当流体以一定相对速度穿过中空圆柱体时, 由于流固耦合作用会产生科氏力. 这是陀螺效应在平动弹性体上的典型体现.本文中将以两端固定脉动流输流管为例来研究这类陀螺系统的非线性参数振动响应问题.假定管道未变形轴线沿\(x\)轴方向, 且管道只发生横向面内振动\(y(x, t)\), \(t\)为时间变量. \(U\)表示管内流速.考虑中线伸长引起的几何非线性, 我们可以得到该陀螺系统的横向振动控制方程^[10]

\[EI\dfrac{\partial ^4y}{\partial x^4} + M\left[ {U^2 + \dfrac{\partial U}{\partial t}\left( {L- x} \right)} \right]\dfrac{\partial ^2y}{\partial x^2} + (M + m)\dfrac{\partial ^2y}{\partial t^2} + \\ 2MU\dfrac{\partial ^2y}{\partial x\partial t} - \left[ {\dfrac{EA_p }{2L}\int_0^L{\left( {\dfrac{\partial y}{\partial x}} \right)^2} d x} \right]\dfrac{\partial ^2y}{\partial x^2} = 0\ \ (1)\]

式中\(E\), \(I\), \(L\), \(A_{p}\)和\(m\)分别表示管道杨氏模量、截面惯性矩、长度、横截面积和单位长度的质量, \(M\)表示流体单位长度的质量.引入无量纲变量和参数

\[\left.\begin{array}\quad \eta = \dfrac{y}{L} , \xi = \dfrac{x}{L} , \quad \tau = \left( {\dfrac{EI}{M+ m}} \right)^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{t}{L^2} \\ M_r = \left( {\dfrac{M}{M + m}} \right)^{\tfrac{1}{2}}, \quad u = \left({\dfrac{M}{EI}} \right)^{\tfrac{1}{2}}LU \gamma = \dfrac{A_p L^2}{2I} \end{array}\!\!\right\} \ \ (2)\]

并设无量纲脉动流速为\[u = u_0 \left[ {1 + \mu \cos (2\omega \tau )} \right] \ \ (3)\]

式中\(u_{0}\)为平均流速, \(\mu \)和\(2 \omega \)为脉动幅值(假定很小)和频率. 将式 (2) 和式 (3) 代入式 (1)中可得到如下无量纲脉动流管道控制方程

\[ \dfrac{\partial ^4\eta }{\partial \xi ^4} + u_0^2 \dfrac{\partial ^2\eta }{\partial \xi ^2} +\dfrac{\partial ^2\eta }{\partial \tau ^2} + 2M_r u_0 \dfrac{\partial ^2\eta }{\partial \xi \partial \tau } =\]\[ \mu \left[ {2M_r u_0 \omega (1 - \xi )\sin (2\omega \tau )\dfrac{\partial ^2\eta}{\partial \xi ^2} - } \right.\left. { 2\cos (2\omega \tau )\left( {u_0^2 \dfrac{\partial ^2\eta }{\partial \xi^2} + M_r u_0 \dfrac{\partial ^2\eta }{\partial \xi \partial \tau }} \right)} \right] +\]\[ \left[ {\gamma \int_{ 0}^{ 1} {\left( {\dfrac{\partial \eta }{\partial \xi }}\right)^2 d\xi } } \right]\dfrac{\partial ^2\eta }{\partial \xi ^2} \ \ (4)\]

注意到上式中已忽略了 \(\mu \) 的高阶项.

为了构造系统的非线性模态, 首先利用2振型Galerkin法\[\eta (\xi , \tau ) = \sum_{i = 1}^2 {\psi _i (\xi )q_i (\tau )} \ \ (5)\]对偏微分方程进行截断. 式中 \(\psi_{i }\)(\(\xi \)) 和\(q_{i }\)(\(\tau \)) 为第\(i\)阶两端固定静态梁的模态函数和广义坐标. 一些文献[11, 12]已经指出, 对于输流管参数振动问题, 取2阶Galerkin离散已经可以得到比较精确的结果, 而相应的理论分析和实验结果在定性上也吻合得很好.因此本文中截断阶数取为2.此外, 由于管道本身属于细长弹性体, 而当其内部充满液体后, 整个结构更加接近于梁结构, 因此选取相应边界条件下梁的模态函数来模拟输流管的振型函数通常会得到比较理想的结果.目前大多数关于输流管动力学的研究也都采用梁模态来模拟输流管的振动模态\(^{[5\hbox{-}8]}\). 将式 (5) 代入式 (4)并利用振型的正交性, 可以得到二元二次常微分方程组

\[ \ddot {q}_1 - \beta \Big[ 1 + \mu \cos (2\omega \tau ) \Big]\dot {q}_2 + \ \ \Big[ k_1 - \dfrac{1}{2b}c_{11} \mu \beta \omega \sin (2\omega \tau ) + \ \ 2c_{11} \mu u_0^2 \cos(2\omega \tau )\Big ]q_1 + \\ \dfrac{1}{b}(b + e)\mu \beta \omega \sin (2\omega \tau )q_2 + \ \ n_{11} q_1^3 + n_{12} q_1 q_2^2 = 0 \ \ (6{\rm a}) \]

\[ \ddot {q}_2 + \beta \Big[ 1 + \mu \cos (2\omega \tau )\Big]\dot {q}_1 +\ \ \Big[ k_2 - \dfrac{1}{2b}c_{22} \mu \beta \omega \sin (2\omega \tau ) + \ \ 2c_{22} \mu u_0^2 \cos(2\omega \tau )\Big]q_2 +\\ \dfrac{1}{b}(e - b)\mu \beta \omega \sin (2\omega \tau )q_1 + \ \ n_{21} q_2 q_1^2 + n_{22} q_2^3 = 0 \ \ (6{\rm b})\]

式中

\[\begin{array}{l} \beta = 2M_r u_0 b , \ \ k_1 = u_0^2 c_{11} + \lambda _1^4 , \ \ k_2 =u_0^2 c_{22} + \lambda _2^4 \\ n_{11} = \gamma c_{11}^2 , \quad n_{12} = \gamma c_{11} c_{22} , \quad n_{21}= n_{12} \\ n_{22} = \gamma c_{22}^2 , \ \ b = 3.342 0 , \quad e = 3.342 6\\ c_{11} = - 12.302 6 , \ \ c_{22} = - 46.0501\ \\ \lambda _1 = 4.730 0 , \quad \lambda _2 = 7.8532 \end{array}\]

下面将利用不变流形法构造陀螺系统的非线性模态, 并利用数值迭代法^[13]获取参数振动响应的模态系数.该迭代法将传统Rauscher法与非线性模态方法相结合, 具有较高的计算效率.为了有效实施迭代, 需要选取一组合适的模态系数值作为迭代初值.这里考虑原参激系统对应的自治系统, 通过不变流形法获得其非线性模态系数作为迭代初值. 令

\[\left[ {p_1 , \; p_2 } \right] = \left[ {\dot {q}_1 , \; \dot {q}_2 } \right] \ \ (7)\]

并设 \(\mu =0\), 则方程 (6) 可化为控制管道自由振动的一阶状态方程\[\left.\begin{array}{l} \dot {q}_1 = p_1 \ \ \dot {p}_1 = f_1 (q_1 , q_2 ; p_1 , p_2 ) =\ \ \beta p_2 - k_1 q_1 - n_{11} q_1^3 - n_{12} q_1 q_2^2 \ \dot {q}_2 =\\ p_2 \dot {p}_2 = f_2 (q_1 , q_2 ; p_1 , p_2 ) =\ \ - \beta p_1 - k_2 q_2 - n_{21} q_2 q_1^2 - n_{22} q_2^3 \end{array}\!\! \right\} \ \ (8)\]

考虑到系统 (8) 的陀螺耦合以及只含有三次非线性项, 可以在纯模态空间上将\(q_{1}\), \(p_{1}\), \(q_{2}\)和\(p_{2}\)间的非线性关系表示为

\[\left. q_1 = w , \quad p_1 = v \ \ q_2 = a_1 w + a_2 v + a_3 w^3 + a_4 w^2v + a_5 wv^2 + a_6 v^3\ \ p_2 = b_1 w + b_2 v + b_3 w^3 + b_4 w^2v + b_5 wv^2 + b_6 v^3 \!\! \right\} \ \ (9)\]

将式 (9) 后两式对时间求导, 并将式 (8) 和式 (9) 代入其中, 通过比较\(w\), \(v\), \(w^{3}\), \(w^{2}v\), \(wv^{2}\)和\(v^{3}\)项的系数可得到关于常系数\(a_{j}\)和\(b_{j}\), \(j=1, 2, \cdots, 6 \)的非线性代数方程组

(10)

通过方程组 (10) 可求出未知模态系数, 这样就确定了迭代初值. 再考虑原非自治系统 (6), 将式 (9) 后两式带回系统 (6)的第一个方程可得到只关于\(q_{1}\)的非自治微分方程. 为了将其转化为自治方程, 假定其具有如下形式的周期解\[q_1 = A_1 \cos (\omega \tau ) + B_1 \sin (\omega \tau ) \ \ (11)\]

式中\(A_{1}\)和\(B_{1}\)可通过谐波平衡法求得. 利用式 (11) 可得如下表达式\[\left.\!\!\begin{array}{l} \cos (2\omega \tau ) = \alpha _1 q_1^2 + \alpha _2 \dot {q}_1^2 + \alpha _3q_1 \dot {q}_1 \ \ \sin (2\omega \tau ) = \dfrac{\omega \alpha _3 }{2}q_1^2 - \dfrac{\alpha _3}{2\omega }\dot {q}_1^2 + 2\omega \alpha _2 q_1 \dot {q}_1 \end{array}\!\!\right\} \ \ (12)\]

式中

\[\left. \alpha _1 = \dfrac{A_1^2 - B_1^2 }{\left( {A_1^2 + B_1^2 } \right)^2} \ \alpha _2 = \dfrac{B_1^2 - A_1^2 }{\omega ^2\left( {A_1^2 + B_1^2 } \right)^2}\ \ \alpha _3 = \dfrac{4A_1 B_1 }{\omega \left( {A_1^2 + B_1^2 } \right)^2}\!\!\right\} \ \ (13)\]

将式 (12) 代回式 (6) 即可得到近似的拟自治系统. 由于该系统仍然只含有三次非线性项, 在使用不变流形法时仍可采用式(9) 中的关系. 于是重复步骤 (7) \(\sim \) (10), 即可获得第一次迭代结果. 以该结果作为初值则可进行下一次迭代.

本节将通过数值算例分析陀螺系统第一阶主参数共振响应. 首先验证本文迭代法的收敛性. 算例中的参数值如下：\(u_{0}=3\), \(M_{r} = 0.8\), \(\omega = 22\), \(\mu = 0.3\), \(\gamma = 0.1\). 表1列出来前5次迭代结果.可以看出, 4次迭代就可以得到很高精度的结果了. 这证明了该迭代法的高效性, 同时说明了所选初值的合理性.

表1

表1

表1 由本文迭代法得到的模态系数值

表1 由本文迭代法得到的模态系数值

下面对本文参激陀螺系统进行频域分析.图1给出了利用前述非线性模态技术和迭代法得到的两个广义坐标\(q_{1}\)和\(q_{2}\)的非线性幅频 响应曲线, 以及由方程(6)直接数值模拟得到的结果以作比较. 可以看出, 两种方法所得结果相当吻合, 证明了本文方法的可靠性.同时, 在得到非线性模态系数值后, 还可以描绘出随着脉动频率的变化, 两个广义坐标在相空间上的演化, 如图1中所示.\(q_{1}\)的模态运动为简谐运动, 而\(q_{2}\)的模态运动则呈现明显的非线性特性. 因为由式 (11) 和式 (9)可以看出, \(q_{1}\)和\(p_{1}\)只含有基谐波, 而\(q_{2}\)和\(p_{2}\)则是\(q_{1}\)和\(p_{1}\)的复杂非线性函数.这也是利用不变流形法构造非线性模态的特点. 此外, 尽管\(q_{1}\)和\(q_{2}\)的响应曲线都表现出硬特性, 但从图1(a)和图1(b)的对比可以看出, 两个曲线的量值和走势还是有明显的不同. 这也是由上述原因所造成.

图1

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	图1 参激陀螺系统的非线性幅频响应曲线

图2给出了参激陀螺系统的不变流形. 由于非线性的影响, 系统的不变流形不再保持平面.\(q_{2}\)的不变流形呈波浪形, 而\(p_{2}\)的不变流形则为翘曲面.从物理意义上讲, 不变流形的``不变性''是指任何起始于流形上的模态运动将会一直保持在该流形上, 而系统模态特性也将类似于流形上的一个非线性单自由度系统.对于本文所研究的参激陀螺系统, 我们可以得到类似于图1中的相空间上不同的模态运动周期轨道, 而所有可能的关于\(q_{2}\), \(q_{1}\), \(p_{1}\)和\(p_{2}\), \(q_{1}\), \(p_{1}\)的三维周期轨道则构成了图2中的非线性不变流形.

图2

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	图2 参激陀螺系统的非线性不变流形

下面 利用非线性复模态法来分析系统的时域响应特性. 根据式 (11), 我们首先将\(q_{1}\)的周期解表示为复数形式

\[q_1 = A{\rm e}^{{\rm i}\omega \tau } \ \ (14)\]

将式 (14) 代入式 (9) 中, 则\(p_{1}\), \(q_{2}\)和\(p_{2}\)均可表示为复数形式.为了分析两个广义坐标的相位关系, 给出系统发生参数振动过 程中\(q_{1}\), \(p_{1}\), \(q_{2}\)和\(p_{2}\)的时间历程图, 如图3所示. 图3和下面图4中的参数值均取：\(A = 1\), \(\omega = 22\).从图3中可以发现, \(q_{1}\)和\(q_{2}\)间存在\(\pi /2\)相位差, 即正交相位差, 而\(p_{1}\)和\(q_{2}\), \(p_{2}\)和\(q_{1}\)间相位差为\(\pi \)或同相位. 这是陀螺系统的典型特点.总的来说, 第二广义坐标的速度／位移总是和第一广义坐标的位移／速度相关, 这将导致陀螺系统出现非同步振动现象(图4(a)).

图3

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	图3 \(q_{1}\), \(p_{1}\), \(q_{2}\)和\(p_{2}\)的时间历程

图4

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	图4 两类系统振动快照

为了更清晰地展示复陀螺模态现象, 将复数形式的广义坐标和速度\(q_{1}\), \(p_{1}\), \(q_{2}\)和\(p_{2}\)代入式(5) 中, 可得 到系统在物理坐标上的振动响应.图4(a)和图4(b)分别给出了脉动流输流管和充满静止液体管道(非陀螺系统)一个周期内参数振动过程的快照.两图中曲线颜色由浅到深表示时间进行的方向.从图中可以清楚地看出, 非陀螺系统只存在固定的振动节点, 即只发生驻波形式的振动; 而对于陀螺系统, 由于前述正交相位差的存在, 振动节点将随时间发生移动, 表明系统此时发生的是行波形式的振动.而且对于第一阶主参数共振, 行波向左传播, 而管道中流体流动方向向右.正交相位差和行波现象是陀螺与非陀螺系统动力学行为上的重要区别.

本文以脉动流输流管为例, 从模态的角度研究了陀螺连续体的非线性参数振动响应问题.应用不变流形法构造了系统的非线性模态, 并利用一种数值迭代法获得了模态系数解. 文中得到的重要结论如下：

(1) 通过数值算例证明本文迭代法具有快速收敛性, 同时证明选取对应自治系统的模态系数为迭代初值是合理有效的.

(2) 尽管两个广义坐标的频域响应曲线都表现出硬特性, 但二者的量值和走势有明显的不同.尤其是第二广义坐标的模态运动呈现出明显的非线性特性.

(3) 由于非线性的影响, 系统的不变流形不再保持平面.第二广义坐标的不变流形呈波浪形, 而其对应速度的不变流形则为翘曲面.

(4) 在时域复模态分析中发现两个广义坐标间存在正交相位差, 导致参激陀螺系统出现非同步振动, 即行波振动现象.