考虑温度效应的覆冰导线动力学建模及舞动特征研究1)

图1 覆冰导线数学模型

将覆冰导线当作连续体,根据牛顿力法可得覆冰导线静态构型上的平衡方程为

(1a)$\frac{\partial }{\partial s}\left(H\frac{\partial x}{\partial s}\right)=0$

(1b)$\frac{\partial }{\partial s}\left(H\frac{\partial x}{\partial s}\right)=0$

(1c)$\frac{\partial }{\partial s}\left(H\frac{\partial x}{\partial s}\right)=0$

式中,$s$为弧坐标,$m$为覆冰导线的单位质量,$g$为重力加速度,$H$为初始张力。

同理,可得到覆冰导线在热应力平衡构型上的平衡方程为

(2a)$\frac{\partial }{\partial s}\left[ {(H+\breve{{H}})\bigg(\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial u}{\partial s}\bigg)} \right]=0$

(2b)$\frac{\partial }{\partial s}\left[ {(H+\breve{{H}})\bigg(\frac{\partial y}{\partial s}+\frac{\partial v}{\partial s}\bigg)} \right]=-mg$

(2c)$\frac{\partial }{\partial s}\left[ {(H+\breve{{H}})\bigg(\frac{\partial z}{\partial s}+\frac{\partial w}{\partial s}\bigg)} \right]=0$

式中,$u$,$v$,$w$分别表示温度变化引起的覆冰导线$x$轴、$y$轴、$z$轴方向位移的变化量;$\breve{{H}}$表示温度变化引起的张力变化量。

同理,也可得到覆冰导线在动态构型上的平衡方程为

(3a)$\frac{\partial }{\partial s}\left[ {(H+\breve{{H}}+\bar{{H}})\bigg(\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial u}{\partial s}+\frac{\partial \bar{{u}}}{\partial s}\bigg)} \right]= m\frac{\partial^{2}\bar{{u}}}{\partial t^{2}}+c_{U} \frac{\partial \bar{{u}}}{\partial t}$

(3b)$\frac{\partial }{\partial s}\left[ {(H+\breve{{H}}+\bar{{H}})\bigg(\frac{\partial y}{\partial s}+\frac{\partial v}{\partial s}+\frac{\partial \bar{{v}}}{\partial s}\bigg)} \right]= -mg+m\frac{\partial^{2}\bar{{v}}}{\partial t^{2}}+c_{V} \frac{\partial \bar{{v}}}{\partial t}-F_{V}$

(3c)$\frac{\partial }{\partial s}\left[ {(H+\breve{{H}}+\bar{{H}})\bigg(\frac{\partial z}{\partial s}+\frac{\partial w}{\partial s}+\frac{\partial \bar{{w}}}{\partial s}\bigg)} \right]= m\frac{\partial^{2}\bar{{w}}}{\partial t^{2}}+c_{W} \frac{\partial \bar{{w}}}{\partial t}-F_{W}$

式中,$F_{V} $和$F_{W} $分别表示$y$轴、$z$轴方向覆冰导线所受气动载荷;$c_{U}$,$c_{V} $,$c_{W}$分别表示覆冰导线$x$轴,$y$轴,$z$轴方向的阻尼系数;$\bar{{u}}$,$\bar{{v}}$,$\bar{{w}}$分别表示在气动载荷作用下覆冰导线$x$轴、$y$轴、$z$轴方向增加的位移;$\bar{{H}}$为气动载荷作用下覆冰导线张力的变化量。

覆冰导线$x$轴方向的振动波速远小于$y$轴、$z$轴方向的振动波速,因此忽略$x$轴方向的位移$\bar{{u}}$,然后根据式(1)$\sim$式(3)可得覆冰导线$y$轴、$z$轴方向的舞动控制方程为

(4a)$\frac{\partial }{\partial s}\left[ {(H+\breve{{H}})\frac{\partial \bar{{v}}}{\partial s}+\bar{{H}}\bigg(\frac{\partial y}{\partial s}+\frac{\partial v}{\partial s}+\frac{\partial \bar{{v}}}{\partial s})} \right]= m\frac{\partial^{2}\bar{{v}}}{\partial t^{2}}+c_{V} \frac{\partial \bar{{v}}}{\partial t}-F_{V}$

(4b)$\frac{\partial }{\partial s}\left[ {(H+\breve{{H}})\frac{\partial \bar{{w}}}{\partial s}+\bar{{H}}\frac{\partial \bar{{w}}}{\partial s}} \right]= m\frac{\partial^{2}\bar{{w}}}{\partial t^{2}}+c_{W} \frac{\partial \bar{{w}}}{\partial t}-F_{W}$

式中

$\begin{eqnarray*} y=\frac{mg}{2H}(L-x)x,\ \ v=-\frac{\breve{{H}}}{H+\breve{{H}}}y \end{eqnarray*}$

$\breve{{H}}=\alpha \Delta TEA$ $(\alpha $为热膨胀系数,$\Delta T$为温度变化量,EA为覆冰导线的拉伸刚度)。

覆冰导线在气动载荷作用下张力的表达式为

(5)$\begin{eqnarray} \label{eq5} \bar{{H}}=\frac{EA}{L}\int_0^L \left[\frac{\partial y}{\partial s} \frac{\partial \bar{{v}}}{\partial s}+\frac{1}{2}\bigg(\frac{\partial \bar{{v}}}{\partial s}\bigg)^{2}+\frac{1}{2}\bigg(\frac{\partial \bar{{w}}}{\partial s}\bigg)^{2}\right]{\rm d}s \end{eqnarray} $

式中,$L$表示覆冰导线的跨径。

覆冰导线在气动载荷下的位移为

(6a)$\bar{{v}}=\phi_{2} (x)q_{2} (t)$

(6b)$\bar{{w}}=\phi_{3} (x)q_{3} (t)$

式中,$\phi_{2}$和$\phi _{3}$表示模态函数,$q_{2}$和$q_{3}$表示振动函数。

将式(5)和式(6)代入式(4),并根据Galerkin方法可得覆冰导线的舞动常微分方程

(7a)$\vartheta_{1} q_{2} +\vartheta_{2} q_{2}^{2} +\vartheta_{3} q_{3}^{2} +\vartheta_{4} q_{2}^{3} +\vartheta_{5} q_{2} q_{3}^{2} + \vartheta_{6} \ddot{{q}}_{2} +\vartheta_{7} \dot{{q}}_{2} +\vartheta_{8} =0$

(7b)$\nu_{1} q_{3} +\nu_{2} q_{2} q_{3} +\nu_{3} q_{2}^{2} q_{3} +\nu_{4} q_{3}^{3} + \nu_{5} \ddot{{q}}_{3} +v_{6} \dot{{q}}_{3} +\nu_{7} =0$

式(7)中的线性与非线性系数的表达式分别为

$\begin{eqnarray*} &&\vartheta_{1} =\int_0^L {(H+\breve{{H}}} ){\phi }"_{2} \phi_{2} {\rm d}x+\\&&\qquad \int_0^L {\frac{EA}{L}} \bigg(1-\frac{\breve{{H}}}{H+\breve{{H}}}\bigg){y}"\int_0^L {{y}'{\phi }'_{2} } {\rm d}x\phi_{2} {\rm d}x\\ &&\vartheta_{2} =\int_0^L {\frac{EA}{2L}} \bigg(1-\frac{\breve{{H}}}{H+\breve{{H}}}\bigg){y}"\int_0^L {{\phi }_{2}^{\prime2} } {\rm d}x\phi_{2} {\rm d}x+\\&&\qquad \int_0^L {\frac{EA}{L}} {\phi }"_{2} \int_0^L {{y}'{\phi }'_{2} } {\rm d}x\phi_{2} {\rm d}x\\ &&\vartheta_{3} =\int_0^L {\frac{EA}{2L}} \bigg(1-\frac{\breve{{H}}}{H+\breve{{H}}}\bigg){y}"\int_0^L {{\phi }_{3}^{\prime2} } {\rm d}x\phi_{2} {\rm d}x\\ &&\vartheta_{4} =\int_0^L {\frac{EA}{2L}} {\phi }"_{2} \int_0^L {{\phi }_{2}^{\prime2} } {\rm d}x\phi_{2} {\rm d}x\\ &&\vartheta_{5} =\int_0^L {\frac{EA}{2L}} {\phi }"_{2} \int_0^L {{\phi }_{3}^{\prime2} } {\rm d}x\phi_{2} {\rm d}x\\ &&\vartheta_{6} =-\int_0^L {m\phi_{2}^{2} } {\rm d}x,\ \ \vartheta_{7} =-\int_0^L {c_{V} \phi_{2}^{2} } {\rm d}x\\ &&\vartheta_{8} =\int_0^L {F_{V} \phi_{2} } {\rm d}x, \ \ \nu _{1} =\int_0^L {(H+\breve{{H}}} ){\phi }"_{3} \phi_{3} {\rm d}x\\ &&\nu_{2} =\int_0^L {\frac{EA}{L}} {\phi }"_{3} \int_0^L {{y}'{\phi }'_{2} } {\rm d}x\phi_{3} {\rm d}x\\ &&\nu_{3} =\int_0^L {\frac{EA}{2L}} {\phi }"_{3} \int_0^L {{\phi }_{2}^{\prime2} } {\rm d}x\phi_{3} {\rm d}x\\ &&\nu_{4} =\int_0^L {\frac{EA}{2L}} {\phi }"_{3} \int_0^L {{\phi }_{3}^{\prime2} } {\rm d}x\phi_{3} {\rm d}x\\ &&\nu_{5} =-\int_0^L {m\phi_{3}^{2} } {\rm d}x, \ \ \nu_{6} =-\int_0^L {c_{W} \phi_{3}^{2} } {\rm d}x\\ &&\nu_{7} =\int_0^L {F_{W} \phi_{3} } {\rm d}x \end{eqnarray*}$

2 气动载荷分析

冬季来临时,在季风的影响下导线表面容易结冰,由于覆冰的影响,导线表面会受到一定大小的气动载荷,为分析气动载荷对覆冰导线的作用形式,首先需建立覆冰导线横截面模型,如图2所示。

图2

图2 覆冰导线横截面

$F_{\rm L}$表示气动升力,$F_{\rm D}$表示气动阻力,$\alpha $表示攻角,$\alpha_{0}$表示初始攻角,$U$表示风速(方向平行于$z$轴)。可得到

(8a)$F_{V} =F_{\rm L} \cos (\alpha_{t} )-F_{\rm D} \sin (\alpha_{t} )= \frac{1}{2}\rho DU^{2}C_{y} (\alpha )$

(8b)$F_{W} =F_{\rm L} \sin (\alpha_{t} )+F_{\rm D} \cos (\alpha_{t} )= \frac{1}{2}\rho DU^{2}C_{z} (\alpha )$

式中,$\alpha =\alpha_{0} -\alpha_{t}$,$\alpha_{t}=\dot{{\bar{{v}}}}/U$;$\rho$表示空气密度;$D$表示迎风直径;$C_{y}$和$C_{z}$分别表示$y$轴、$z$轴方向的气动力系数,其表达式为

(9a)$C_{y} =\alpha_{1} \alpha +\alpha_{2} \alpha^{2}+\alpha_{3} \alpha^{3}$

(9b)$C_{z} =\beta_{1} \alpha +\beta_{2} \alpha^{2}+\beta_{3} \alpha^{3}$

式中,$\alpha_{1}$,$\alpha_{2}$,$\alpha_{3}$,$\beta _{1}$,$\beta_{2}$,$\beta_{3}$为待定系数,可通过风洞试验测得。

初始攻角为一定常数,只具备静力效应,不影响覆冰导线的舞动特征,因此忽略初始攻角,然后将式(9)代入式(8)可得

(10a)$F_{V} =\frac{1}{2}\rho DU^{2}\left[ \alpha_{1} \left( {-\frac{\dot{{\bar{{v}}}}}{U}} \right)+\alpha_{2} \left( {-\frac{\dot{{\bar{{v}}}}}{U}} \right)^{2}+ \alpha_{3} \left( {-\frac{\dot{{\bar{{v}}}}}{U}} \right)^{3} \right]$

(10b)$F_{W} =\frac{1}{2}\rho DU^{2}\left[ \beta_{1} \left( {-\frac{\dot{{\bar{{v}}}}}{U}} \right)+\beta_{2} \left( {-\frac{\dot{{\bar{{v}}}}}{U}} \right)^{2}+ \beta_{3} \left( {-\frac{\dot{{\bar{{v}}}}}{U}} \right)^{3} \right]$

根据Galerkin方法,上节内容已经得到

(11a)$\vartheta_{8} =\int_0^L {F_{V} \phi_{2} } {\rm d}x$

(11b)$\nu_{7} =\int_0^L {F_{W} \phi_{3} } {\rm d}x$

将式(11)代入式(10),并将所得结果代入式(7)可得到新的覆冰导线舞动常微分方程

(12a)$\vartheta_{1} q_{2} +\vartheta_{2} q_{2}^{2} +\vartheta_{3} q_{3}^{2} +\vartheta_{4} q_{2}^{3} +\vartheta_{5} q_{2} q_{3}^{2} +\vartheta_{6} \ddot{{q}}_{2} + \vartheta_{7} \dot{{q}}_{2} +\vartheta_{9} \dot{{q}}_{2} +\vartheta_{10} \dot{{q}}_{2}^{2} +\vartheta_{11} \dot{{q}}_{2}^{3} =0$

(12b)$\nu_{1} q_{3} +\nu_{2} q_{2} q_{3} +\nu_{3} q_{2}^{2} q_{3} +\nu_{4} q_{3}^{3} +\nu_{5} \ddot{{q}}_{3} + v_{6} \dot{{q}}_{3} +\nu_{8} \dot{{q}}_{2} +\nu_{9} \dot{{q}}_{2}^{2} +\nu_{10} \dot{{q}}_{2}^{3} =0$

式(12)新增加的线性与非线性系数的表达式分别为

$\begin{eqnarray*} &&\vartheta_{9} =\int_0^L {\frac{1}{2}\rho U^{2}} D\left(-\frac{\alpha_{1} }{U}\right)\phi_{2}^{2} {\rm d}x\\ &&\vartheta_{10} =\int_0^L {\frac{1}{2}\rho U^{2}} D\bigg(\frac{\alpha_{2} }{U^{2}}\bigg)\phi_{2}^{3} {\rm d}x\\ &&\vartheta_{11} =\int_0^L {\frac{1}{2}\rho U^{2}} D\left(-\frac{\alpha_{3} }{U^{3}}\right)\phi_{2}^{4} {\rm d}x\\ &&\nu_{8} =\int_0^L {\frac{1}{2}\rho U^{2}} D\left(-\frac{\beta_{1} }{U}\right)\phi_{2} \phi_{3} {\rm d}x\\ &&\nu_{9} =\int_0^L {\frac{1}{2}\rho U^{2}} D\bigg(\frac{\beta_{2} }{U^{2}}\bigg)\phi_{3} \phi_{2}^{2} {\rm d}x\\ &&\nu_{10} =\int_0^L {\frac{1}{2}\rho U^{2}} D\left(-\frac{\beta_{3} }{U^{3}}\right)\phi_{3} \phi_{2}^{3} {\rm d}x \end{eqnarray*}$

3 多尺度法分析

覆冰导线的舞动一般属于弱非线性系统的振动问题。针对弱非线性系统振动的研究,常用的定量分析方法有摄动法、KBM渐进法、谐波平衡法以及多尺度法等。多尺度法^[15-19]因逻辑清晰、计算结果精度高而受到科技学者们的青睐。

为满足多尺度法的求解格式,首先转化式(12)为

(13a)$\ddot{{q}}_{2} +\omega_{2}^{2} q_{2} =\varepsilon (\gamma_{1} \dot{{q}}_{2} +\gamma_{2} \dot{{q}}_{2}^{2} +\gamma_{3} \dot{{q}}_{2}^{3} +\gamma_{4} q_{2}^{2} + \gamma_{5} q_{3}^{2} +\gamma_{6} q_{2}^{3} +\gamma _{7} q_{2} q_{3}^{2} )$

(13b)$\ddot{{q}}_{3} +\omega_{3}^{2} q_{3} =\varepsilon (\eta_{1} \dot{{q}}_{3} +\eta_{2} \dot{{q}}_{2} +\eta_{3} \dot{{q}}_{2}^{2} +\eta_{4} \dot{{q}}_{2}^{3} + \eta_{5} q_{2} q_{3} +\eta_{6} q_{2}^{2} q_{3} +\eta _{7} q_{3}^{3} )$

式中,$\varepsilon$表示无量纲的小参数,涉及到的其他线性与非线性系数的表达式分别为

$\begin{eqnarray*} \gamma_{1} =-\frac{\vartheta_{7} +\vartheta_{9} }{\vartheta_{6} },\ \gamma_{2} =-\frac{\vartheta_{10} }{\vartheta_{6} },\ \gamma _{3} =-\frac{\vartheta_{11} }{\vartheta_{6} },\ \gamma_{4} =-\frac{\vartheta_{2} }{\vartheta_{6} }\\ \gamma_{5} =-\frac{\vartheta_{3} }{\vartheta_{6} },\ \ \gamma_{6} =-\frac{\vartheta_{4} }{\vartheta_{6} },\ \ \gamma_{7} =-\frac{\vartheta_{5} }{\vartheta_{6} },\ \ \omega_{2}^{2} =\frac{\vartheta_{1} }{\vartheta_{6} }\\ \omega_{3}^{2} =\frac{\nu_{1} }{\nu_{5} },\ \ \eta_{1} =-\frac{\nu_{6} }{\nu_{5} },\ \ \eta_{2} =-\frac{\nu_{8} }{\nu_{5} },\ \ \eta_{3} =-\frac{\nu_{9} }{\nu_{5} }\\ \eta_{4} =-\frac{\nu_{10} }{\nu_{5} },\ \ \eta_{5} =-\frac{\nu_{2} }{\nu_{5} },\ \ \eta_{6} =-\frac{\nu_{3} }{\nu_{5} },\ \ \eta_{7} =-\frac{\nu_{4} }{\nu_{5} } \end{eqnarray*}$

式(13)的解为

(14a)$q_{2} =q_{20} (T_{0} ,T_{1} )+\varepsilon q_{21} (T_{0} ,T_{1} )+\cdots$

(14b)$q_{3} =q_{30} (T_{0} ,T_{1} )+\varepsilon q_{31} (T_{0} ,T_{1} )+\cdots$

式中,$q_{20}$和$q_{30}$表示覆冰导线的周期解,$q_{21}$和$q_{31}$表示覆冰导线的修正解,$T_{0}$和$T_{1}$为时间尺度(物理意义分别表示关于时间$t$的快变化量与慢变化量),且满足

(15a)$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}T_{0} }\frac{T_{0} }{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}}{{\rm d}T_{1} }\frac{T_{1} }{{\rm d}t}= D_{0} +\varepsilon D_{1} +\cdots$

(15b)$\frac{{\rm d}^{2}}{{\rm d}t^{2}}=\left( {\frac{{\rm d}}{{\rm d}T_{0} }\frac{T_{0} }{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}}{{\rm d}T_{1} }\frac{T_{1} }{{\rm d}t}} \right)^{2}= D_{0}^{2} +2\varepsilon D_{0} D_{1} +\cdots$

式中,$D_{0}$和$D_{1}$为标记符号。

将式(14)和式(15)代入式(13),并将涉及到小参数$\varepsilon $的项分类整理可得:

$\varepsilon $的零次项

(16a)$D_{0}^{2} q_{20} +\omega_{2}^{2} q_{20} =0$

(16b)$D_{0}^{2} q_{30} +\omega_{3}^{2} q_{30} =0$

$\varepsilon $的一次项

(17a)$D_{0}^{2} q_{21} +\omega_{2}^{2} q_{21} =-2D_{0} D_{1} q_{20} +\gamma_{1} D_{0} q_{20} +\\ \gamma_{2} (D_{0} q_{20} )^{2}+\gamma_{3} (D_{0} q_{20} )^{3}+\gamma_{4} q_{20}^{2} +\\ \gamma_{5} q_{30}^{2} +\gamma_{6} q_{20}^{3} +\gamma_{7} q_{20} q_{30}^{2}$

(17b)$D_{0}^{2} q_{31} +\omega_{3}^{2} q_{31} =-2D_{0} D_{1} q_{30} +\eta_{1} D_{0} q_{30} +\\ d\eta_{2} D_{0} q_{20} +\eta_{3} (D_{0} q_{20} )^{2}+\eta _{4} (D_{0} q_{20} )^{3}+\\ \eta_{5} q_{20} q_{30} +\eta_{6} q_{20}^{2} q_{30} +\eta_{7} q_{30}^{3}$

将式(16)的解设为

(18a)$q_{20} =A_{V} (T_{1} )\exp ({\rm i}\omega_{2} T_{0} )+cc$

(18b)$q_{30} =A_{W} (T_{1} )\exp ({\rm i}\omega_{3} T_{0} )+cc$

式中,$A_{V}$和$A_{W}$表示覆冰导线的舞动幅值(皆为$T_{1}$的函数),$cc$表示复杂的共轭项,i为虚数单位。

将式(18)代入式(17)可得

(19a)$\begin{array}D_{0}^{2} q_{21} +\omega_{2}^{2} q_{21} =(-2{\rm i}\omega_{2} {A}'_{V} +\gamma_{1} {\rm i}\omega_{2} A_{V} +\\ 3\gamma_{3} {\rm i}\omega_{2}^{3} A_{V}^{2} \bar{{A}}_{V} +3\gamma_{6} A_{V}^{2} \bar{{A}}_{V} +2\gamma_{7} A_{V} A_{W} \bar{{A}}_{W} )\cdot\\ \exp ({\rm i}\omega_{2} T_{0} )+\gamma_{2} (-\omega_{2}^{2} A_{V}^{2} + \gamma_{4} A_{V}^{2} )\cdot \\ \exp (2{\rm i}\omega_{2} T_{0} )+(\gamma_{6} A_{V}^{3} -\gamma_{3} {\rm i}\omega_{2}^{3} A_{V}^{3} )\cdot \\ \exp (3{\rm i}\omega_{2} T_{0} )+\gamma_{2} \omega_{2}^{2} A_{V} \bar{{A}}_{V} +\gamma_{4} A_{V} \bar{{A}}_{V} +\\ \gamma_{5} [A_{W}^{2} \exp (2{\rm i}\omega_{3} T_{0} )+A_{W} \bar{{A}}_{W} ]+ \\ \gamma_{7} \mbox{\{}A_{V} A_{W}^{2} \exp [{\rm i}(\omega_{2} +2\omega _{3} )T_{0} ]+ \\ \bar{{A}}_{V} A_{W}^{2} \exp [{\rm i}(-\omega_{2} +2\omega _{3} )T_{0} ]\mbox{\}}+cc\end{array}$

(19b)$\begin{array}D_{0}^{2} q_{31} +\omega_{3}^{2} q_{31} =(-2{\rm i}\omega_{3} {A}'_{W} +\eta_{1} {\rm i}\omega_{3} A_{W} +\\ 2\eta_{6} \bar{{A}}_{V} A_{V} A_{W} +3\eta_{7} A_{W}^{2} \bar{{A}}_{W} )\exp ({\rm i}\omega_{3} T_{0} )+\\ \eta _{2} {\rm i}\omega_{2} A_{V} \exp ({\rm i}\omega_{2} T_{0} )+ \eta_{3} \mbox{[}-\omega_{2}^{2} A_{V}^{2}\cdot \\ \exp (2{\rm i}\omega_{2} T_{0} )+\omega_{2}^{2} A_{V} \bar{{A}}_{V} ]+\eta_{4} \mbox{[}-{\rm i}\omega_{2}^{3} A_{V}^{3}\cdot \\ \exp (3{\rm i}\omega_{2} T_{0} )+3{\rm i}\omega_{2}^{3} A_{V}^{2} \bar{{A}}_{V} \exp ({\rm i}\omega_{2} T_{0} )]+ \\ \eta_{5} \{A_{V} A_{W} \exp [\mbox{i(}\omega_{2} +\omega_{3} )T_{0} ]+\\ A_{V} \bar{{A}}_{W} \exp [\mbox{i(}\omega_{2} -\omega_{3} )T_{0} ]\}+ \\ \eta_{6} \{A_{V}^{2} A_{W} \exp [\mbox{i(2}\omega_{2} +\omega_{3} )T_{0} ]+ \\ A_{V}^{2} \bar{{A}}_{W} \exp [\mbox{i(2}\omega_{2} -\omega_{3} )T_{0} ]\}+ \\ \eta_{7} A_{W}^{3} \exp (3{\rm i}\omega_{3} T_{0} )+cc\end{array}$

根据微分方程的可解条件,式(19)有解的充要条件为其久期项需为零,即

(20a)$-2{\rm i}\omega_{2} {A}'_{V} +\gamma_{1} {\rm i}\omega_{2} A_{V} +3\gamma_{3} {\rm i}\omega_{2}^{3} A_{V}^{2} \bar{{A}}_{V} +\\ 3\gamma_{6} A_{V}^{2} \bar{{A}}_{V} +2\gamma_{7} A_{V} A_{W} \bar{{A}}_{W} =0$

(20b)$-2{\rm i}\omega_{3} {A}'_{W} +\eta_{1} {\rm i}\omega_{3} A_{W} +2\eta _{6} \bar{{A}}_{V} A_{V} A_{W} +\\ 3\eta_{7} A_{W}^{2} \bar{{A}}_{W} =0$

将$A_{V}$和$A_{W}$改写为极坐标形式,即

(21a)$A_{V} =\frac{1}{2}\xi_{V} \exp ({\rm i}\mu_{V} )$

(21b)$A_{W} =\frac{1}{2}\xi_{W} \exp ({\rm i}\mu_{W} )$

式中,$\xi_{V} $和$\xi_{W} $表示振幅,$\mu_{V} $和$\mu_{W} $表示相位。

将式(21)代入式(20)并分离实部和虚部可得

(22a)${\xi }'_{V} =\frac{\gamma_{1} }{2}\xi_{V} +\frac{3\gamma_{7} \omega_{2}^{2} }{8}\xi_{V}^{2}$

(22b)${\mu }'_{V} =-\frac{3\gamma_{6} }{8\omega_{2} }\xi_{V}^{2} -\frac{\gamma_{7} }{4\omega_{2} }\xi_{W}^{2}$

(22c)${\xi }'_{W} =\frac{\eta_{1} }{2}\xi_{W}$

(22d)${\mu }'_{W} =-\frac{\eta_{6} }{4\omega_{3} }\xi_{V}^{2} -\frac{3\eta_{7} }{8\omega_{3} }\xi_{W}^{2}$

式(22)可根据Newton-Raphson方法求解,当给定覆冰导线的物理参数与气动力系数时,就能得到覆冰导线的位移时程曲线。

4 算例分析

本文的研究会涉及到覆冰导线的物理参数,具体为:覆冰导线的拉伸刚度$EA=13.3\times 10^{6}$ N,初始张力$H$=$21.73\times 10^{3}$ N,单位质量$m$=1.53 kg/m,平均风速$U$=4.1 m/s,覆冰导线的直径$D$=0.0188 m,空气密度$\rho$=1.2929 kg/m$^{3}$,$y$轴的黏性阻尼系数$c_{V}$=0.01,$z$轴的黏性阻尼系数 $c_{W}$=0.379,热膨胀系数$\alpha$=1.68$\times$10$^{-5}$$^\circ$C$^{-1}$,气动力系数$\alpha_{1}$=$-$0.667,$\alpha_{2}$=$-$16.2188,$\alpha_{3}$=33.4324,$\beta_{1}$=3.442,$\beta_{2}$=3.33,$\beta _{3}=7.1262$,静态初始构型$y=(mgx/2H)\times (L-x)$,模态函数$\phi_{2}=\sin(\pi x/L)$,$\phi_{3}=\sin(\pi x/L)$。

本文推导了覆冰导线面内、面外固有频率的计算式,从计算式中得知温度的变化会导致覆冰导线固有频率的变化,为系统地分析不同档距下覆冰导线固有频率随温度变化的趋势,现给出了覆冰导线档距$L$分别为80m,150 m, 300 m,500 m下温度对面内、面外固有频率的影响曲线,见图3。

图3

图3 温度对固有频率的影响(不同档距)

从图3可知:覆冰导线档距$L$为80 m和150 m时,随着温度的升高,覆冰导线的面内、面外的频率都将增加;覆冰导线档距$L$为300 m和500 m时,随着温度的升高,覆冰导线的面内的频率将下降、面外的频率将增加。这是因为面内频率的表达式为$\omega_{2}^{2} =\vartheta_{1} /\vartheta_{6}$,即影响面内频率的系数主要为$\vartheta_{1} $和$\vartheta_{6}$。其中$\vartheta_{6} =-\int_0^L {m\phi_{2}^{2} }{\rm d}x$,且$\vartheta_{6} $随着档距的增加而增加,$\vartheta_{1}$表达式为

$\begin{eqnarray*} &&\vartheta_{1} =\int_0^L {(H+\breve{{H}}} ){\phi }"_{2} \phi_{2} {\rm d}x+ \int_0^L {\frac{EA}{L}} \bigg(1-\frac{\breve{{H}}}{H+\breve{{H}}}\bigg){y}"\int_0^L {{y}'{\phi }'_{2} } {\rm d}x\phi_{2} {\rm d}x \end{eqnarray*}$

但$\vartheta_{1}$的变化与档距和温度都有关。档距较小时,$\vartheta_{1}$的大小主要由$\int_0^L {(H+\breve{{H}}} ){\phi }"_{2} \phi_{2}{\rm d}x$决定,即随着温度增高、档距变大,$\vartheta_{1}$的值会增加;档距较大时,影响系数$\vartheta_{1} $的多项式

$\begin{eqnarray*} \int_0^L {\frac{EA}{L}} \bigg(1-\frac{\breve{{H}}}{H+\breve{{H}}}\bigg){y}"\int_0^L {{y}'{\phi }'_{2} } {\rm d}x\phi_{2} {\rm d}x \end{eqnarray*}$

的值会变大,且该值为负数,进而会使得$\vartheta_{1}$的值变小。面外频率的表达式为$\omega_{3}^{2} =\nu_{1} /\nu_{5}$,即影响面内频率的系数主要为$\nu_{1} $和$\nu_{5}$,且都随着档距和温度的增加而增加,但$\nu_{5} $的增加速度比$\nu_{1}$的增加速度快,即在大档距下面外频率的斜率较小。由此可知不同档距下,温度对覆冰导线面内、面外的频率的影响是很显著的。

覆冰导线的初始张力$H$一般在$3.0\times 10^{4}$ N上下浮动,为分析不同张力下覆冰导线固有频率随温度变化的趋势,现给出了覆冰导线张力$H$分别为$2.0\times 10^{4}$ N,$3.0\times 10^{4}$ N,$4.0\times 10^{4}$ N,$5.0\times 10^{4}$ N下温度对面内、面外固有频率的影响曲线, 见图4。

图4

图4 温度对固有频率的影响(不同张力)

从图4可知:覆冰导线初始张力$H$为$2.0\times 10^{4}$ N和$3.0\times 10^{4}$ N时,随着温度的升高,覆冰导线的面内的频率将下降、面外的频率将增加;覆冰导线初始张力$H$为$4.0\times 10^{4}$ N和$5.0\times 10^{4}$ N时,随着温度的升高,覆冰导线的面内、面外的频率都将增加。这是因为面内的频率为$\omega_{2}^{2} =\vartheta_{1} /\vartheta_{6}$,当张力较小时,影响系数$\vartheta_{1} $的多项式

$\begin{eqnarray*} \int_0^L{\frac{EA}{L}} \bigg(1-\frac{\breve{{H}}}{H+\breve{{H}}}\bigg){y}"\int_0^L{{y}'{\phi }'_{2} } {\rm d}x\phi_{2}{\rm d}x \end{eqnarray*}$

的值会随着温度的升高而变大,且该值为负数,因此会使得面内的频率变小;当张力较大时,多项式

$\begin{eqnarray*} \int_0^L{\frac{EA}{L}} \bigg(1-\frac{\breve{{H}}}{H+\breve{{H}}}\bigg){y}"\int_0^L{{y}'{\phi }'_{2} } {\rm d}x\phi_{2}{\rm d}x \end{eqnarray*}$

的值对频率的影响将越来越小,因此当初始张力$H$为$4.0\times 10^{4}$ N和$5.0\times 10^{4}$ N时,面内的频率表现为缓慢增加的趋势。由此可知不同张力下,温度对覆冰导线面内、面外的频率的影响也是很显著的。

根据上述分析得知:温度变化会导致覆冰导线面内、面外频率的改变,进而可能导致舞动幅值发生改变。实际生活中500 m的大跨越覆冰导线随处可见,因此下面给出档距$L$为500 m的覆冰导线在$\Delta T=-40^{\circ }$C,$\Delta T=0^{\circ }$C,$\Delta T=40^{\circ }$C时的位移时程曲线,见图5$\sim$图7。

图5

图5 位移响应曲线($T=-40^\circ$C)

图6

图6 位移响应曲线($T=0^\circ$C)

图7

图7 位移响应曲线($T=40^\circ$C)

从图5$\sim$图7可知:覆冰导线的舞动是一个能量逐渐积累的过程。在600 s之前,随着时间的推移,面内、面外的幅值逐渐增加,当达到600 s左右时,导线逐渐趋于稳定,稳定后幅值保持不变;温度对幅值的影响比较显著。当温度降低时,导线稳定后的幅值会降低,当温度升高时,导线稳定后的幅值会增加,因此针对覆冰导线舞动特征研究时,有必要考虑温度效应对覆冰导线舞动特征的影响。

根据上述分析可知,温度变化会对覆冰导线的舞动幅值造成影响,为了更加清楚地对比不同温度变化下覆冰导线舞动幅值的区别,图8$\sim$图10给出了处于稳定状态下10 s内的幅值对比分析图,还给出了数值解用来验证本文结果的有效性、适用性。

图8

图8 面内的位移响应曲线(不同温度下)

图9

图9 面外的位移响应曲线(不同温度下)

图10

图10 轨迹曲线(不同温度下)

从图8$\sim$图10可知:当覆冰导线稳定时,导线面内、面外的幅值都将保持不变,稳定时点的轨迹近似为椭圆,稳定后舞动的周期保持不变;且随着温度的升高,覆冰导线面内、面外的幅值明显增加,随着温度的降低,覆冰导线面内、面外的幅值明显降低,因此考虑温度变化对导线舞动特征的影响是必要的;多尺度法所得解与数值法所得解比较吻合,验证了本文结果的有效性。

5 结论

本文推导了考虑温度效应的覆冰导线舞动方程,随后采用多尺度法求得了覆冰导线的位移响应表达式,最后进行了参数分析、算例分析,且通过数值法对所得结果进行了验证,所得结论如下:

(1) 覆冰导线档距$L$为80 m和150 m时,随着温度的升高,覆冰导线的面内、面外的频率都将增加;覆冰导线档距$L$为300 m和500 m时,随着温度的升高,覆冰导线的面内的频率将下降、面外的频率将增加。因此,不同档距下,温度对覆冰导线面内、面外的频率的影响是很显著的。

(2) 覆冰导线张力$H$为$2.0\times 10^{4}$ N和$3.0\times 10^{4}$ N时,随着温度的升高,覆冰导线的面内的频率将下降、面外的频率将增加;覆冰导线张力$H$为$4.0\times 10^{4}$ N和$5.0\times 10^{4}$ N时,随着温度的升高,覆冰导线的面内、面外的频率都将增加。因此,不同张力下,温度对覆冰导线面内、面外的频率的影响是很显著的。

(3) 覆冰导线的舞动是一个能量积累的过程,随着温度的升高,覆冰导线面内、面外的幅值明显增加,随着温度的降低,覆冰导线面内、面外的幅值明显降低。针对覆冰导线舞动特性分析时,考虑温度变化对导线舞动特征的影响是必要的。

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