功能梯度材料(functionally graded materials, FGM)的板、壳构件已经广泛应用于航空航天、交通、机械等各种工程领域,研究此类构件的动力特性对其设计有重要的理论意义和工程价值。

迄今为止,FGM圆锥壳的振动问题已引起了一些研究者的关注。Zhang等^[1]基于Love的第一近似理论,用广义微分求积法分析了不同边界条件下FGM圆锥壳的自由振动,结果发现,除了材料组分指数外,边界条件、几何形状等因素对FGM圆锥壳的基频也有显著影响。Nezhadi等^[2]基于一阶剪切变形理论,研究了FGM圆锥壳在四种脉冲负载类型的冲击载荷作用下的自由振动和强迫振动,结果表明,对于不同锥角,随着周向波数的增加,FGM圆锥壳的固有频率均先减小后增大,且金属材料在阶跃 脉冲作用下产生的动力响应最大。

对圆锥壳与弹性地基的相互作用,Sofiyev等^[3]用Pasternak双参数地基模型对弹性地基上FGM圆锥壳的自由振动进行了分析,讨论了弹性地基、圆锥壳的大小头半径比、材料体积分数等因素对量纲归一化基频的影响。结果显示,Winkler-Pasternak地基 对量纲归一化频率参数的影响十分显著。Chan等^[4]基于Pasternak双参数地基模型研究了热环境中弹性介质包围的偏心加筋功能梯度截锥壳的自由振动和非线性动力响应,结果发现,随着弹性地基系数的增大,ES-FGM圆锥壳的振幅值减小,而 且Pasternak参数的影响比Winkler参数的大。通过对黏弹性地基上FGM板的振动分析,黄小林等^[5]同样发现Pasternak双参数中的剪切和压缩刚度对其振动频率和动力响应有显著影响。

在实际工程中,由于材料制备技术的不足,FGM在生产过程中常出现一些孔隙,而这些孔隙对构件力学特性的影响不可避免^[6]。Cong等^[7]通过研究弹性地基上多孔FGM板在机械、热和热机械载荷作用下的屈曲和后屈曲行为,发现孔隙体积分数对多孔FGM板的屈曲和后屈曲的影响显著。Huang等^[8]通过对非线性弹性地基上多孔sigmoid功能梯度板的非线性自由振动和强迫振动的研究,发现孔隙体积分数、线性Winkler参数和Pasternak地基参数对板的最大中心瞬态挠度有显著影响。 Farshid等^[9]在弹性地基上双向功能梯度多孔截锥壳在不同边界条件下的动力屈曲问题中指出,均匀孔隙系数和不均匀孔隙系数对动力失稳的影响取决于材料梯度指数的大小。他们的研究结果还表明,弹性地基使双向FGM圆锥壳具有最佳动力性能。 文献[10,11,12]分别用不同的方法研究含孔隙的FGM板、壳结构的动力响应和动力稳定特性,同样发现了孔隙的影响不可忽略。

目前关于含孔隙构件的研究都集中于梁和板,对弹性地基中含孔隙的FGM圆锥壳的振动鲜有研究。因此,本文假设FGM圆锥壳由金属和陶瓷两种材料构成,考虑孔隙体积不可忽略,根据金属和陶瓷材料的质量组份计算相应的体积组份,用改进的混合律模型分别计算均匀和非均匀孔隙分布的FGM物性参数,探讨孔隙、弹性地基参数、半锥角等因素对FGM圆锥壳自由振动和动力响应的影响,以期为进一步了解FGM圆锥壳动力特性,推广FGM壳体在相关工程的应用提供理论基础。

如图1所示,假设受横向动载荷$q(s,\theta,z)$作用下的FGM截顶圆锥壳置于弹性地基中,其厚度为$h$,母线长度为$L$,半锥角为$\gamma$,$R_{1}$和$R_{2}$分别为小端和大端的平均半径,$K_{\rm w}$和$K_{\rm p}$分别为弹性地基的压缩刚度和剪切刚度参数。采用右手正交曲线坐标系$(s,\theta,z)$,其中$s$为母线方向以锥顶为原点的坐标,$\theta$为 圆周方向坐标,$z$为厚度方向坐标($-h/2\leqslant z\leqslant h/2)$。图2给出了两种孔隙分布类型的FGM圆锥壳截面图,其中,图2(a)为均匀分布孔隙,图2(b)为非均匀分布孔隙。

设$W_{\rm c}$和$W_{\rm m}$分别表示壳中陶瓷和金属材料的质量含量,有

两种组分材料和孔隙的体积含量应满足

式中,$V_{\rm c}^{\ast }$,$V_{\rm m}^{\ast }$和$\alpha^{\ast }$分别表示整个圆锥壳的陶瓷、金属和孔隙的体积含量。 根据式(1)和式(2),可计算陶瓷和金属材料体积含量$V_{\rm c}^{\ast }$和$V_{\rm m}^{\ast }$分别为

其中,$\rho_{\rm c}$和$\rho_{\rm m}$分别为陶瓷和金属材料的密度。

考虑孔隙沿圆锥壳厚度方向有均匀和非均匀分布两种模式,本文非均匀分布类型为常见的沿壳体厚度方向中间孔隙多,顶部和底部孔隙少的情况,因此,其沿壳厚度方向的孔隙率$\alpha$均匀分布时为

非均匀分布时为

设陶瓷材料体积组分$V_{\rm c}$沿厚度方向幂律分布,则

式中,$N$为材料的组分指数($0\leqslant N\leqslant \infty $)。根据改进的混合律模型,可计算FGM圆锥壳的弹性模量、密度和泊松比等有效物性参数为

式中,下标c和m分别表示陶瓷和金属相应的物性参数。由式(5)和式(6),可得孔隙均匀分布的FGM圆锥壳的物性参数为

孔隙非均匀分布的FGM圆锥壳的物性参数为

假定弹性地基在变形过程中始终与圆锥壳保持接触,忽略基础中阻尼和惯性力的影响,地基对圆锥壳的反力为

式中

$\begin{eqnarray*} \Delta W=\dfrac{\partial^{2}W}{\partial s^{2}}+\dfrac{1}{s}\dfrac{\partial W}{\partial s}+\dfrac{1}{s^{2}}\dfrac{\partial^{2}W}{\partial \varphi^{2}},\ \ \varphi =\theta {\rm sin} (\gamma ) \end{eqnarray*}$

其中,$W$为圆锥壳中面的挠度。引入应力函数$F$,$F$与壳面内力关系为

为了简化计算过程,引入下列变换

基于经典薄壳理论,依据哈密尔顿变分原理可导出弹性地基中此圆锥壳的运动方程为

式中,$I_{0}=\int_{-h/2}^{h/2} \rho(z){\rm d}z$,$L_{ij}()$表示线性微分算子,具体定义见文献[4]。

假设壳的两端为简支边界条件,满足边界条件的运动方程(12)和方程(13)的解可表示为^[13]

式中$w(t)$为待定函数,$m_{1}=m\pi/x_{0}$,$x_{0}=\ln({S_{2}}/$ ${S_{1}})$,$n_{1}={n}/\sin\gamma$,$m$,$n$分别为沿母线的半波数、沿平行圆的全波数。 将式(14)代入式(13),由谐波平衡法可求得应力函数为

式中,$f(t)$为待定函数,系数$K_{i}$定义见文献[4]。 将式(14)和式(15)代入式(12),并在式(12)两边同乘${\rm e}^{x}\sin(m_{1}x)\sin(n_{1}\varphi)$,然后在壳内进行Galerkin积分,将系数$f(t)$用$w(t)$表示再代入式(12),得到关于$w(t)$的二阶线性常微分方程组

式中,$M$和$K$分别为FGM圆锥壳的广义质量和刚度系数,且

$\begin{eqnarray*} &&q\left(t \right)=\int_{\rm 0}^{x_0} \int_{\rm 0}^{2\pi \sin\gamma}q\left( s,\varphi,t \right){\rm e}^{x}\sin \left( m_{1}x \right)\cdot \\&&\qquad \sin \left( n_{1}\varphi \right){\rm d}\varphi {\rm d}x \end{eqnarray*}$

当$q(s,\varphi,t)=0$时,式(16)即为弹性地基上含孔隙的FGM圆锥壳的自由振动方程,令$w(t)=a{\rm e}^{\hat{w}t}$,代入式(16),可求得自由振动频率$\hat{w}=\sqrt{K/M}$。 当$q(s,\varphi,t )\ne 0$时,用Newmark数值积分法可求得横向动载荷作用下的动力响应。

以下计算实例中,FGM圆锥壳由陶瓷(Si$_{3}$N$_{4}$)和金属(Ni)两种材料组成,Ni物性参数为$E_{\rm m}=205.098$ GPa,$\nu_{\rm m}=0.31$,$\rho_{\rm m}=8900$ kg/m$^{3}$,Si$_{3}$N$_{4}$的物性参数为$E_{\rm c}=322.27$ GPa,$\nu_{\rm c}=0.24$,$\rho_{\rm c}=2370$ kg/m$^{3}$。$R_{1}/h=100$,$L=2R_{1}$,量纲归一化频率参数$f=\hat{w}R_{2}\sqrt {\rho_{\rm c}\left( 1-\nu_{\rm c}^{2}\right)/E_{\rm c}}$。

表1将本文计算的FGM圆锥壳的最低量纲归一化频率参数与文献[3]的结果进行了对比。取半锥角$\gamma=\pi/6$。由表1可知,本文的计算结果与文献[3]接近,最大相对误差约为3.6%。

下面分析讨论孔隙、材料组分指数、半锥角等因素对两端简支边界条件下FGM截顶圆锥壳振动频率和动力响应的影响。取模态$(m,n)$为(1, 6),$h=0.01$ m,$R_{1}=1.0$ m,$L=2.0$ m。

表2计算了不同孔隙率、材料组分指数、弹性地基参数对孔隙为均匀和非均匀分布两种类型的FGM截锥壳自由振动的影响。取半锥角$\gamma =\pi/6$,陶瓷材料质量组分$W_{\rm c}=0.5$。从表中可以看出,当无弹性地基时,含均匀分布和非均匀分布孔隙的频率均随孔隙率的增大而降低,且孔隙均匀分布的频率均比孔隙非均匀分布的要高。这是由于孔隙率的增大一方面削弱了壳的整体刚度引起量纲归一化频率降低,另一方面减小了壳的质量而引起量纲归一化频率提高,如果孔隙对整体刚度的影响比质量的影响大,则量纲归一化频率降低,且孔隙为均匀分布对FGM圆锥壳整体刚度的影响比非均匀分布要大。在弹性地基作用下,含均匀分布孔隙的频率随孔隙率的增大而提高,含非均匀分布孔隙的频率在地基参数($K_{\rm w}, K_{\rm p})=$ (10 MN/m$^{3}$,0)条件下,在$N \in (0,1]$区间内随着孔隙率的增大而降低,在$(1,+\infty)$区间内随着孔隙率的增大而提高。在地基剪切参数$K_{\rm p}=$ 10 MN/m$^{3}$条件下,在$N\in (0,0.2]$区间内随孔隙率的增大而降低,在$N\in (0.2, +\infty)$区间内随孔隙率的增大而提高。正如前所述,当弹性地基压缩参数和剪切参数为一定值时,两种孔隙的频率随着孔隙率的增大而提高,并且孔隙均匀分布的频率均比孔隙非均匀分布的频率要高。这是由于弹性地基强化了壳的整体刚度,若孔隙对壳质量的影响效果比对整体刚度的影响显著,则引起量纲归一化频率提高。从表中还可以看出,量纲归一化频率随着地基压缩参数$K_{\rm w}$、剪切参数$K_{\rm p}$的增大而提高,随着材料组份指数的增大而降低,地基剪切刚度$K_{\rm p}$对频率的影响比压缩 刚度$K_{\rm w}$显著,可见,弹性地基参数的增大强化了圆锥壳的整体刚度。

图3$\sim$图7讨论了孔隙率、陶瓷材料质量组分、半锥角等因素对孔隙均匀与非均匀分布的功能梯度材料圆锥壳在$s=(S_{1}+S_{2})/2$中面圆周处动力响应的影响。均布突加载荷$q=3000$ Pa。

图3显示了孔隙率$\alpha^*=0.05$,0.1,0.2时孔隙均匀和非均匀分布的动挠度$W$随时间$t$变化的曲线,由图3可看出,两种孔隙分布类型的动挠度峰值均随孔隙率的增大而增大,其中孔隙均匀分布的动挠度随孔隙率变化更为敏感,并且在相同孔隙率的条件下,孔隙均匀与非均匀分布的振幅值最大相差约35%。

图4显示了不同陶瓷材料质量组分对孔隙均匀和非均匀分布的FGM圆锥壳动挠度的影响,从图4可看出,动挠度峰值随陶瓷材料质量组分的增大而减小。

图5给出了三种不同的半锥角对孔隙均匀和非均匀分布的FGM圆锥壳动挠度的影响,从图中可看出,FGM截锥壳动挠度峰值随半锥角的增大而明显增大。

图6计算了不同弹性地基参数对孔隙均匀和非均匀分布的FGM圆锥壳动挠度的影响,从图6可分析出,壳体动挠度峰值随着地基压缩参数、剪切参数的增大而减小,其中地基剪切参数对壳动力响应 的影响比压缩参数的影响更为显著。

图7比较了不同材料组分指数对孔隙均匀和非均匀分布的FGM圆锥壳动挠度的影响。从图7可观察到,壳动挠度峰值随材料组分指数的增大而增大。

本文基于改进的混合律模型及经典薄壳理论,建立了弹性地基中含均匀和非均匀孔隙的FGM圆锥壳的振动方程,求出其在两端简支边界条件下自由振动和动力响应的解析解,计算结果表明：

(1) 自振频率随地基压缩和剪切参数的增大而增大,随材料组分指数的增大而减小,动力响应随地基压缩和剪切参数、陶瓷材料质量组分的增大而减小,随孔隙率、半锥角、材料组分指数的增大而增大。

(2) 孔隙对壳自振频率的影响比较复杂,不仅与孔隙率的大小和分布形式有关,还与材料的质量组分和弹性地基参数有关,与非均匀分布孔隙壳体相比,均匀分布孔隙壳体的自振频率和动力响应随孔隙率的变化更为敏感。

(3) 增大弹性地基参数或半锥角可有效减小圆锥壳的动挠度,且地基的剪切参数比压缩参数的影响更为显著。