"一张纸最多能对折多少次"是大家讨论得比较多的一个话题,网络上有很多种说法,有说7次的,有说10次的,甚至有说16次的。还有更夸张的说法,如果一张A4纸对折51次的话,其厚度将超越地球与太阳之间的距离^[1],其原因是因为每对折一次以后纸张的厚度都会呈指数级增加。对折51次的说法显然违背常识,因为在每次对折时纸张厚度固然增加,但是面积也在以指数级减小。事实上在对折若干次以后,一方面纸张会变得很厚,刚度急剧增加从而使对折变得困难;另一方面纸张厚度急剧增加甚至会超过纸张宽度,失去了对折的几何意义,所以不管从哪个角度来看,纸张都不能无限次对折。那么一张纸到底能对折多少次呢?很多电视台也专门做过节目来讨论这个问题,比如"好奇实验室"栏目专门做了一期节目"一张纸对折不可能超过九次?"^[2],测试结果显示A4打印纸最多只能对折7次,四开报纸最多只能对折8次;四川卫视"万万没想到"栏目2016年也做了一期节目"纸不能对折8次?"^[3],测试结果表明A4打印纸无法对折7次,报纸无法对折8 次,节目中专家给出的原因是因为随着每次对折纸张的面积减半,厚度加倍。所有这些栏目都是从试验角度去验证或者打破现存的一些说法,几乎没有理论方面的分析。事实上,不仅在各种专题节目中,即使是在专业的学术期刊数据库中也鲜见关于纸张对折问题的理论分析。纸张对折问题显然是一个力学问题,或者说的更具体些,是一个材料力学问题。在平时的力学课程教学中,也常有学生来询问这个问题。本文中,笔者尝试就该问题从力学角度进行一个较深入的分析,给纸张的最大折叠次数提供一个理论解答。

要从理论上研究纸张对折问题,首先需要将该问题转化为力学模型。考虑一个一般情形下的折纸动作,如图1所示。该操作中,各手指协同作用,纸张的受力是比较复杂的。但是为了简单起见,我们可以将两个大拇指同时下压所施加的载荷简单理解成一个集中载荷,将两根食指对纸面的支撑理解为两个支点。这样,可以简单地将纸张对折模型简化为集中力载荷下的矩形截面简支梁的三点弯曲模型,如图2所示。因为折叠一张纸时,为了使得折叠次数最多,总是从长边开始的,因此纸张的长度对应于简化模型中梁的长度$l$,纸张的宽度和厚度对应于梁的截面宽度和厚度,而纸张的对折变形对应于该简支梁在正中位置的集中力载荷下的三点弯曲变形。我们通过考察这样一个简单的模型来讨论纸张是否能够被对折的情况。

由材料力学的知识可知^[4-5],简支梁在集中力载荷作用下会发生弯曲变形。度量变形的两个基本量,一个是梁的任一横截面在垂直于$x$方向的线位移$w$,称之为该截面的挠度;另一个为梁的任一横截面相对初始位置的角位移$\theta$,称之为该截面的转角。梁变形后的轴线称之为挠曲线。在梁正中位置的集中力载荷$F$作用下,挠曲线方程为

式中$E$为梁的杨氏弹性模量,$I$为梁横截面的惯性矩,$w$即为该点的挠度。

最大挠度发生在集中力作用点$x = l / 2$ 处,此时$w_{\max } = \dfrac{Fl^3}{48EI}$。考虑到梁上任意一点横截面的转角的正切对应的其实是挠曲线上该点的切线斜率,亦即挠曲线相对于坐标$x$的一阶导数${w}'$,于是得到载荷左边部分梁上任意点的横截面转角表达式为

梁的端点截面对应的转角$\theta _A = \theta _B = \dfrac{Fl^2}{16EI}$。

考察实际的纸张弯折情况。如果说一张纸被对折的话,那么纸张端点横截面的转角$\theta_A $应该大于45° (理想情况为90°)。否则的话不能视为被对折,只能说是被掰弯。我们取最宽松的对折条件45°,也就是说取$\theta _A =45^{\circ}$,代入式(2)中,当$x=0$时对应端点$A$,即得到$F = \dfrac{16EI}{l^2}$,代入$w_{\max } = \dfrac{Fl^3}{48EI}$,得到对应的最大挠度为$w_{\max } = l /3$,这样我们就得到了以挠度表示的纸张对折条件。即是,纸张在对折过程中,如果其最大挠度大于纸张长度的1/3,则视为成功对折;反之如果其最大挠度小于纸张长度的1/3,则未被成功对折。

我们取两种典型的常见纸张进行研究,第一种为普通的A4打印纸,第二种为常见的四开报纸的一半即八开报纸。由上述分析可知,纸张的两个核心参数分别是杨氏弹性模量和横截面惯性矩。对于纸张的弹性模量来说,可公开查阅的参数非常少见,并且因为纸质的不同,各种纸张的模量也有很大差别,我们采用拉伸试验来得到两种纸张材料的弹性模量。对于横截面惯性矩来说,它是垂直于长边的横截面的几何参数的函数,与纸的短边宽度和纸张厚度有关。这里面核心的参数是纸张的厚度,我们采用螺旋测微器多次测量取平均值来得到。

有了纸张参数以后,我们从两个方面来讨论纸张的最大折叠次数问题,一个是在常规手指作用力下每次对折时纸张的最大形变;另一个是将纸张对折$n$次需要多大载荷。我们将其分别简称为"对折形变问题"和"对折载荷问题"。

针对两种不同类型的纸张,我们用螺旋测微器测量其厚度。考虑到工艺因素,纸张在不同位置的厚度有所不同,我们对每种纸张材料选取10个不同位置进行测量,取测量结果的平均值来代表其厚度。两种纸张材料的测量结果见表1,我们分别取其平均值0.0946mm和0.0585mm作为两种纸张的厚度值。

两种纸张材料的杨氏弹性模量由单轴拉伸试验测定。每种纸张我们准备了三个试样,通过拉伸过程中的应力--应变曲线得到其弹性模量值。

在计算拉伸应力时,用到了上面测得的厚度值来计算试样的横截面积。两种纸张材料在拉伸过程中的应力--应变曲线如图3所示。由此得到各自的弹性模量值列于表2中,我们分别用其平均值2.94GPa和5.36GPa 和作为两种纸张材质的弹性模量值。

对折形变问题为考虑常规手指作用力下一张纸每次对折时的最大形变量,亦即最大挠度。手指的指压力对应于三点弯曲模型中的集中力$F$。通过将大拇指按压在体重秤上可以简单测得普通人的指压力当量约为9.5kg (有个体差别),取整的情况下计100 N。考虑到在折纸时是两只大拇指同时用力,因此我们取集中力$F$值为200N。

考虑任意一张长方形纸,其杨氏模量为$E$,初始长边长度为$l$,初始短边长度为$b$,厚度为$h$,垂直于长边的截面惯性矩$I = bh^3 / 12$。从该公式来看,每对折一次后,纸张厚度加倍,如果纸张宽度不变,则截面惯性矩变为对折前的8倍。但这个结果是基于截面共同受力的情况下得到的。事实上,纸张对折后,两层截面是分开的,它们并不是一个整体,因此需要进行等效处理。在有折痕的一边,两层截面被约束在一起,共同发生变形,可以近似视为一个截面,其惯性矩是折叠前的8倍;但是在开口的一边,两个截面相互分开,缺少约束,界面之间发生滑移,不能视为共同受力,因此整体惯性矩远远小于折叠前的8倍,我们取两个截面惯性矩的叠加,认为开口端截面的惯性矩是折叠前的2倍。然后再将二者进行平均,得到纸张在对折后,单位宽度下的截面惯性矩约为对折前的5倍。

考察我们研究的两种纸张,其厚度此前已经得到。初始的长宽分别为：A4纸长297mm, 宽210mm;八开报纸长389mm,宽273mm。考虑到纸张对折总是从长边开始,那么对折以后,对折前的短边将会变成当前的长边,因此长边和短边总是在交替发生变化,这样每次对折时的截面惯性矩需要重新计算。表3和表4列出了两种纸张在常规手指压力作用下经过数次对折后的各项参数,其中最大弯折挠度$w_{\max} = {Fl^3}/({48EI})$。

从表中所列结果来看,不论是A4打印纸还是报纸,在开始的几次对折时,最大挠度值都非常大,甚至远远大于纸张的长度,当然这些仅为理论结果,实际对折时最大挠度不可能超过纸张长度的一半。但同时这些结果也表明,开始几次对折,不管是A4打印纸还是报纸,都非常容易,这也与我们的实际经验相符。但是随着折叠次数的增加,最大挠度越来越小,预示着对折难度越来越大。对于A4打印纸而言,当进行第7次对折时,其最大挠度仅为2.5mm左右,远远小于我们前面所给定的纸张对折条件$w_{\max} = l /3$。也就是说在常规手指压力作用下,基本不可能实现对A4打印纸进行第7次对折。对于八开报纸而言,当进行第7次对折时,其最大挠度约为9.9mm,这个值接近于我们前面所给定对折条件$w_{\max} = l /3$ (16.1mm),也就是接近于完成对折。考虑到一般人在面对这种情况时会主动增加手指压力使对折完成(此时载荷$F$会大于200N),因此对于八开报纸而言,我们说基本可以实现7次对折。但是当进行到第8次时,其最大挠度仅为0.97mm左右,基本无对折的可能。

为了验证表中结果,我们分别对A4打印纸和八开报纸进行了对折测试。结果发现,A4打印纸能够顺利对折6次,第7次对折基本无法实现。而八开报纸前6次的对折非常轻松即可实现,第7次对折虽然难度稍大但稍加用力也能够顺利实现,但第8次对折显然无实现的可能。图4显示了分别进行了6次和7次对折后的A4打印纸和八开报纸的图像。试验结果验证了我们的理论预测：在常规手指作用力下,A4打印纸最多能够对折6次;八开报纸最多只能对折7次。

考虑对折是否能够实现还可以从所需要施加的最小载荷来加以分析,如果载荷在常规可接受的范围内,则对折可以实现;如果载荷超出常规范围达到非常大的值,则对折难以实现。采用前面所分析的对折条件,取最大挠度为纸张长度的1/3,即$w_{\max} = l / 3$,在此基础上由$w_{\max } = {Fl^3}/({48EI})$计算两种纸张每次对折所需要的集中力载荷值,所得结果列于表5中。表5未列出纸张的厚度、长宽及截面惯性矩等,因为这些参数与表3、表4中所列相同。

从表5所列结果来看,两种纸张在前5次对折时所需施加的最小载荷都非常小,表明很容易即可实现对折。但是随着对折次数的增加,所需载荷越来越大,对折越来越难以实现。对于A4打印纸,在完成第6次对折时所需施加的最小载荷约为138N,相当于14kg重物所带来的压力。考虑到这个载荷由两个拇指同时施加,相当于每根大拇指承受7kg重物的压力,这对于一般成年人而言是很轻松的,因此对于普通成年人,可以轻松完成对A4打印纸的6次对折。但是要完成第7次折叠所需施加的最小载荷达到了980N,约为100kg重物的压力。这个压力对于普通成年人而言,即便用全身来承受也存在一定的危险性更何况是两根手指,这也表明普通成年人很难完成对A4打印纸的7次折叠。不过考虑到100kg重物的压力对于某些受过训练,肌肉力量特别强的成人来说也并非不可承受,并且考虑到实际操作过程中,有些人甚至会采取牙咬、掌压等一些辅助措施,因此对于少数人来说,完成对A4打印纸的7次折叠还是有可能的。

对于八开报纸,在完成第6次对折时所需施加的最小载荷约为46N,这个载荷很小,实现起来非常容易。在完成第7次对折时所需施加的最小载荷约为327N,相当于33kg的重物的压力,分配到每根拇指上约为16.5kg,这对于一般成年人而言也并非不可忍受。因此,普通成年人能够完成对八开报纸的7次折叠。但是要完成第8次折叠的话,所需最小载荷达到了2320N,这显然非人力所能实现。

载荷的分析结果清晰地显示出了对两种纸张所能实现的最大折叠次数。对于A4打印纸而言,普通成年人最多只能对折6次,少数力量强的人(或者采取辅助手段)能够对折7 次,但是在人力作用的范围内不可能高于7次。对于八开报纸而言,一般成年人都能对折7 次,但是基本无人能够对折8次及以上。

不论是在网络上还是在媒体上,"一张纸最多能够对折几次"都是被讨论得比较多的一个话题。本文通过引入一个简单的材料力学模型对纸的对折问题进行了力学分析,从理论上给出了普通的A4打印纸和八开报纸在人力作用下所能实现的最大折叠次数并进行了试验验证。笔者相信这些分析不仅对于大众理解"纸张存在最大对折次数"这些生活中常见的力学问题带来帮助;同时将这些分析过程引入材料力学的教学过程中,也会为学生学习材料力学这门课程带来帮助。