力学与实践, 2021, 43(6): 973-975 DOI: 10.6052/1000-0879-20-519

教育研究

均质圆盘热传导问题的新解法$^{1)}$

李翔宇,2), 袁江宏, 沈火明, 李映辉

西南交通大学力学与工程学院,成都 610031

A NEW METHOD FOR SOLVING THE HEAT CONDUCTIONS IN A HOMOGENOUS CIRCULAR DISK$^{1)}$

LI Xiangyu,2), YUAN Jianghong, SHEN Huoming, LI Yinghui

School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China

通讯作者: 2)李翔宇,教授,研究方向为智能材料多场耦合力学以及复杂随机介质力学。E-mail：zjuparis6@hotmail.com

责任编辑: 王永会

收稿日期: 2020-12-21  

基金资助: 1)国家自然科学基金(11672250)
国家自然科学基金(12072297)
中央高校基本业务费(2682016ZY02)
西南交通大学2020年本科教育教学研究与改革项目(20201018-04)

Received: 2020-12-21  

作者简介 About authors

摘要

本文旨在利用泊松公式发展均质圆盘稳态热传导问题的一种新解法。这种简单而优雅的解法可由复变函数中解析函数所满足的柯西-黎曼方程结合圆域中泊松公式直接获得。所得的积分形式解与经典的傅里叶级数解完全一致。这项工作搭建了级数解和积分解之间的桥梁,丰富了数学物理方法的教学素材,并为相关数学等式赋予了物理解释。

关键词： 均质圆盘; 热传导; 傅里叶级数法; 泊松公式

Abstract

This paper aims to develop a new method for solving the steady heat conduction in a homogenous circular disk by using the Poisson's formula. This simple and elegant method originates directly from the Cauchy-Riemann equations in combination with the Poisson's formula for a circular region. The solution obtained by the new method is expressed in an integral form, which is further proved to be completely consistent with the classic solution in Fourier series. By establishing the connection between the known Fourier series' solution and the new integral one, this work not only enriches the teaching materials for the course "Methods of Mathematical Physics", but also provides a clear physical interpretation for the corresponding mathematical equation.

Keywords： homogenous circular disk; heat conduction; Fourier series; Poisson's formula

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李翔宇, 袁江宏, 沈火明, 李映辉. 均质圆盘热传导问题的新解法$^{1)}$. 力学与实践, 2021, 43(6): 973-975 DOI:10.6052/1000-0879-20-519

LI Xiangyu, YUAN Jianghong, SHEN Huoming, LI Yinghui. A NEW METHOD FOR SOLVING THE HEAT CONDUCTIONS IN A HOMOGENOUS CIRCULAR DISK$^{1)}$. Mechanics in Engineering, 2021, 43(6): 973-975 DOI:10.6052/1000-0879-20-519

热传导是航空航天、高速铁路、电子器件等高新领域的关键科学技术问题。关于热传导过程中引起的热应力是当前学术研究的热点之一。从理工科核心课程数学物理方法教学的角度来看,热传导方程是典型的抛物线型二阶偏微分方程[1]。若时间足够长,均质材料/结构中的温度最终会达到稳态。针对二维问题,在极坐标系$(\rho,\varphi )$中,稳态温度场$T(\rho,\varphi )$需满足拉普拉斯方程[1]

$\begin{eqnarray} \left( {\dfrac{\partial^2}{\partial \rho^{2}}+\dfrac{1}{\rho }\dfrac{\partial }{\partial \rho }+\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{\partial^2}{\partial \varphi^{2}}} \right)T=0 \end{eqnarray}$

此时,偏微分方程为椭圆型方程。

本文针对均质圆盘中的热传导问题,提出一种新的求解方法。这种简单而优雅的解法由复变函数中解析函数所满足的柯西-黎曼方程并结合圆域中的泊松公式直接获得。所得的积分形式解与文献中提出的傅里叶级数解完全一致。这项工作建立了傅里叶级数解和积分形式解两者之间的桥梁,丰富了数学物理方法的教学内容,并可为相关数学等式提供物理解释。

1 均质圆盘热传导问题

如图1所示,考虑半径为$a$的均质圆盘的热传导问题,即假设圆周$\rho =a$处的温度为

$\begin{eqnarray} T\left( {a,\varphi } \right)=f\left( \varphi \right)\quad \left( {0\leqslant \varphi <2\pi } \right) \end{eqnarray}$

其中$f\left( \varphi \right)$为已知函数,求圆盘中$(\rho \leqslant a)$的稳态温度分布。显然,式(1)和式(2)构成了一个典型的边值问题。

图1

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图1   均质圆盘热传导问题的坐标系


在数学物理的经典参考书[2]中,给出了该问题的傅里叶级数解答。此解答从如下定理出发：若$T(\rho,\varphi )$ 是定义在圆形区域$(\rho \leqslant a)$内的调和函数,则$T(\rho,\varphi)$可以表示成的傅里叶级数[2]为

$\begin{eqnarray} T\left( {\rho,\varphi } \right)=\sum\limits_{n=-\infty }^{n=+\infty } {c_{n} \rho^{\left| n \right|}{\rm e}^{{\rm i}n\varphi }} \ \ \left( {\rho \leqslant a} \right) \end{eqnarray}$

其中${\rm i}=\sqrt {-1} $,系数$c_{n}$由边界条件确定。将式(3)代入式(2)可得

$\begin{eqnarray} f\left( \varphi \right)=\sum\limits_{n=-\infty }^{n=+\infty } {c_{n} a^{\left| n \right|}{\rm e}^{{\rm i}n\varphi }} \end{eqnarray}$

于是

$\begin{eqnarray} c_{n} =\dfrac{1}{2\pi a^{\left| n \right|}}\int_{0}^{2\pi } {f\left( \varphi \right){\rm e}^{-{\rm i}n\varphi }{\rm d}\varphi } \end{eqnarray}$

即$c_{n} a^{\left| n \right|}$为函数$f\left( \varphi\right)$的傅里叶级数中的系数[2-3]。

将式(5)代入式(3),便得到了边值问题(1)和(2)的解,即用傅里叶级数(3)和(5)确定了圆盘中的稳态温度分布。

2 积分形式解

这一节探讨边值问题的积分形式解。它可由复变函数中的泊松公式直接获得。

现在推导泊松公式。假设复变函数$g(\rho,\varphi )=u(\rho,\varphi)+{\rm i}v(\rho,\varphi )$是定义在复平面上半径为$a$的圆域$\left| z\right|=\rho \leqslant a$内的解析函数,其中$z=\rho {\rm e}^{{\rm i}\varphi}$,$\left| z \right|$为复数$z$的模,且$u(\rho,\varphi )$和$v(\rho,\varphi)$为二元实变函数。显然,作为解析函数的实部和虚部,$u(\rho,\varphi)$和$v(\rho,\varphi)$需满足柯西-黎曼方程,进而满足二维拉普拉斯方程,即[1]

$\begin{eqnarray} \left.\begin{array}{l} \left( {\dfrac{\partial^2}{\partial \rho^{2}}+\dfrac{1}{\rho }\dfrac{\partial }{\partial \rho }+\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{\partial^2}{\partial \varphi^{2}}} \right)u=0\\[4mm] \left( {\dfrac{\partial^2}{\partial \rho^{2}}+\dfrac{1}{\rho }\dfrac{\partial }{\partial \rho }+\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{\partial^2}{\partial \varphi^{2}}} \right)v=0 \end{array}\right\} \end{eqnarray}$

对于圆内任意一点$z=\rho {\rm e}^{{\rm i}\varphi }(\rho<a)$,由柯西积分公式有[1]

$\begin{eqnarray} g\left( z \right)=\dfrac{1}{2\pi{\rm i}}\oint_{\left| \zeta \right|=a} {\dfrac{g\left( \zeta \right)}{\zeta -z}} {\rm d}\zeta =\\ \dfrac{a}{2\pi }\int_{0}^{2\pi} {\dfrac{g\left( {a{\rm e}^{{\rm i}\theta }} \right)}{a-\rho {\rm e}^{{\rm i}(\varphi -\theta )}}{\rm d}} \theta =\\ \dfrac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi} {\dfrac{a^2-a\rho {\rm e}^{-{\rm i}(\varphi -\theta )}}{a^{2}+\rho^{2}-2a\rho \cos \left( {\varphi -\theta } \right)}g\left( {a{\rm e}^{{\rm i}\theta }} \right){\rm d}} \theta \end{eqnarray}$

其中$\zeta =a{\rm e}^{{\rm i}\theta }(0\leqslant \theta <2\pi )$。

另一方面,对于圆外一点$z_{1} =({{a^{2}}/\rho }){\rm e}^{{\rm i}\varphi}=\rho_{1} {\rm e}^{{\rm i}\varphi }$ (即$\rho_{1} ={{a^{2}}/\rho}$),由柯西定理知[1]

$\begin{eqnarray} \dfrac{1}{2\pi{\rm i}}\oint_{\left| \zeta \right|=a} {\dfrac{g\left( \zeta \right)}{\zeta -z_{1} }} {\rm d}\zeta =\\ \dfrac{a}{2\pi }\int_{0}^{2\pi} {\dfrac{a-\rho_{1} {\rm e}^{-{\rm i}(\varphi -\theta )}}{a^{2}+\rho_{1}^2 -2a\rho_{1} \cos \left( {\varphi -\theta } \right)}g\left( {a{\rm e}^{{\rm i}\theta }} \right){\rm d}} \theta =\\ \dfrac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi} {\dfrac{\rho^2-a\rho {\rm e}^{-{\rm i}(\varphi -\theta )}}{a^{2}+\rho^2-2a\rho \cos \left( {\varphi -\theta } \right)}g\left( {a{\rm e}^{{\rm i}\theta }} \right){\rm d}} \theta =0 \end{eqnarray}$

式(7)减去式(8),可得圆域的泊松公式[1]

$\begin{eqnarray} g\left( z \right)=\dfrac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi} \dfrac{a^2-\rho^2}{a^{2}+\rho^{2}-2a\rho \cos \left( {\varphi -\theta } \right)}\cdot g\left( {a{\rm e}^{{\rm i}\theta }} \right){\rm d} \theta \end{eqnarray}$

比较式(9)两边的实部和虚部,可得

$\begin{eqnarray} \left.\begin{array}{l} u\left( {\rho,\varphi } \right)=\dfrac{1}{2\pi }\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \dfrac{a^2-\rho^2}{a^{2}+\rho^{2}-2a\rho \cos \left( {\varphi -\theta } \right)}\cdot u\left( {a,\varphi } \right){\rm d} \theta \\ v\left( {\rho,\varphi } \right)=\dfrac{1}{2\pi }\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \dfrac{a^2-\rho^2}{a^{2}+\rho^{2}-2a\rho \cos \left( {\varphi -\theta } \right)}\cdot v\left( {a,\varphi } \right){\rm d} \theta \\ \end{array}\right\} \end{eqnarray}$

即复变函数的实部(或虚部)在圆内任意一点处的值可由实部(或虚部)在圆边界上的值加权积分来表达。

由于圆盘的温度场满足拉普拉斯方程,故可认为$T$是某解析函数的实部或虚部。于是圆盘的温度场可由边界的温度来表示

$\begin{eqnarray} T\left( {\rho,\varphi } \right)=\dfrac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi} \dfrac{a^2-\rho^2}{a^{2}+\rho^{2}-2a\rho \cos \left( {\varphi -\theta } \right)}\cdot f\left( \varphi \right){\rm d} \theta \end{eqnarray}$

3 解的一致性

在这一节中,级数解(3)和(5)将化为积分解(11)。将式(5)代入式(3)并交换积分顺序(因级数绝对收敛),可得

$\begin{eqnarray} T\left( {\rho,\varphi } \right)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \left[ {\sum\limits_{n=-\infty }^{n=+\infty } {\left( {\dfrac{\rho }{a}} \right)^{\left| n \right|}{\rm e}^{{\rm i}n\left( {\varphi -\theta } \right)}} } \right]\cdot f\left( \theta \right){\rm d}\theta \quad \left( {\rho \leqslant a} \right) \end{eqnarray}$

对括号内的级数求和可得

$\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=-\infty }^{n=+\infty } {\left( {\dfrac{\rho }{a}} \right)^{\left| n \right|}{\rm e}^{{\rm i}n\left( {\varphi -\theta } \right)}} =1+\sum\limits_{n=1}^{+\infty } {\left( {\dfrac{\rho }{a}} \right)^{n}{\rm e}^{{\rm i}n\left( {\varphi -\theta } \right)}} + \sum\limits_{n=1}^{+\infty } {\left( {\dfrac{\rho }{a}} \right)^{n}{\rm e}^{-{\rm i}n\left( {\varphi -\theta } \right)}} \end{eqnarray}$

显然式(13)中的两个级数均绝对收敛,故可得

$\begin{eqnarray} \left.\begin{array}{l} \sum\limits_{n=1}^{+\infty } {\left( {\dfrac{\rho }{a}} \right)^{n}{\rm e}^{{\rm i}n\left( {\varphi -\theta } \right)}} =\dfrac{{\rho}{\rm e}^{{\rm i}\left( {\varphi -\theta } \right)}}{a-{\rho}{\rm e}^{{\rm i}\left( {\varphi -\theta } \right)}}\\ \sum\limits_{n=1}^{+\infty } {\left( {\dfrac{\rho }{a}} \right)^{n}{\rm e}^{-{\rm i}n\left( {\varphi -\theta } \right)}} =\dfrac{{\rho}{\rm e}^{-{\rm i}\left( {\varphi -\theta } \right)}}{a-\rho{\rm e}^{-{\rm i}\left( {\varphi -\theta } \right)}}\\ \end{array}\right\} \end{eqnarray}$

将式(14)代入式(13)可得

$\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=-\infty }^{n=+\infty } {\left( {\dfrac{\rho }{a}} \right)^{\left| n \right|}{\rm e}^{{\rm i}n\left( {\varphi -\theta } \right)}} = \dfrac{a^{2}-\rho^2}{a^{2}+\rho^2-2a\rho \cos \left( {\varphi -\theta } \right)} \end{eqnarray}$

将式(15)代入式(12),便得到式(11)。这说明级数解和积分解是一致和等价的。

4 讨论

本节讨论两类特殊情况。

情形一：圆盘周边在点$(\rho,\varphi )=(a,\varphi_{0} )$处有一强度为$T_{0}$的点热源,其余地方温度为0,即$T(a,\varphi )=f(\varphi )=T_{0} \delta(\varphi -\varphi_{0} )$,其中$\delta (x)$为关于$x$ 的狄拉克$\delta$函数。由式(11)可得圆盘中的无量纲温度分布为

$\begin{eqnarray} \dfrac{T\left( {\rho,\varphi } \right)}{T_{0} }=\lambda \left( {\rho,\varphi } \right)= \dfrac{1}{2\pi }\dfrac{a^2-\rho^2}{a^{2}+\rho^{2}-2a\rho \cos \left( {\varphi -\varphi_{0} } \right)} \end{eqnarray}$

其中$\lambda (\rho,\varphi )$在数学物理方法中为泊松核,解释为边界影响函数。

情形二：圆盘周边保持恒温,即$T(a,\varphi )=f(\varphi )=T_{0}$。此时,圆盘中每点的温度必为$T(\rho,\varphi )=T_{0} $。由式(12)可得

$\begin{eqnarray} \dfrac{1}{2\pi }\int_0^{2\pi } {\dfrac{a^{2}-\rho^{2}}{a^{2}+\rho^{2}-2a\rho \cos (\varphi -\theta )}{\rm d}\theta } =1 \end{eqnarray}$

根据参考文献[4],式(17)中的结果是正确的。事实上,该积分可化为复平面上单位圆的围道积分进行计算[1],也可得到式(17)的结果。这样便为恒等式(17)赋予了物理含义。

5 结论

本文利用复变函数中圆域的泊松公式获得了均质圆盘的稳态热传导问题的积分解(11)。该积分解与傅里叶级数解(3)和(5)是一致的。考虑积分解的两种特殊情况,从而为泊松核函数和恒等式(17)赋予了物理含义。该项工作为傅里叶级数解和泊松公式搭建了桥梁,丰富了数学物理方法的教学内容。

参考文献

吴崇试, 高春媛. 数学物理方法, 第3版. 北京: 北京大学出版社, 2019

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Stakgold I.

Boundary Value Problems of Mathematical Physics (Vols. I & 2)

Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000

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顾樵. 数学物理方法. 北京: 科学出版社, 2019

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Gradsbteyn IS, Ryzbik LM. Table of Integrals, Series, and Products, 6th edn. Singapore: Elsevier, 2004

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