在央视《是真的吗》电视节目中曾经演示了这样一个实验：用三根火柴杆和棉线,组成如图1所示的构架形式,可以挂数瓶矿泉水而不垮塌。火柴$OB$水平放置在桌面边缘,一部分在桌面外,与桌面边缘接触处为$O$点;火柴$DE$水平地将两棉线撑开;火柴$BC$一端撑住火柴$OB$的端点,另一端垂直作用在火柴$DE$的中点$C$处。节目最后定性地简单解释了一下原理,并举例说明了一些杆件结构的相关应用。田雁等^[1]解释了与之类似的一道全国物理竞赛题,但并未得出具体的计算公式。本文基于理论力学和材料力学的基本知识,从定量计算的角度解释其原理。

现场实验发现,当第一瓶矿泉水挂上后,火柴$OB$尾部即发生了如图2(a)所示的翘起,然后继续增加悬挂矿泉水的瓶数,虽然系统仍然保持平衡,但桌面那根火柴的翘起角度逐渐增加,见图2(b)。当悬挂到第9瓶矿泉水时,系统整体不再平衡而发生了垮塌现象(火柴并未断裂)。三根火柴系统能悬挂数瓶矿泉水的原理是什么呢?火柴$OB$尾部为何出现不同程度的翘起现象呢?

初始时,为了能将三根火柴安装成图1所示的结构,需要用重物将火柴$OB$末端压住,如图3所示,待挂上一瓶水,并安装好三根火柴后,再将重物移走。显然此结构不能保持平衡,而是整体绕火柴与桌面边缘的接触点$O$转动一个角度,使得矿泉水重力的作用点位于桌面边缘$O$点的正下方,如图4所示。这就是挂上一瓶矿泉水后$OB$尾部立即翘起的原因。

设转动角度为$\alpha_{0}$,由图4整体受力图可得$O$点处的摩擦力与支撑力的合力最终与系统重力$G$平衡,此时忽略棉线和火柴杆的重量,则有

可见,只要火柴倾角$\alpha_{0}$小于火柴与桌面的摩擦角,该系统即属于自锁状态,即可保持平衡。其中$A$点为棉线的作用点,与$O$点位置很接近,设$OA=d$,$AB=l$,$AC=h$,此时$\angle CAB\approx 90^{\circ }$。则有

随着矿泉水瓶数增加,火柴$OB$尾部翘起角度逐渐增加,但只要该角度小于摩擦角,系统均可保持平衡。本文认为增加重物重量,火柴尾部翘起角度增加的原因是火柴$OB$和$DE$发生了弯曲变形。设某时刻火柴$OB$尾部翘起角度为$\alpha$,受力图及其他各处角度如图5所示。$F_{A}$为两根棉线的合力,火柴$BC$可视为二力杆。本文中不考虑桌面的厚度,因此桌面下边缘对棉线无接触作用力。

火柴$OB$发生弯曲变形使得尾部进一步翘起,但不会引起$C$处的角度变化。所以由图5(b)可得

分析图5(c)求火柴$OB$的弯曲变形。为简化计算,此时可将其看成如图6所示的外伸梁,此时火柴已因发生了初始的刚体转动而倾斜,为方便观测将其画成水平放置形式。

忽略轴向力对梁变形的影响,设火柴的抗弯刚度为$EI$,则可得到$O$界面受弯曲的转角绝对值,即火柴$OB$尾端因弯曲引起的翘起转角为^[2]

将式(5)代入可得

由于$d$远小于$l$,则式(7)可简化为

另外,由图1可见,火柴$DE$中点的挠度$f_{C}$可以由简支梁中点受集中力作用计算,设火柴的长度为$L$,则有

由于$DE$弯曲使得$C$向斜下方有位移,导致了火柴系统整体绕$O$点再次发生刚体转动,但$D$和$E$两点由于整体受力可知不发生位移。设该转角为$\varphi$,忽略$BC$杆的压缩变形,则

火柴$OB$尾部总的翘起角度$\alpha $为

由式(11)可知,随着悬挂重物增加,火柴$OB$的弯曲转角$\theta_{O} $和转角$\varphi$均会逐渐增大,则火柴的整体翘起角度$\alpha$随之增加,当$\alpha$达到摩擦角时,所悬挂重量达到极限值,再增加重量,则系统就会发生垮塌,与实验过程完全符合。将式(11)改写成计算重物重量的形式,则有

由式(12)可知,系统所能悬挂的总重量与火柴的抗弯刚度成正比。当火柴与桌面摩擦系数确定后,摩擦角$\alpha$为已知量,再根据初始条件计算出初始刚体转角$\alpha_{0}$,即可算出所能悬挂的总重量。

从资料查得木质火柴杆一般采用白杨、松木等制作,其抗弯弹性模量一般在7$\sim$13 GPa之间,本文取10 GPa,普通火柴杆尺寸约为38 mm $\times$ 1.5 mm $\times$ 1.5 mm,若取$d=2$ mm,$l=19$ mm,木材与硬塑料、钢之间的静摩擦系数$f$一般在0.2$\sim$0.25之间,此处取火柴与桌面摩擦系数为0.2,即摩擦角为$11.3^{\circ}$,则可算得这样的三根火柴系统可悬挂重物的重量为

$$ \begin{eqnarray*} G=28.3\ {\rm N} \end{eqnarray*} $$

即,该系统可悬挂的重量约为3 kg,约5瓶550 mL的矿泉水。由图2可见,节目现场试验火柴$OB$外伸长度未达到火柴一半,因此悬挂重物可比上述理论值更大一些。所以,可认为本文理论分析结果与实验结果较为符合。下面进行一下强度校核。由整体受力图可见,此刻桌面的支撑力为

$$ \begin{eqnarray*} F_{{\rm N}} =G\cos \alpha =27.7~{\rm N} \end{eqnarray*} $$

根据以上结果可算出$A$截面的弯矩,再由弯曲正应力公式,可得$A$截面下边缘最大拉应力为

$$ \begin{eqnarray*} \sigma =\frac{6F_{{\rm N}} d}{b^{3}}=98.5~{\rm MPa} \end{eqnarray*} $$

式中,$b=1.5$ mm,为火柴杆边长。由于选择的棉线具有一定粗度才能将火柴撑住,如图2所示,此时棉线的直径与$OA$间距离$d$值已经较为接近,因此可以将棉线对火柴杆的作用力考虑为均布载荷,如图7所示。

根据试验情况,可设棉线直径为1 mm,$A$截面位于其中点上,则有

$$ \begin{eqnarray*} F_{A} =\frac{G\sin (\alpha_{0} +\beta )}{\sin \beta }=31.3~{\rm N} \end{eqnarray*} $$

可算得$A$截面最大正应力为

$$ \begin{eqnarray*} &&\sigma =\frac{6F_{{\rm N}} d-3qa^{2}}{b^{3}}=91.5~{\rm MPa} \end{eqnarray*} $$

式中,棉线半径$a=0.5$ mm。显然,按均布载荷计算所得最大应力值更小一些。实际选用哪种计算方式需要根据棉线的粗细来决定。查阅文献可知,杨木、松木的拉伸屈服极限一般为88$\sim$118 MPa,可见按本文的理论计算结果,火柴杆的强度也在范围之内,所以可认为理论分析合理。但由于火柴杆选材、棉线与桌面的距离、火柴外伸长度等参数均人为选择,其结果会有一些差异。下面将几种选择的计算结果列于表1中。

由表1可见,摩擦系数$f$、棉线与桌面的距离$d$均对悬挂重量具有较大影响。如果棉线紧贴桌面,使得距离$d$很小,则可显著提高悬挂的重量,当摩擦系数$f=0.2$时,文中的火柴系统最多可悬挂13瓶矿泉水,且火柴的最大应力还不至于太大。火柴杆与桌面摩擦系数$f$增大可提高悬挂的重量,但当$f=0.25$时,悬挂重物达到一定重量后,火柴会先发生断裂破坏,而不会是整体垮塌。

本文介绍了三根火柴悬挂矿泉水瓶的有趣试验现象,基于理论力学中的自锁原理和材料力学中梁的弯曲理论分析了系统保持平衡的力学原理,并得出了其极限载荷的计算公式,为该试验给出了较为合理的理论解释。通过几个算例可知,摩擦系数、棉线与桌面距离均对悬挂的极限载荷具有较大的影响。