而将课本知识应用于工程实际。陈明祥^[9-10]研究了各向同性材料在内变量为标量的前提下,三维主值空间与张量子空间中的流动规律,从深度和广度拓展了塑性力学教学内容。

本文针对塑性力学洛德应力参数这一教学难点,运用现代信息技术,围绕课前、课中和课后构建了"三位一体"课程高阶性教学体系框架如图1所示,提升课堂教学质量。

高阶性研究,基本概念是核心,基本内容的掌握需要学生课前预习。课前,学生依托东北石油大学塑性力学线上教学平台、学习通APP预习,观看课程教学资源、完成任务点,梳理基本概念,培养学生独立学习能力。基本知识点内容如下。

依据Bridgman实验结果,一点主应力状态应力张量$\sigma_{ij}$分解成两部分,一部分为平均正应力$\sigma_{\rm m}$ (静水压力),见式(1)中第一项,它只产生弹性体积的改变,与塑性变形无关;另一部分是扣除平均应力后的剩余部分,为应力偏张量$s_{ij}$,见式(1)中第二项,它直接与塑性变形相关。

式中,$\sigma_{\rm m}=\left( \sigma_{1}+\sigma _{2}+\sigma_{3} \right)/3$,$\delta_{ij}=\left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} } \right]$,$s_{ij}=\left[ {\begin{array}{*{20}c} \sigma_{1}-\sigma_{\rm m} & s_{12} & s_{13}\\ s_{21} & \sigma_{2}-\sigma_{\rm m} & s_{23}\\ s_{31} & s_{32} & \sigma_{3}-\sigma_{\rm m}\\ \end{array} } \right]$,$\sigma_{1}$,$\sigma_{2}$和$\sigma_{3}$分别为第一、第二和第三主应力。

为考察中间应力$\sigma_{2}$对屈服的影响,引入洛德应力参数$\mu_{\sigma }$,表示为中间主应力的偏移与三向莫尔圆最大半径之比。图2为$\tau$轴平移$\sigma_{\rm m}$后的主偏应力张量莫尔圆,若以$M$点表示$P_{1}P_{3}$的中点,则$\mu_{\sigma }$定义为

式中,${MP}_{1}=\tau_{\max}=\left( \sigma_{1}-\sigma_{3}\right)/2$;${MP}_{2}=P_{3}P_{2}-{MP}_{3}=\left({2\sigma }_{2}-\sigma_{1}-\sigma_{3} \right)/2$;$S_{1}$,$S_{2}$和$S_{3}$分别为第一、第二和第三主偏应力。

由定义式可看出,$\mu_{\sigma}$反映了三个莫尔圆的相对位置关系,它不随$\sigma_{\rm m}$变化而改变,是与塑性变形有关的物理量,当$P_{2}$点由$P_{3}$移向$P_{1}$时,$\mu_{\sigma }$的变化范围

$\begin{eqnarray*} -1\leqslant \mu _{\sigma}\leqslant 1 \end{eqnarray*}$

课中,教师答疑解惑,总结知识点,在此基础上,采用逻辑推理、设问等方法引导学生分析知识点的来源及相关性,实现知识点的进一步深化。教师引导学生围绕基本概念展开：$\mu_{\sigma}$与应力偏张量三个不变量具有怎样关系?引导学生利用现有知识进一步定量分析相关性。

应力偏张量$S_{ij}$是平均应力为零的一种应力状态,若以$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$表示主偏应力,则三个不变量表示为

由米塞斯屈服准则

式中,$Y_{s}$为材料的屈服极限。

联立式(2)和式(4),可得屈服条件下三个主偏应力张量

将式(5)代入式(3)第二式,可得屈服条件下$\mu_{\sigma }$与$J_{2}$无关,即

式(6)表明$J_{2}$是判断材料是否屈服的主要条件,即无论应力状态如何,只要$J_{2}$等于${2}Y_{s}^{2}/3$,材料进入屈服。将式(5)代入式(3)第三式,可得屈服条件下$\mu_{\sigma }$与$J_{3}$关系

式(7)表明应力偏张量第三不变量$J_{3}$与洛德应力参数符号相反,具有定量非线性对应关系。

课中,教师提问,小组讨论,每组5人,最终每组派一名代表陈述问题研究成果,提升学生解决复杂问题的综合能力和团队合作精神。

塑性变形由应力偏张量引起,$\mu_{\sigma}$是描述应力偏张量的一个特征值。那么$\mu_{\sigma }$如何影响塑性变形?从$\mu_{\sigma }$及应力偏张量的二维表示着手,学生讨论,理论分析如下。

将主应力空间单位矢量向$\pi $平面上投影,在$\pi $平面上取直角坐标系$Oxy$,使$y$轴与$\sigma_{2}'$重合如图3所示,此时,主应力空间一点$\left(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3} \right)$与$\pi $平面上一点($x, y$)的关系为

用极坐标表示为

式中,$\sigma_{i}$为应力强度,$\omega_{\sigma }$为$r_{\sigma }$与$\sigma_{2}'$夹角,反映了各应力偏张量之间的比例特征,$\tau_{8}$为正八面体斜截面上的切应力,$r_{\sigma }$为极径。

将$S_{2}=-(S_{1}+S_{3})$代入式(8)有

与式(9)联立有

从式(10)可看出$S_{1}$,$S_{2}$和$S_{3}$为$2\sigma_{i}/3$在$\pi $平面($\sigma_{1}'$,$\sigma_{2}'$,$\sigma_{3}')$轴上的投影,$\mu_{\sigma }$决定了主偏应力状态类型。

课后,依托线上教学平台讨论区模块,不同专业不同兴趣的学生可根据各自关注的专业背景进一步展开,最终以作业形式提交。以本科工程力学专业为例,金属压力加工正是利用金属塑性变形,$\mu_{\sigma }$如何控制金属塑性变形?

由于$\mu_{\sigma }$与塑性应变增量洛德参数$\mu_{{\rm d}\varepsilon}^{\rm p}$相等^[11],即$\mu_{\sigma}=\mu_{{\rm d}\varepsilon}^{\rm p}$,故有

式中,${\rm d}\varepsilon_{1}^{\rm p}$,${\rm d}\varepsilon_{2}^{\rm p}$和${\rm d}\varepsilon_{3}^{\rm p}$分别第一、第二和第三塑性应变增量。式(11)表明,$\mu_{\sigma}$决定了3种塑性变形类型：一向拉两向压;一向压两向拉;一向拉一向压。一点的应力状态有9种形式,根据上述理论,分析9种应力状态对应的变形类型,对应关系总计23种,见表1。

本文针对$\mu_{\sigma}$教学难点,构建塑性力学"三位一体"高阶性教学体系。经过两年的实践检验,已获得较好的教学效果,表现在3个方面：(1)学生的毕业设计及后续专业课程学习的深度分析、创新和工程应用能力有较大提高;(2) 2017和2018级学生期末成绩通过率分别为92%和97%,其中综合题得分率接近90%,反映了学生对知识的掌握和深度理解能力均得到较大提高;(3)教务系统中的学生评教结果分别为95.21和95.63,表明教学改革得到了学生的普遍欢迎。