一类二自由度非线性能量阱系统的减振性能分析1)

图1 新型NES结构模型

左侧为系统主结构,质量块$m_{0}$由弹簧$k_{0}$和阻尼$c_{0}$连接于固定面,右侧为NES吸振器,质量块$m_{1}$由弹簧$k_{1}$和阻尼$c_{1}$连接于主结构,质量块$m_{2}$由弹簧$k_{2}$和阻尼$c_{2}$与$m_{1}$相连。

图1中$x_{0}, x_{1}$和$x_{2}$分别为主结构的位移和NES方形结构和小球的位移,其中主结构受到外力为$f$,其值为$F\sin(wt)$。

将图1中NES部分单独讨论,不加载和加载状态下的NES如图2(a)和图2(b)所示。

图2

图2 加载和不加载状态下的NES

平衡位置时,两个弹簧竖直,且小球位于方形质量块的中心。此时,单个弹簧的长度为$L_{0}$。

图2(b)为加载状态下的NES,弹簧的伸长量为$\varDelta$。此时,小球所受到的力为$F_{\rm nl}$,根据胡克定律结合泰勒级数可得

(1)$\begin{eqnarray} &&F_{\rm nl} =-\dfrac{k_{2} }{L_{0}^{2} }(x_{2} -x_{1})^{3}+\dfrac{3k_{2} }{4L_{0}^{4} }(x_{2} -x_{1} )^{5}-\dfrac{5k_{2} }{8L_{0}^{6} }(x_{2} -x_{1} )^{7}+O((x_{2} -x_{1})^{9}) \end{eqnarray} $

针对本文建立的系统,引入新的时间尺度$\tau =\omega t=\sqrt{({k_{1}}/{m_{1}})t}$,进行变量替换,即

\begin{eqnarray*} e_{i} =\dfrac{m_{i} }{m_{0}}, K_{i} =\dfrac{k_{i} }{k_{1} }, C_{i} =c_{i} \sqrt {\dfrac{1}{m_{0} k_{0} }} , f=\dfrac{F}{m_{0} }\ \ (i=1,2) \end{eqnarray*}

可得无量纲化的系统运动微分方程

(2)$\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{l} \ddot{{x}}_{0} +C_{0} \dot{{x}}_{0} +x_{0} +C_{1} (\dot{{x}}_{0} -\dot{{x}}_{1} )+ \\\qquad K_{1} (x_{0} -x_{1} )^{3}=f\sin \tau \\ e_{1} \ddot{{x}}_{1} +C_{1} (\dot{{x}}_{1} -\dot{{x}}_{0} )+C_{2} (\dot{{x}}_{1} -\dot{{x}}_{2} )+\\\qquad K_{1} (x_{1} -x_{0} )^{3}+\dfrac{K_{2} }{L_{0}^{2} }(x_{1} -x_{2} )^{3}-\\[3mm]\qquad \dfrac{3K_{2} }{4L_{0}^{4} }(x_{1} -x_{2} )^{5}+\dfrac{5K_{2} }{8L_{0}^{6} }(x_{1} -x_{2} )^{7}=0 \\[3mm] e_{2} \ddot{{x}}_{2} +C_{2} (\dot{{x}}_{2} -\dot{{x}}_{1} )+\dfrac{K_{2} }{L_{0}^{2} }(x_{2} -x_{1} )^{3}-\\[3mm]\qquad \dfrac{3K_{2} }{4L_{0}^{4} }(x_{2} -x_{1} )^{5}+\dfrac{5K_{2} }{8L_{0}^{6} }(x_{2} -x_{1} )^{7}=0 \\[3mm] \end{array} \right\} \end{eqnarray} $

2 系统之间靶向能量传递现象

若式(2)满足$C_{0}=C_{1}=C_{2}=0$, 且不考虑外激励,则式(2)变为一个保守系统,满足方程

(3)$\begin{eqnarray} \left. {\begin{array}{l} \ddot{{x}}_{0} +x_{0} +K_{1} (x_{0} -x_{1} )^{3}=f\sin (wt) \\ e_{1} \ddot{{x}}_{1} +K_{1} (x_{1} -x_{0} )^{3}+\dfrac{K_{2} }{L_{0}^{2} }(x_{1} -x_{2} )^{3}- \\[3mm]\qquad \dfrac{3K_{2} }{4L_{0}^{4} }(x_{1} -x_{2} )^{5}+\dfrac{5K_{2} }{8L_{0}^{6} }(x_{1} -x_{2} )^{7}=0 \\[3mm] e_{2} \ddot{{x}}_{2} +\dfrac{K_{2} }{L_{0}^{2} }(x_{2} -x_{1})^{3}-\dfrac{3K_{2} }{4L_{0}^{4} }(x_{2} -x_{1} )^{5}+\\[3mm]\qquad \dfrac{5K_{2} }{8L_{0}^{6} }(x_{2} -x_{1} )^{7}=0 \\[3mm] \end{array}} \right\} \end{eqnarray} $

对于式(3)所示的保守系统,其能量分为两个部分:动能与势能

(4)$\begin{eqnarray} E_{\rm tol}=E_{\rm k}+E_{\rm p}=\dfrac{1}{2}\left(\dot{x}_{0}^{2}+e_{1} \dot{x}_{1}^{2}+e_{2} \dot{x}_{2}^{2}\right)+ \\ \bigg[\dfrac{1}{2} x_{0}^{2}+\dfrac{1}{4} k_{1}\left(x_{1}-x_{0}\right)^{4}+\dfrac{k_{2}}{4 L_{0}^{2}}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{4}- \\ \dfrac{k_{2}}{4 L_{0}^{4}}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{6}+\dfrac{5 k_{2}}{64 L_{0}^{6}}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{8}\bigg] \end{eqnarray} $

将初始条件代入$E_{\rm tol}$,可得系统初始能量$E_{0}$。

用$E$表示主结构的能量

(5)$\begin{eqnarray} E=\dfrac{1}{2}\dot{{x}}^{2}_{0} +\dfrac{1}{2}x_{0}^{2} \end{eqnarray} $

保守系统,总能量守恒,则NES中的能量可用$E_{1}$来表示,$E_{1}=E_{0} -E$。

2.1 NES非线性刚度对能量传递的影响

非线性刚度是系统发生靶向能量传递的一个必要条件,为研究其影响能量传递的机理,首先对式(3)这样的保守系统,选取参数如表1所示,选取初始条件$x_{0}=x_{1} =x_{2} =0, \dot{{x}}_{1} =\dot{{x}}_{2} =0,\dot{{x}}_{0}=0.5$,对系统之间的能量转换过程进行数值仿真,得到主结构和NES之间的能量转化曲线,如图3所示。

表1 参数取值表

图3

图3 保守系统能量传递图

由图3可得线性主结构和非线性结构振子在保守系统(线性阻尼为零)情况下的能量转化关系。由图3(a)和图3(b)可知,当连接主结构与NES的弹簧刚度$k_{1}$较小时,主结构与NES之间不发生能量传递;由图3(a)和图3(d)可知,能量可以在两耦合振子之间完全传递,在0和最大值之间变化,并且,在初始条件相同的情况下,增大非线性刚度$k_{1}$,主结构和非线性振子之间传递的能量减小;由图3(a)和图3(c)可知,当NES内部弹簧刚度$k_{2}$增大时,主结构和非线性振子之间传递的能量也会减小。鉴于此,为了使NES产生较好的吸振性能,非线性刚度$ k_{1}$和$k_{2}$须在合适范围内选取。

2.2 NES阻尼对能量传递的影响

NES是一种利用靶向能量传递来实现振动抑制的非线性吸振器。靶向能量传递即能量的定向传递,主结构中的能量通过非线性刚度单向传递给非线性振子,并通过非线性振子中的阻尼将能量耗散掉,从而达到对主结构的振动抑制效果。

考虑非保守系统,当主结构阻尼$C_{0}$为0时,研究NES中阻尼对能量耗散的影响,选取参数如表2所示。

表2 参数取值表

选取初始条件$x_{0} =x_{1} =x_{2} =0, \ \ \dot{{x}}_{1} =\dot{{x}}_{2} =0,$$\dot{{x}}_{0} =0.5$,运用数值方法对式(3)所示系统进行分析,能量耗散情况如图4所示。

图4

图4 非保守系统能量传递图

由图4(a)可知,当阻尼较小时,主结构能量传递给NES之后又返还到主结构,这不是严格意义上的靶向能量传递,故阻尼$C_{2}$取值不可过小;结合图4(b)、图4(c),当阻尼取值0.01到0.02左右时,发生靶向能量传递现象,主结构能量迅速减小,并且几乎不会再由NES返还给主结构,从而达到振动抑制的效果;由图4(d)可知,当阻尼取值过大时,系统不发生靶向能量传递,主结构能量缓慢减小,达不到减振效果。

2.3 NES质量对能量传递的影响

对于单自由度NES,其非线性振子质量一般为主结构质量的10%,可以达到较好的吸振效果。本文研究的新型NES为二自由度,其一级和二级振子质量为主结构的5%,目的是消除附加质量不同对吸振效果的影响。本章分析NES总质量占主结构质量比以及一二级振子分别占主结构质量比对能量传递的影响。

首先考虑NES总质量对吸振性能的影响,对于式(3)所表示的保守系统,选取参数如表3所示,对系统能量传递进行数值模拟。在刚度和阻尼都不变的情况下,选取6组参数如表3所示,$ e_{1}$表示一级振子占主结构质量比,$e_{2}$表示二级振子占主结构质量比。系统的初始能量全部来自于主结构的动能,主结构的速度取0.5 m/s,对式(3)所示系统进行数值模拟,结果如图5所示。

表3 参数取值表

图5

图5 不同NES质量下系统能量变化曲线

由图5(a)可知,NES总质量比为0.04,此时主结构与NES之间几乎不发生能量传递;由图5(b)$\sim$图5(d)可知,NES总质量比分别为0.06,0.08,0.1,在这三种情况下,系统的能量耗散率都较高,其中当质量比为0.08和0.1时,靶向能量传递的效果尤为明显,可以看见主结构能量迅速下降,在20 s之内主结构能量下降为0 (之后又有少量的返还),而当质量比为0.08时,能量耗散比最高;由图5(e)和图5(f)可知,当NES总质量比逐渐增大,能量传递的效果也在减弱;当NES总质量比达到0.14时,主结构与NES之间几乎不发生能量传递。可见,二自由度NES振子总质量达到主结构的8%$\sim$10%时能够达到较好的能量耗散效果,这个结果与单自由度最佳质量比相近。

本文所研究NES为两自由度,能量在两级振子中传递和耗散,各级振子分别所占质量比也会对吸振效果产生影响。选取NES总质量比为0.08,分析一二级振子质量占比不同对其吸振效果的影响。选取参数如表4所示。

表4 参数取值表

一级振子和二级振子能量分别用$E_{1}$和$E_{2}$来表示。

(6)$E_{1} =\dfrac{1}{2}e_{1} \dot{{x}}_{1}^{2} +\dfrac{1}{4}k_{1} (x_{1} -x_{0} )^{4} $

(7)$E_{2} =\dfrac{1}{2}e_{2} \dot{{x}}_{2}^{2}+\dfrac{k_{2} }{4L_{0}^{2} }(x_{2} -x_{1} )^{4}-\dfrac{k_{2} }{4L_{0}^{4} }(x_{2} -x_{1} )^{6}+ \dfrac{5k_{2} }{64L_{0}^{6} }(x_{2} -x_{1} )^{8} $

选取主结构初速度为0.5 m/s,对式(2)所示非保守系统进行数值模拟,得到主结构、一级振子和二级振子的能量变化曲线,如图6所示。

图6

图6 各级非线性振子不同质量比下能量变化曲线

由图6可得各级非线性振子不同配比下能量耗散情况。系统运行40 s,在NES总质量比为0.08时,各种质量配比方案的能量耗散率均非常高,但是可以看出,当二级振子质量比较大时,能量耗散效果欠佳。

为了更加直观地观察NES总质量比以及各级非线性振子质量配比对能量耗散率的影响,利用MATLAB,将一二级振子质量比从0.01$\sim$0.1进行遍历,观察系统运行40 s,50 s,60 s后能量耗散率情况,其结果如图7所示。

图7

图7 不同NES质量比能量耗散率

由图7(a)可知,当NES总质量比在0.08左右时,系统最快完成能量耗散,仅需40 s左右;运行至50 s到60 s时,能量耗散基本完成,可以看出当NES总质量比在0.08$\sim$0.1时,系统有着良好的吸振效果,能量耗散率可达到95%以上,并且由图7(c)可知二级NES振子质量比不能过大,需小于0.06。

2.4 初始能量对能量传递的影响

在单自由度NES中,由于经过阻尼耗散之后NES中的能量不足以达到靶向能量传递的条件,其不再向主结构返还能量,从而达到了吸振效果。而二自由度的NES具有两级振子,能量从主结构传递到一级振子后又传递给二级振子,并在此过程中耗散。本节对式(2)所示的非保守系统进行数值仿真,研究初始能量对系统振动抑制的影响,并与单自由度NES进行比较。

单自由度NES的运动微分方程为

(8)$\begin{eqnarray} \left. {\begin{array}{l} \ddot{{x}}_{0} +C_{0} \dot{{x}}_{0} +x_{0} +C_{1} (\dot{{x}}_{0} -\dot{{x}}_{1} )+ \\\qquad K_{1} (x_{0} -x_{1} )^{3}=f\sin \tau \\ e\ddot{{x}}_{1} +C_{1} (\dot{{x}}_{1} -\dot{{x}}_{0} )+K_{1} (x_{1} -x_{0} )^{3}=0 \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray} $

该系统中NES的能量耗散比为

(9)$\begin{eqnarray} E_{\rm diss1} =\bigg[C_{1} \int_{0}^{\tau_{0} } (\dot{{x}}_{1} (\tau )-\dot{{x}}_{0} (\tau ))^{2}{\rm d}\tau \bigg]/E_{0} \end{eqnarray} $

二自由度系统中NES的能量耗散比为

(10)$\begin{eqnarray} &&E_{\rm diss2} =\bigg[C_{1} \int_{0}^{\tau_{0} } (\dot{{x}}_{1} (\tau )-\dot{{x}}_{0} (\tau ))^{2}{\rm d}\tau +C_{2} \int_{0}^{\tau_{0} } (\dot{{x}}_{2} (\tau )-\dot{{x}}_{1} (\tau ))^{2}{\rm d}\tau )\bigg]/E_{0} \end{eqnarray} $

式中$E_{0}$为系统的初始能量,假设系统的初始能量全部集中于主结构,NES中的初始能量为0且系统运行$\tau_{0}$后,能量耗散完毕,此时,$E_{\rm diss1}$和$E_{\rm diss2}$分别可以表示两个系统中NES的能量耗散效率。为了消除附加质量对系统的影响,令单自由度NES质量占主结构之比$e$与二自由度NES一二级振子质量占比之和相等,即$e=e_{1}+e_{2}$。表5为二自由度NES系统的参数取值表,为了方便比较,单自由度NES系统的参数均与二自由度NES一级子参数相同。

表5 参数取值表

系统的初始能量全部集中于主结构,假设全部为动能,主结构的速度从0 m/s增长到3 m/s,对式(2)所示非保守系统进行数值模拟,所得结果如图8所示。由图8可知,无论是单自由度还是二自由度NES,其初始能量都需满足一定条件,系统才可以达到能量耗散的效果。本文采用的参数情况下,主结构初始速度在0.5 m/s左右时,两类NES对系统都有着较好的吸振效果。当主结构速度逐渐增大时,两类NES的耗散率均有所下降,但是单自由度NES耗散率下降迅速,而二自由度NES受初始能量的影响较小,当初速度达到3 m/s,其能量耗散率仍然能达到80%左右。

图8

图8 不同初始能量下单自由度和二自由度NES能量耗散率

3 结论

建立了包含一种新型二自由度NES的机械振动系统的动力学模型,运用数值模拟,对系统发生靶向能量传递现象进行研究,并与单自由度的NES进行比较,得出如下结论:

(1)当一级非线性振子刚度过大或过小时,主结构与NES之间不能发生良好的能量传递现象。NES中阻尼过小时,NES中的能量有返还现象,而当阻尼过大,系统不发生靶向能量传递。

(2)当两级非线性振子总质量比为主结构的 8%$\sim$10%时,系统才能发生靶向能量传递现象,并且二级非线性振子质量比不能过大,需不超过6%。

(3)新型二自由度NES相比于单自由度NES,能量吸收效率更高。

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