本文假定土中渗流服从Hansbo渗流方程(1), 且其中参数在固结过程中为常数, 其余都与Biot固结理论的基本假定相同.为便于应用, 这里将式(1)改写为类似Darcy渗流的形式, 即

$v = {K}'i = - \dfrac{{K}'}{\gamma _{\rm w} }\dfrac{\partial p}{\partial r} =- K\dfrac{\partial p}{\partial r} \quad (2)$

式中, p表示半径 r处的孔压, γw为水的重度, 系数 K为

$K = \dfrac{{K}'}{\gamma _{\rm w} } = \left\{ \begin{array}{ll} k | i | ^{m - 1} / (\gamma _{\rm w} mi_1^{m - 1} ) & (| i | \leqslant i_1 )\\ k [1 - i_1 (m - 1) / ( m | i|)]/ \gamma _{\rm w} & ( | i | > i_1 ) \end{array} \right. $

设线弹性饱和圆柱土样均匀且各向同性, 其半径为 a, 长度 h≫a, 内部无初始孔压, 径向外表面为完全排水边界且受均布压力 q作用. 该问题为轴对称的平面应变问题. 以圆心为原点, 建立极坐标系. 这样基于Biot固结理论, 轴对称条件下的平衡微分方程为

$\dfrac{\partial ^2u}{\partial r^2} + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial u}{\partial r}- \dfrac{1}{r^2}u - \dfrac{(1 + \mu )(1 - 2\mu )}{E(1 - \mu )}\dfrac{\partial p}{\partial r} = 0 \quad (3)$

式中, E和 μ分别为土的杨氏弹量和泊松比; u表示圆柱土样的径向位移, 沿半径方向向外为正, 反之为负; p为孔压, 以压为正, 以拉为负.

半径 r处体应变 θ与径向位移 u的关系为

$\theta = - ( {\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{u}{r}}) \quad (4)$

$ \frac{\partial \theta }{\partial t} = - \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}( {r\frac{\partial u}{\partial t}}) \quad (5)$

根据土体渗流连续性条件可得

$\dfrac{\partial \theta }{\partial t} = \dfrac{\partial v}{\partial r} +\dfrac{v}{r} = \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial (rv)}{\partial r} \quad (6)$

将式(2)代入式(6)可得

$\dfrac{\partial \theta }{\partial t} = - \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial }{\partial r}\left( {rK\dfrac{\partial p}{\partial r}} \right) \quad (7)$

对比式(5)与式(7)可得

$\dfrac{\partial p}{\partial r} = \dfrac{1}{K}\dfrac{\partial u}{\partial t} \quad (8)$

将式(8)代入式(3) 可得以位移表示的平衡方程为

$r^2\dfrac{\partial u}{\partial t} = K_1 \left( {r^2\dfrac{\partial ^2u}{\partial r^2} + r\dfrac{\partial u}{\partial r} - u} \right) \quad (9)$

式中, K1=KE(1-μ)/[(1+μ)(1-2μ)].

方程(8)和方程(9)的边界条件及初始条件为

$- \frac{C_{\rm v} \gamma _{\rm w} }{k(1 - \mu)}[(1 - \mu) \frac{\partial u}{\partial r} + \mu \frac{u}{r}] |_{r = a} = q \quad (10)$

$u(0, t)=0, u(r, 0)=0 \quad (11)$

$p(0, t)< \infty , p(a, t)=0 \quad (12)$

式中, Cv=kE(1-μ)/[γw(1+μ)(1-2μ)].

为了方便数据处理与分析, 引入无量纲参数

$\left.\begin{array}{1} R = \dfrac{r}{a} \, , \ \ U = \dfrac{u}{a} \, , \ \ T = \dfrac{C_{\rm v} t}{a^2} \\ I = \dfrac{i\gamma _{\rm w} a}{q} \, , \ \ I_1 = \dfrac{i_1 \gamma _{\rm w} a}{q} \, , \ \ P = \dfrac{p}{q} \end{array}\right\} \quad(13) $

则式(8) ~式(12)化为

$\frac{\partial P}{\partial R} = \frac{E(1 - \mu)}{\psi q(1 + \mu)(1 - 2\mu)}\frac{\partial U}{\partial T}\quad (14)$

$R^2\frac{\partial U}{\partial T} = \psi ( R^2\frac{\partial ^2U}{\partial R^2} + R\frac{\partial U}{\partial R} - U) \quad (15)$

$\frac{\gamma _{\rm w} C_{\rm v} }{qk}\frac{\partial U}{\partial R} |_{R = 1} + \frac{\gamma _{\rm w} C_{\rm v} \mu }{k(1 - \mu)}\frac{U}{R} |_{R = 1} = - 1 \quad (16)$

$U(0, T) = 0, U(R, 0) = 0 \quad (17)$

$P(0, T)< \infty, P(1, T)=0 \quad (18)$

式中, 系数$\psi = \left\{ \begin{array}{ll} \left| I \right|^{m - 1} / (mI_1^{m - 1} ) & (\left| I \right| \leq I_1 ) \\ 1 - I_1 (m - 1) / (m\left| I \right|) & (\left| I \right| > I_1 ) \end{array} \right.$.

采用Crank--Nicolson有限差分法求数值解. 在 0„R„1范围内以 ΔR为步长将土柱由内到外均匀离散为 N层, 且以 ΔT为步长将时间 T均匀离散.这样, 式(15)可离散为

$A_j U_{j - 1}^{b + 1} + B_j U_j^{b + 1} + C_j U_{j + 1}^{b + 1} = - A_j U_{j -1}^b + D_j U_j^b - C_j U_{j + 1}^b \quad (19) $

式中, 下标 j是空间节点, 上标 b是时间节点, 且

$ A_j = \dfrac{j^2\psi \Delta T}{2} - \dfrac{j\psi \Delta T}{4} \\ B_j = - \left( {j \Delta R} \right)^2 - j^2\psi \Delta T - \dfrac{\psi \Delta T}{2} \\ C_j = \dfrac{j^2\psi \Delta T}{2} + \dfrac{j\psi \Delta T}{4} \\ D_j = - \left( {j \Delta R} \right)^2 + j^2\psi \Delta T + \dfrac{\psi \Delta T}{2} $

边界条件式(16), 式(17)可表示为

$(A_N + C_N )U_{N - 1}^{b + 1} + (B_N - W C_N )U_N^{b + 1} =\\ \qquad -(A_N + C_N )U_{N - 1}^b + (D_N + W C_N )U_N^b + Q C_N \quad(20)$

$U_j^0 = 0 (j =0, 1, 2, \cdots, N) \quad (21)$

$U_0^b = 0 (b =1, 2, \cdots ) \quad (22)$

式中, $W = \dfrac{2a\mu }{N\left( {1 - \mu } \right)}$, $Q = \dfrac{4q\Delta R(1 + \mu )(1 -2\mu )}{E(1 - \mu )}$.

由式(19) ~式(22)即可求得土柱的位移, 而孔压的求解则需将式(14)离散化为

$P_{j - 1}^{b + 1} = P_j^{b + 1} - \dfrac{E\left( {1 - \mu } \right)}{\psi q\left( {1 + \mu } \right)\left( {1 - 2\mu } \right)}\dfrac{U_j^{b + 1} - U_j^b }{\Delta T}\Delta R \quad (23)$

相应的边界条件式(18)可变为

$P_0^b < \infty \, , \quad P_N^b = 0 \quad(24)$

为分析土柱中孔压的整体消散规律, 引入按孔压定义的平均固结度

$U_R = 1 - \dfrac{\int_0^1 {2\pi RPdR} }{\int_0^1 {2\pi RP_0 d R} } = 1 - 2\sum_{j = 0}^{N - 1} {\int_{R_j }^{R_{j + 1} } {RPd R} } \quad(25) $

式中, 时刻 T=0时的孔压 P0=1.

假设孔压 P在区间 [Rj, Rj+1]中是线性变化的, 则式(25)变为

$U_R^b = 1 - 2\sum_{j = 0}^{N - 1} {S_j^b } \quad(26)$

式中

$\begin{array}{l} S_j^b = (P_j^b R_{j + 1} - P_{j + 1}^b R_j )(R_{j + 1}^2 - R_j^2 ) / (2\Delta R)+ \\ \qquad (P_{j + 1}^b - P_j^b )(R_{j + 1}^3 - R_j^3 ) / (3\Delta R) \end{array} $

为了探讨Hansbo参数对孔压消散的影响, 图2给出了不同Hansbo渗流参数时 R=0.1处的孔压随无量纲时间变化曲线.很显然, 随着Hansbo参数 m或 I1的增大, 所有曲线都更远离Darcy渗流曲线, 固结前期的孔压升高现象也更加显著, 且达到的 孔压峰值比Darcy渗流时明显增大. 以 I1=1且 m=1.2, 1.5和1.8为例, 其孔压峰值分别为1.276, 1.443和1.561, 而Darcy渗流时的孔压峰值仅为1.127, 所以Hansbo渗流 会增强Mandel--Cryer效应. 但对应孔压峰值的时间将会延迟, 比如, 对应上述Hansbo参数时达到孔压峰值的时间分别为 T=0.065, 0.074和0.081, 而Darcy渗流时达到峰值的时间仅为 T=0.049.

图 2

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	图 2 Hansbo对孔压的影响( R=0.1)

图2还表明, 当达到孔压峰值后, 即在固结中后期, 孔压都随时间而逐渐消散, 但在同一时刻 T, Hansbo渗流参数越大, 对应的孔压 P也越大, 因此 Hansbo渗流会延缓圆柱土样内孔压的消散.

按孔压定义的平均固结度 UR可以反出土柱中孔压的整体消散程度. 为了分析Hansbo渗流的影响, 图3给出了不同Hansbo参数( m或 I1)时固结度随时间的变化曲线. 很明显, m和 I1对饱和黏性土固结度的影响是类似的, 即这些参数越大, 达到同一固结度需要的时间越长, 比如, 要使固结度达到90%, 在Darcy渗流时需要的无量纲时间 T=0.447, 而在Hansbo渗流时, 对应 m=1.5且 I1=0.5, 1.0和1.5的 T分别等于0.667, 0.754和 0.809. 所以, 与Darcy渗流相比, Hansbo渗流使得圆柱土样内孔压的整体消散大大延迟.

图 3

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	图 3 Hansbo渗流对平均固结度的影响

记 Uc为计算点处的最终径向位移, 这样, 边界处的 U/Uc类似于一维固结时按变形定义的平均固结度. 在 线弹性范围内分析饱和黏性土的一维固结时, 不论渗流形式采用Darcy渗流还是Hansbo渗流, 按孔压定义的固结度和与变形定义 的固结度是一样的^{[14, 15, 16]}, 但对于本文所讨论的轴对称Biot固结问题, 二者却相差很大. 图4给出了Hansbo渗流时 R=1.0和0.8处的 U/Uc随时间 T的变化曲线. 尽管随着Hansbo渗流参数的增大, U/Uc都减小, 但在本文的计算参数取值范围内, 在同一时刻, 同一点处的径向位移都与Darcy渗流时的结果相差很小.

图 4

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	图 4 Hansbo渗流对位移的影响