例1 长为\(2l\)的均质细杆最初直立在粗糙的水平面上, 稍受扰动后, 在重力作用下该杆在铅直平面内绕\(O\)点回转而下, 如图1所示.若杆转至\(\theta = 45^{\circ}\)时开始滑动, 试求：(1)杆与平面间的静摩擦因数; (2) \(\theta \geqslant 45^{\circ}\)时, \(O\)点将沿哪个方向滑动. (取自文献[3]中Z2-48题)

图1

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	图1

解(1)假设杆件与平面间的静摩擦因数为\(f_{\rm s}\). 杆件从直立在粗糙的水平面转至\(\theta =45^{\circ}\)时开始滑动, 期 间杆件绕\(O\)点做定轴转动(图2).

图2

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	图2

利用定轴转动的微分方程可得

\[J_O \alpha = M_O (F) = mgl\sin \theta \ \ (1)\]

式中, \(m\)为杆件质量, \(g\)为重力加速度, \(\alpha = \ddot {\theta }\), \(J_O = \dfrac{4}{3}ml^2\), 化简式(1)可得

\[\ddot {\theta } = \dfrac{3g}{4l}\sin \theta \, , \ \ \dot {\theta }^2 = \omega ^2 = \dfrac{3g}{2l}\left( {1 -\cos \theta } \right)\]

质心\(C\)的切向和法向加速度分别为

\[ a_C^{\rm t} = l\ddot {\theta } = \dfrac{3g}{4}\sin \theta \\ a_C^{\rm n} =l\omega ^2 = \dfrac{3g}{2}\left( {1 - \cos \theta } \right)\\a_{Cx} = a_C^{\rm t} \cos \theta - a_C^{\rm n} \sin \theta = \\ \qquad \dfrac{9g}{4}\sin \theta \cos\theta - \dfrac{3g}{2}\sin \theta \\ a_{Cy} = - a_C^{\rm t} \sin \theta - a_C^{\rm n} \cos \theta=\\ \qquad - \dfrac{3g}{4}\sin ^2\theta - \dfrac{3g}{2}\left( {1 - \cos \theta } \right)\cos \theta \]

利用质心运动定理可得

\[F_{\rm s} = mg\left( {\dfrac{9}{4}\sin \theta \cos \theta - \dfrac{3}{2}\sin \theta } \right)\ \ (2)\]

\[ F_{\rm N} = mg\left[ {1 - \dfrac{3}{4}\sin ^2\theta - \dfrac{3}{2}\left( {1 - \cos \theta }\right)\cos \theta } \right] = \dfrac{9}{4}mg\left( {\cos \theta - \dfrac{1}{3}} \right)^2 \ \ (3)\]

依题意有, 当\(\theta = {\pi }/{4}\)时, 有\(F_{\rm s} = f_{\rm s} F_{\rm N} \). 由此可得

\[f_{\rm s} = \dfrac{\sin \theta \cos \theta - \dfrac{2}{3}\sin \theta }{\left( {\cos \theta - \dfrac{1}{3}}\right)^2} = 0.205\]

(2)由于当\(\theta = 45^\circ\)时, 在式(1)中求得的摩擦力

\[ F_{\rm s} = mg\left( {\dfrac{9}{4}\sin 45^\circ \cos 45^\circ - \dfrac{3}{2}\sin 45^\circ } \right)= 0.064mg > 0 \]

故图2中摩擦力的方向是真实的. 即杆件的\(O\)点有向左滑动的趋势. \(\theta \)超过\(45^\circ \)后, 杆件的\(O\)点向左滑动.

上述问题(1)所得结果与该习题集的答案一致. 问题(2)习题集没有提供答案.作者相信大部分学生和教师也认为上述解答没有问题.

力学问题是对真实世界的描述, 答案应具有唯一性、可重复性. 我们不妨将例1换成例2.

例2 长为2\(l\)的均质细杆最初直立在粗糙的水平面上, 稍受扰动后, 在重力作用下该杆在铅直平面内绕\(O\)点回转而下, 如图1所示.若杆与平面间的静摩擦因数\(f_{\rm s} = 0.205\), 试求：(1)杆开始在地面上滑动时的角度\(\theta _0 \); (2)\(\theta\geqslant \theta _0 \)时, \(O\)点将沿哪个方向滑动.

显然, 上述问题与 例1描述的是同一个事件. 按照 例1的求解, 自然会得到杆件将在\(\theta _0 =45^\circ\)时开始滑动, 且杆件的\(O\)点向左滑动.

但如果按照步骤求解, 由式(2)和式(3)可得杆开始滑动时, 转角\(\theta \)应满足

\[ mg\left( {\dfrac{9}{4}\sin \theta \cos \theta - \dfrac{3}{2}\sin \theta } \right) = 0.205\times \dfrac{9}{4}mg\left( {\cos \theta - \dfrac{1}{3}} \right)^2 \ \ (4)\]

为了求解上述等式, 令函数\(h(\theta ) = f(\theta )mg = 0\), 其中

\[ f(\theta ) = \dfrac{9}{4}\sin \theta \cos \theta - \dfrac{3}{2}\sin \theta - 0.205\times \dfrac{9}{4}\left( {\cos \theta - \dfrac{1}{3}} \right)^2 \ \ (5)\]

显然, 方程(4)与方程\(f(\theta ) = 0\)同解. 函数\(f\left( \theta \right)\)与\(\theta \)之间的关系如图3所示.

图3

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	图3

由图3可知, 方程(5)在\(0 < \theta < 90^\circ\)的区间内有两个解. 除了一个\(45^\circ \)的角度之外, 还有一个\(\theta_{1} = 15.9^\circ\)的位置. 这说明, 题目中如果摩擦因数\(f_{\rm s} = 0.205\), 则第一个临界位置应该是在\(\theta _{1}\)的位置. 由图3很明显看到, 函数\(f\)在\(\theta _{1} \)至\(45^\circ\)之间均取正值, 而函数\(h(\theta ) = f(\theta )mg\)等于摩擦 力与最大静滑动摩擦力的差, 这说明在\(\theta _{1} \)位置杆件处于滑动的临界位置, 并且当\(\theta \in (\theta _{1} , 45^\circ)\)时杆件不可能不滑动. 也就是说, 杆件开始滑动的位置不是\(45^\circ\)的位置, 而是\(\theta_{1} \)位置, 并且开始滑动后, 杆件的\(O\)点向左滑动.

显然, 例1与例2描述的是同一物理过程, 却得到不同的答案. 问题出在哪里呢?

作者认为, 问题出在 例1本身, 即 例1本身在设计时出错了.设计者想当然地认为静摩擦因数与杆件开始滑动时的角度之间存在一一对应 的关系, 而事实上并不是如此.

为此, 我们引入例3.

例3 长为2\(l\)的均质细杆最初直立在粗糙的水平面上, 稍受扰动后, 在重力作用下该杆在铅直平面内绕\(O\)点回转而下, 如图1所示. 若杆与平面间的静摩擦因数为\(f_{\rm s}\), 试求杆转至\(\theta \)为多少时开始滑动.

由求解例1得到的式(2)和式(3), 可得杆开始滑动时的转角\(\theta _{0}\)应满足\(F_{\rm s} = f_{\rm s} F_{\rm N} \). 即

\[ mg\left( {\dfrac{9}{4}\sin \theta _0 \cos \theta _0 - \dfrac{3}{2}\sin \theta _0 } \right) = f_{\rm s} \times \dfrac{9}{4}mg\left( {\cos \theta _0 - \dfrac{1}{3}} \right)^2 f_{\rm s} =\dfrac{\sin \theta _0 \cos \theta _0 - \dfrac{2}{3}\sin \theta _0 }{\left( {\cos \theta _0 - \dfrac{1}{3}}\right)^2} \]

\(f_{\rm s}\) 与\(\theta \)之间的关系如图4所示.

图4

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	图4

从图4中可以看出, 函数曲线在\(\left[ { {\pi }/{8}, {\pi }/{4} } \right]\)之间, 存在一个极值点.经分析可以求得极值点对应的角度为\(\arctan \left( {\dfrac{2}{9}\sqrt {10} } \right) =35.1^\circ\), 该角度对应的摩擦因数为0.371. 而对应于摩擦因数取值为零的角度为\(\arccos \left( {\dfrac{2}{3}}\right) = 48.2^\circ\). 所以, 对于取正值的摩擦因数, 角度位于\(\left[ {0, 48.2^\circ }\right]\)之间, 并且在除极值0.371的摩擦因数之外, 总有不同的两个角度位置与一个摩擦因数对应. 这就是例1产生问题的原因.

本文对经典的《理论力学解题指导及习题集》中一道考虑摩擦的动力学习题, 给出了一般的解题过程.为了说明题目中存在的问题, 设计了两个对应的问题.通过讨论分析, 指出了其题目本身存在的问题, 并给出了产生问题的原因.而这一道习题几十年来一直在习题集以及相关教材中存在, 说明这一问题还没有引起大部分教师和学生的注意.考虑摩擦时的动力学问题, 常常会有如本文中所讨论的非线性和多解性等比较复杂的性质.教师在命题时, 需要特别注意, 应从多个方面仔细考虑和分析.

致谢： 本文成稿后与南京航空航天大学王怀磊博士进行过讨论, 王老师给出了很好的建议和鼓励, 对此作者表示衷心感谢.