近些年来,国内各出版社启动了引进国外著名力学教材的工作,据不完全统计,具体引进情况可参考表1。

随着高等教育的全面改革,越来越多的高校开展了双语教学,引进的大多是经过考验的国外优秀教材,这些成功教材一般来说都比较全面地反映了学科发展的最前沿,具有内容更新快,教学理念、方法先进,教辅资源丰富等优点。但是,客观现实也表明,引进版教材本身由西方的教学环境而来,与我国的教学方式有比较大的差异。

理论力学作为工程学科的基础理论之一,在工程教育中占有重要的地位。我国理论力学教材及资源建设相对滞后于科技的发展,且尚未形成具有标志性水平的新的力学教材体系。近年来,越来越多的高校引进了经过考验的国外优秀教材。尽管这些引进教材优点突出,但教材与我国的理论力学教学有比较大的差异。为了更好地满足中国现代高等工程教育的需要,有必要研究、借鉴、吸收国外相关教材及其资源的建设经验。

这里针对我国工科理论力学教学内容,选择国外有代表性的工科院校,通过网上资源分析、网络交流、教学座谈与讨论等多种形式,对国外相关课程进行了调研和分析,研究网络课程的特点及配套资源,涉及教学基本内容、组成体系、教学软件、软件类型、网络资源(包括网上辅助教学资料、虚拟实验室)。

调研发现,国外相关课程在课程教学内容方面设计较为合理,学时较长。能够较好地利用矢量矩阵等数学工具讲授理论力学内容,分析解决力学问题。考查形式多样,能够反映学生平时学习效果。鼓励小组讨论,提高团队合作意识解决工程问题。教学方式灵活,注重利用计算机软件解决力学问题。注重知识、能力、素质协调发展,学生的自主选择余地大,课外学习时间长。为本科生参与高水平研究项目提供机会。这些都是今后的理论教学改革实践中值得借鉴的地方。

理论力学是学生首先接触的一门力学课程,它不仅为学生学习材料力学、结构力学、弹性力学、振动力学、流体力学等后续课程打下基础,更有助于提高学生定性和定量分析实际问题的能力。

中文"理论力学"这个名称是俄文的直译。西方国家对应的名称有很多种,大致分为两类。一类是Engineering Mechanics (工程力学),另一类是Statics and Dynamics (静力学与动力学)。在"工程力学"中,有些还包括部分材料力学内容。静力学和动力学有时分成两门课,在动力学中包含运动学内容,在静力学中包含材料力学内容。

"工程力学"是美国高校中机械、土木、航空、航天等工程专业的重要基础课,包括静力学和动力学两部分。静力学的主要内容是质点和刚体的平衡条件及其应用。主要采用矢量方法,也简单介绍以虚功原理为代表的能量方法。

静力学的教材在美国也是汗牛充栋。本报告选取了有代表性的几本进行比较研究,包括多次重版而且被广泛采用的,如Meriam JL的 Engineering Mechanics$:$ Statics (6th ed.),Beer FP的Vector Mechanics for Engineers$:$ Statics (9th ed.),Hibbeler RC的Engineering Mechanics: Statics (12th ed.);有中译本或影印本而且在国内有一定影响的,如Ginsberg JH的Statics (2nd ed.),Pytel A的Engineering Mechanics$:$ Statics (2nd ed.),以及特色比较突出的,如Soutas-Little RW的Engineering Mechanics$:$ Statics,Ruina A 的Introduction to Statics and Dynamics等。

2.2.1 主要内容及其教学处理

美国静力学教材的主要内容包括力学基本概念、力系的合力和平衡、结构和机构的受力分析、重心形心和惯性矩、内力分析、摩擦,以及虚功方法。还有相应的矢量运算等数学基础知识。

从教学体系上看,主流的教学体系大体是按照上述顺序展开。Soutas-Little RW的Engineering Mechanics: Statics对上述顺序做了调整,把重心和形心的内容置于平衡问题之前,这样突出了静力学力系简化和平衡的两个不同主题。Ruina A的Introduction to Statics and Dynamics建立了完全不同的教学体系,把力系简化和重心形心作为矢量计算的一部分紧随在引论之后,接着专章讲授受力图包括摩擦,然后按研究对象展开,依次为单刚体、桁架和框架、流体和变形固体内力。

这些教材都以导言部分作为全书开场。内容包括力学的学科特性、简要发展历史,以及时间、空间、质量、力、质点、刚体等基本概念,还包括牛顿运动定律和万有引力定律,单位制,数值计算误差,解题的基本思路。

力系的合力和平衡是静力学的核心内容。一种处理方式是分别按平面问题和空间问题依次研究力系及其平衡。另一种处理方式是依次以质点和刚体为对象而研究汇交力系和一般力系,在研究平衡特别是刚体时分别考虑平面和空间情形,而计算合力时统一处理;或者基本上不区分平面和空间问题。

受力图是静力学分析的基础,而受力图的绘制必须掌握约束反力的特性。美国教材通常把受力图作为平衡问题特别是刚体平衡问题的前提,并归入相应的章节。各书均以图形和列表说明各种具体约束的反力特性,文字解释相对较少。约束反力的分析都区分平面和空间问题。

关于结构和机构平衡,主要是桁架,包括平面桁架和空间桁架,方法是节点法和截面法,也包括框架和机构。

重心和形心的内容各书也比较类似,都是作为分布力的例子。具体包括质心的概念,线、面积和体积的形心,复合体,近似方法,以及Pappus--Guldinus定理,并应用于分布载荷和流体压力。

摩擦也是静力学中的重点内容。通常包括摩擦的概念如干摩擦定律、摩擦系数、摩擦角和滚动摩阻,带摩擦问题的分析方法,以及带摩擦的具体机构如楔、螺旋、经向轴承、止推轴承等。

美国静力学教材包含虚功原理的内容。共同的核心内容有虚功、虚功原理、势能、有势力场中的平衡及其稳定性。多数教材在定义虚功之前先叙述力和力偶的元功和功,有些还介绍机械效率;也有教材则直接定义虚功。自由度的概念被引入,有很细致的解释。有的教材补充了刚体运动的知识,以便用运动分析的方法建立虚位移之间的关系。有些教材只是将虚位移用广义坐标表示等同于变分运算。用势能极值确定平衡的稳定性只给出结论,没有证明。多数教材的稳定性讨论局限于单自由度系统,也有些涉及两自由度系统。这些教材都没有引入理想约束的概念。

这些静力学教材包括必要的数学基础知识,主要是矢量的运算和方程求解,包括矢量的分量表示、矢量和、矢量的点积、矢量的叉积等,有的还专门讨论矢量方程的解法。矢量之所以受到特别重视,主要是因为它不仅是数学求解的工具,更是数学建模的工具。矢量不仅应用于相关理论推导,而且也用于具体的解题计算,特别是空间问题。有大量用矢量求解的例题。例如,求解平衡问题不是采用国内教材常用的平衡方程的投影形式,而是计算主矢和主矩后令其为零求解。有些教材几乎所有力系简化和平衡的问题都是用矢量方法求解。还有些教材中包括方程求解的内容,具体有线性方程组的高斯消去法,非线性方程近似求解的牛顿法和切线法。

2.2.2 教学理念与教材特点

尽管不同教材的教学内容和处理方式有差别,但这些教材其实都有共同或接近的理念。那就是Timoshenko的工程力学教学理念,强调基本原理和方法,既要揭示基本观念及其内在关联,又要展示这些观念的广泛应用。有些教材在前言中强调,学习工程力学的主要目的是发展预测力和运动的能力,构建有意义的数学模型往往比求解更重要,研究问题是发展理论的目的,而不是说明理论的例子。他们认为,理论是真实世界的近似,而非真实世界是理论的近似。

尽管这些静力学教材的作者都强调重视基本原理,但与国内的主流教材相比,这些教材非常重视应用。不仅有基本的结构元件如杆、梁、缆索和典型的机构如螺旋、斜面等的讨论,而且大量的例题和系统都有实际的生活或工程背景。注重应用也意味着不追求理论的系统和严格。例如,关于力偶,多数教材都没有力偶等效与合成的论证。再例如,所有讨论力的功的教材都没有区分元功和功的微分,计算有限路程下的功时也没有考虑积分是否与路径相关。从应用的角度,研究的对象应该具体。因此,教材通常不提"约束"的概念,估计是因为该词比较抽象,普遍采用的是更直观更有工程意味的"支承"和"连接"。也不抽象地讨论刚体系的平衡,而是具体的桁架、框架和机构的平衡。

这些静力学教材的突出特点是非常注意对学生学习的引导和帮助。多次再版的教材在这方面尤为出色。每章前面都有一张与该章科学内容相关的照片,激发学生的学习兴趣。每章开始时有该章的纲要和导言,概述该章内容,以及与前面其他章的关系,或者有本章目标突出该章的核心内容。关键概念阐述部分给出明确提示,要点的总结和重要公式用不同背景颜色醒目提示。每章结束时有复习总结,习题经过精心组织。例如,每节的习题分为导引性习题和代表性习题两部分,前者比较简单,帮助学生建立信心,后者多数具有平均难度,难度高的题目做出了标示;每章后面还有复习题,包括需要使用计算机的习题。还附有对学生参加美国工程师在与公众健康、安全和福利直接相关行业的执业资格考试"工程基本测试"的辅导材料或题目。这些教材每次修订再版时都有相当比例的习题更换。对学生的辅导材料包括大量的例题和习题是这些书篇幅庞大的主要原因。

数值计算及其计算机的应用也是这些教材值得注意的特点。尽管力学的基本原理没有变化,但力学在工程中应用的方式随着计算机技术的发展有显著变化,因此在教学中应当反映这种变化。各种教材以不同的方式回应计算机技术的发展。畅销教材都增加了需要计算机求解的内容。供学生使用的光盘中有方程求解的软件,可以避免繁琐的求解过程。

通常认为北美的"工程力学(包括静力学和动力学)"即是我国的"理论力学"课程,因此很难理解北美的静力学内容远比我们的理论力学中静力学部分丰富,而运动学和动力学的内容反而比较少。事实上,北美的"工程力学"并不完全等同我国的"理论力学",因为机械、土木、航天、力学等专业的学生除学习"工程力学"外,还学习"中级动力学",扩充和深化"工程力学"中的运动学和动力学内容。北美的"工程力学"和"中级动力学"的内容,总体上要与我国力学专业的"理论力学"和"高等动力学"的内容相当。

Ginsberg的《高等工程动力学》(Ginsberg JH. Advanced Engineering Dynamics (2nd ed). Cambridge Univ. Perss, 1998: 462)是内容比较传统、适用性强的教材。全书共分8章。第1章复习物理概念和数学工具。随后3章是关于运动学,先是点的运动,主要是引入各种坐标,包括自然坐标、直角坐标、正交曲线坐标, 还有联合运动学描述;接着是相对运动,包括转动变换、有限转动、角速度、角加速度、用动参考系计算速度和加速度、相对运动的确定;最后是刚体运动学,包括一般方程、Euler角、连接刚体和滚动。其余4章是动力学。第5章为牛顿刚体动力学,包括动量、动量矩和动能概念、动量矩计算、惯性性质、动量矩变化率、运动方程、平面运动、冲量矩原理、功能原理和刚体系统;第6章为分析力学导论,包括广义坐标和自由度、完整和非完整约束、虚位移、广义力、Hamilton原理、拉氏方程;第7章继续讨论分析力学,包括受约束广义坐标、状态空间表述、Hamilton正则方程、初积分、准坐标和Gibbs-Appell方程和线性化;最后一章是陀螺效应,包括自由运动、自旋陀螺和用于惯性导航的陀螺仪。每章有参考文献和习题,附有半数习题的答案。该书的特点是取材精练,内容成熟,讲解通俗,例题丰富。部分内容比较有特色,例如,首章包括对运动学和动力学做出重要贡献学者的小传,对受约束刚体的运动学分析,非完整系统的状态空间描述,Gibbs--Appell方程在刚体动力学中的应用。

Moon 的《应用动力学》(Moon FC. Applied Dynalnics. John Wiley & Sons, 1998: 492) 是取材新颖、 特色鲜明的教材。该书共分9章。第1章介绍动力现象和动力失效。首先说明牛顿《原理》之后的"新"动力学,包括新发现——混沌,新建模方法——分析力学,新应用——多体问题和机电学,新计算方法——软件和平台,新实验工具——传感测量、信号处理和系统识别;然后说明动态失效问题,包括疲劳、动力失稳和动态噪声,并简述避免动态失效的方法;接着叙述动力学的矢量动力学的基本原理,并应用于摆、线性受迫振动、陀螺运动、中心力场运动;随后列举工程问题中的耦合力场和复杂动力学现象,耦合力场包括流体力学和动力学、机电动力学、控制系统、轨道动力学、生物动力学、热和能量系统中的动力学,复杂动力学现象包括材料非线性、几何非线性、非保守力、多体系统和柔性体大范围运动;最后简要讨论动力学与设计,以及动力学和引力的现代物理学。第2章是动力学的基本原理,包括运动及其约束的描述、平衡与虚功、质点系动量和能量原理、刚体角动量和欧拉方程、D'Alembert原理和Jourdain原理。第3章是运动学,包括运动学概述、角速度及其矩阵表示、相对运动、约束和Jacobi矩阵、有限运动、一般刚体运动的变换矩阵和机构运动分析。第4章是分析动力学,包括约束和自由度、D'Alembert原理、拉氏方程、虚功率方法(Jourdain和Kane方法)、处理非完整约束的拉氏乘子法、以及Hamilton变分原理。第5章是刚体动力学,包括刚体动力学问题和方法概述、刚体的运动学、牛顿--欧拉运动方程、刚体的拉氏方程、刚体的虚功率原理和非完整刚体运动问题。第6章是机器人学和多体动力学导论,包括概述、图学理论和关联矩阵、Jacobi矩阵、运动方程、逆问题和碰撞问题。第7章是轨道和卫星动力学,包括中心力场动力学、两体问题、刚体卫星动力学和绳系卫星。第8章为机电系统动力学,包括概述、电磁力、电磁物性、电磁学的动态原理、电磁系统的拉氏方程和控制动力学。第9 章为非线性和混沌动力学的导论,包括概述、非线性共振、无阻尼摆的象空间运动、自激振动和极限环、Poincare映射、刚体应用中的复杂动力学。每章有习题,个别习题附有答案。全书附有参考文献。该书最大特点是从新的视角整合动力学,为学生今后深入学习多体系统动力学、非线性动力学、机器人学和航天器动力学等奠定了坚实的基础。

Bhat和Dukkipati的《高等动力学》 (Bhat RB, Dukkipati RV. Advaneed Dynamies. AIPha Seienee, 2001: 395)以刚体动力学和分析力学为主,也包括振动理论。前3章是动力学和分析动力学的基本内容,相当于工程力学的动力学部分。第4章用不同参考系描述运动,第5章是轨道运动,除基本中心力场运动外还讨论了扰动椭圆轨道。第6章是拉氏方程,包括冲击运动的情形和初积分。第7章是惯性矩和惯性积。第8章是刚体动力学,包括刚体运动学、刚体动量矩和动能的计算、欧拉角、刚体运动方程、自旋陀螺运动。第9章是变分原理,除Hamilton原理外还引入了Hamilton方程。第10章是正则变换和Hamilton-Jacobi理论。第11章为动力学系统振动,包括单自由度和有限多自由度系统的自由和受迫振动。第12章为动态响应的数值计算,包括有些差分法、Runge-Kutta 法、Houbolt法、Wilson-$\theta$法、Nermark-$\beta$法、Park刚性稳定法,还通过例子讨论了非线性系统。每章有总结、习题和参考书目。该书均为很成熟而且比较容易理解的内容,作者对教学需要的考虑也比较细致。因此,使用该书的教学难度应该比较小。

Silva的《中级动力学》(Silva MRM Crespo da. Inerme diate Dynamies. McGraw Hill, 2004: 567)是一本强调数值方法的教材。第1章是动力学的基本概念和定律,也包括线性化和稳定性分析。第2章是点的运动学和动力学。第3章是片面机构运动分析,包括4杆机构、Geneva 轮机构、曲柄滑块机构和止转棒轭机构。第4章为质点系动力学,包括质心运动定理、动量矩变化定理、牛顿定律和方程的积分形势、两体问题及其数值解、受限制三体问题。第5章是平面运动刚体动力学,包括刚体自由度、刚体位移的类型、平面刚体运动方程、刚体的滚动、刚体动力学的功能方法和机构中的力。第6章是刚体一般运动动力学的导论,包括并矢、刚体动力学的基本矢量方程、刚体一般运动的转动运动学、转动的欧拉方程、动能和功能方法、自旋稳定性、动平衡和对称陀螺、方向角和角速度。第7 章是分析力学导论,包括基本概念、D'Almbert原理、Huamilton方程、拉氏方程及其初积分、有约束时的拉氏方程。第8章是动态系统的振动,包括线性系统对正弦激励的响应、多自由度线性系统、吸振器分析、Foucault摆分析。每章有习题,部分习题有答案。最后附有深入学习的参考书目。该书所涉及内容比较传统,也比较初等,仅是比动力学的初级课程稍深入,但该书的最大特点是数值仿真和动画显示贯穿始终的应用,所用MATLAB程序在随书的光盘中。该书的另一个特点是注重与工程的联系,对多种典型机构作了细致的讨论,还介绍了航天器受的引力矩及自旋镇定卫星。

Howland的《中级动力学》(Howland RA. Interme diate Dynamies. Spinger, 2006: 540)特别强调线性代数的应用。该书第1部分用了近1/3的篇幅叙述线性代数,包括矢量空间、线性变换和方阵。第2部分是三维刚体运动学和动力学,运动学包括刚体的运动、欧拉角、运动坐标系、机械运动学;动力学包括质点和质点系的动力学、刚体运动方程、能量和动量积分。第3部分是分析动力学,包括约束的运动学分析、完整和非完整系统的拉氏方程、初积分、Hamilton动力学。每部分有引言和结束语,每章有小结,但该书没有习题。该书行文严谨,特别是在刚体动力学中,系统地应用线性代数。每部分的引言对从整体上把握该部分内容大有助益。

上述教材反映出北美高校"中级动力学"课程的核心内容是刚体动力学和分析力学。有些教材也包含振动和其他内容。这些教材可供我们在"理论力学"和"高等动力学"的教材建设和教学时参考。

我们对美国有代表性的12所大学理论力学网络课程进行网上调查。这些大学都是综合排名前十位或者工科排名前十位的学校。此外还对澳大利亚的部分大学也进行了调研。调查主要针对相当于我国工科理论力学的课程展开,主要研究涉及网络课程的特点及配套资源,研究的内容有教学基本内容、组成体系、教学软件、软件类型、优缺点、网络资源等。

在所有的12所大学中,麻省理工学院或许是开创开放学习风气的先锋。早在1999年他们便开发了MIT Open Course Ware (MIT OCW)系统,把课程资源在网上完全公开,希望能在21世纪开拓一个远程e学习的环境。目前他们网上已有将近2000门课程的资源任公众自由浏览使用。相对于麻省理工学院的开放课程能够提供比较详细的资料,其他大学的课程一般很少对外开放,或者只是给出一些简单的信息,下面我们主要从麻省理工学院理论力学相关课程进行分析。

2.4.1 教学内容

国外的12所大学课程中,静力学作为最基本的力学知识,是大学阶段最先讲授的力学内容,主要涉及平衡力系和桁架等。运动学作为动力学课程的一部分进行讲授。动力学单独设课,讲述经典动力学内容和分析力学基础内容。众所周知,理论力学的内容是建立在高等数学、大学物理的基础上,为材料力学、多体系统动力学、弹性力学、流体力学等力学专业课程或机械原理、机械振动、结构力学等工科各相关专业课提供基础。因此,国外大学尽可能利用学生已经建立的力学概念和已经掌握的高等数学工具,避免不必要的重复。同时也不忽视准确的数学力学描述和严密的逻辑论证过程,以提高学生的理论水平。

国外课程注重引入科学研究前沿的内容,并给出简单的力学解释。例如,在讲授动量定理时,把太空行走(图1)作为典型工程实例引入,并最终给出火箭推进的动力学方程,在讲授刚体定轴转动时,引入汽车中调速轮装置等。在讲授静力学力系简化时,涉及到民航客机(图2)、战斗机(图3)、航天飞机等飞行器受力简化的问题。虽然这些简化是非常简单理想化的,但这种实例的引入是学生先修课程没有遇到的,会引起学生浓厚的学习兴趣,提高学生学习主动性和积极性,还有助于学生体会科学问题由简单到复杂的研究过程。

2.4.2 课程考查形式

国外课程普遍包含期中考试和期末考试,期中考试占的分量大致与期末考试持平,甚至略为高出。这样不仅能够使学生及时总结回顾所学内容,而且对于已学知识的巩固更为未学知识的学习打好基础。同时把阶段性学习的信息反馈给教师,更利于教师调整教学进度。有些考试允许学生带一页写有重要公式(或其他内容)的纸进考场,是一种有限开卷的考试,这样有利于鼓励学生系统地归纳总结学到的知识,更有助于指导学生从记忆知识变为运用知识。

在作业方面,国外课程普遍鼓励学生分组讨论合作完成,再由自己总结写出独立的作业,但是必须承诺是自己独立完成最后作业,否则会影响到自己的信誉度,甚至纳入到学术道德规范考查的范围内,后果严重。这样的小组讨论,不仅能及时解决学生学习中的疑难,而且有利于调动每个同学的积极性和主动性,提高学生的学习兴趣。另外,工程问题的解决需要团队合作,不可能由一个人完成全部工作。团队意识的早期建立有利于同学们各尽所能,精诚合作,对以后工作中完成实际工程问题大有裨益。

国外动力学课程中一般都有课程设计,一般是对于作业的再讨论和工程中动力学问题的计算机模拟。这个设计的分析方法可以是理论性的、纯实验性的或者是数值模拟性的。例如,学生可以设计一个关于基本物理量测定的实验,这个实验必须是基于这门课程所学的知识,例如动量矩守恒的验证实验,重现牛顿和伽利略做的经典实验,物理概念的论证和复合摆运动的研究。还可以是作业问题的数值重现,或者对于一个复杂物理问题的数值模拟。还有部分涉及教师参与的科研项目。国外的学生有机会在本科阶段接触到科学研究,让学生了解如何综合应用力学原理和其他知识解决实际问题的全过程,培养学生科学素养,激发学生的学习热情,这对其以后的发展是很有好处的。当然,对于本科生来说,这样的课程设计会有一定的难度,所以在课程设计中学生也被要求分组讨论,最多不能超过4人一组,要求协作完成,并在遇到难以解决的问题时请求老师指导,讨论完成后各自独立完成设计报告。老师最后根据学生提交的设计报告,从内容描述、实验的设计和执行、实验结果的分析总结、结论的正确性等方面综合打分。

这样的多种考查形式,不仅能全面反映学生学习水平,综合评定学习效果,还能锻炼学生独立思考、团队意识和发现工程问题、分析问题和解决问题的能力,能够体现素质教育的特点。

2.4.3 教学形式

在国外课程网上给出的教学视频中,主讲教师除了在课上讲授课程内容外,为活跃课堂气氛,还会在课上做一些趣味性的验证实验,调动大家的主动性和积极性,使学生在轻松的环境中学习,比如图4是主讲教师在课上为学生做演示实验：机械能守恒实验和单摆周期与摆锤质量无关实验。

在教师讲课的同时,每周都要安排一次讨论课(Recitation),要求学生必须参加并将考勤成绩计入总成绩。在讨论课上,学生也是分组讨论,一般3人一组。讨论的内容可以涉及教师课堂讲授、教科书、作业、课程设计、工程实例等一切与课程相关的内容。讨论课上有教师答疑指导,及时解决学生的疑难,而且同学也可以直接相互讨论,交流学习经验和体会。这种讨论课不仅促进了学生的学习,及时解决了学生的困惑,还将教学效果及时反馈给教师,有利于教师调整教学进度,提高教学效果。

2.4.4 计算机软件的使用

计算机软件的应用在力学问题的分析中有不可替代的作用。在理论力学教学中应用计算机软件,其目的是培养分析表达能力和工程计算的概念。国外课程选用了MATLAB, MAPLE, MATHEMATICA等数学软件,尤其MATLAB软件,被称为是演算纸式的计算机语言,其自身包含大量的数学计算语句,简单易学,用其分析解决理论力学问题时很容易掌握,能给学生以更直观的效果。这样对学生不能求得解析解的工程问题,可以在数值解的基础上,应用计算机绘制各种复杂情况的运动图,不仅正确美观,而且更能反映实际的力学现象,有助于提高学生的学习积极性。

国外大学在动力学课程讲授的同时,安排一定的学时穿插讲授MATLAB等软件,包括处理力学问题时用到的命令、语句和编程等。在各种运动学问题、动力学问题求得解析解后,教师以布置作业的形式,侧重点在如何使用MATLAB对其进行分析,要求学生用计算机绘出各种图线,如运动轨迹、能量的变化、振动曲线等。例如图5所示,对于半圆盘的小振动问题,要求学生写出运动微分方程,并在给定的初始条件$\theta_0$下分析其运动,然后再分析初始角度$\theta _0$较小和较大两种情况下$\theta(t)$的轨迹图,最后给出答案。

在初始角度较小的情况下,该半圆盘的运动微分方程是可以线性化的,这时用线性化的方程与用Runge-Kutta数值方法算出的结果非常吻合,如图6所示。

在初始角度较大的情况下,该半圆盘的运动微分方程不能线性化,这时再用线性化的方程与用Runge-Kutta数值方法算出的结果相比,要稍微慢一些,这主要是因为当转动角度变大的时候,运动微分方程中的非线性项对其运动起到了决定性的作用。如图7所示。

在动力学中还包含了一些实验。如刚体动力学的实验,一个是关于通过质心平面对称的摆盘,另外一个是结构稍微复杂点的摆盘。让两个摆盘进行小角度摆动和大角度摆动,通过仪器记录下两个摆盘重心和初始地面接触点的振动,然后测出重心的速度和加速度,初始力矩,固有频率,与真实值进行比较,如图8所示。填写实验报告,完成实验。该实验摆盘的运动和前述MATLAB课程讲述的例子类似,这样不仅是从内容上举一反三,而且同样一个问题学生经历了理论分析、数值模拟、实验测试的综合研究手段,而这三种研究方法恰恰是现在研究科学问题最主要的手段,这不仅能够对学生综合素质的提高大有裨益,还为培养学生独立思考、独立进行科学研究的能力打下了坚实的基础。