在驻止裂纹条件下, 如图3所示试件, 载荷\(P\)与位移\(u\)的关系可以写成以下形式\[u = P \cdot f\left( a \right) \ \ (1)\]式中, \(P\)为在位移\(u\)上做功的载荷, \(f(a)\)为含裂纹体的柔度, 是关于裂纹尺寸的函数.参照图3建立有限元模型, 根据不同的裂纹尺寸\(a\)计算相应的柔度, 建立试件柔度函数\(f(a)\), 此函数可用幂函数多项式拟合为\[f\left( a \right) = f_0 + \sum_{n = 1}^N {A_n } \left( {\dfrac{a}{S}} \right)^n (2)\] 式中, \(f_{0}\)为无裂纹时的试件柔度.

能量释放率\(G\)的物理意义如图4所示, 含裂纹体的应变能W为\[W = \int {P d u} = f\left( a \right)\int {P d P} = \dfrac{1}{2}P^2f\left( a \right) \ \ (3)\]由式(3)可得能量释放率, 即裂纹扩展动力\(G\)为\[G = \dfrac{1}{B}\dfrac{\partial W}{\partial a} = \dfrac{1}{B}\mathop {\lim }\limits_{\Delta a \to 0}\dfrac{\Delta W}{\Delta a} \ \ (4)\]式中, \(B\)为试件厚度, 于是有\[G = \dfrac{1}{{2}B}P^2{f}'\left( a \right) \ \ (5)\]

实验表明, 在裂纹开始扩展后, 要使裂纹继续扩展, 需要继续提高\(G\), 否则裂纹就会停止扩展.恰好能促使裂纹继续扩展所需的能量释放率\(G\)称为 裂纹扩展阻抗能量释放率\(G_{\rm R}\), 图5所示曲线即裂纹扩展阻抗能量释放率曲线.

图4

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	图4 能量释放率的物理含义

图5

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	图5 裂纹扩展阻抗能量释放率曲线

裂纹扩展阻力\(G_{\rm R}\)取决于如式(6)所示的微分方程^[5]\[\dfrac{ d a}{d t} = \alpha G_{\rm R}^{m - 1} \dfrac{d G_{\rm R} }{d t} \ \ (6)\]其中\(m\), \(\alpha \)均为与材料有关的常数, 可认为是已知的. 对于准静态加载情况, 消去时间\(t\)可得到\[\dfrac{d a}{d G_{\rm R} } = \alpha G_{\rm R}^{m - 1} \ \ (7)\]对式(7)积分可得到\[a - a_0 = \dfrac{\alpha }{m}\left( {G_{\rm R}^m - G_{\rm C}^m } \right) \ \ (8)\]即\[G_{\rm R} = \left[ {G_{\rm C}^m + \dfrac{m}{\alpha }\left( {a - a_0 } \right)} \right]^{\tfrac{1}{m}}\ \ (9)\]令\(\eta = \dfrac{m}{\alpha }\dfrac{1}{G_{\rm C}^m }\), 则式(8)变为\[G_{\rm R} = G_{\rm C} \left[ {1 + \eta \left( {a - a_0 } \right)} \right]^{\tfrac{1}{m}} \ \ (10)\]于是, 裂纹扩展条件为\(G = G_{\rm R} \), 将式(5)和式(8)代入式(10), 且令\(P = P_{\rm R}\), 可得\[P_{\rm R}= \sqrt {\dfrac{2G_{\rm C} \left[ {1 + \eta \left( {a - a_0 } \right)} \right]^{\tfrac{1}{m}} B}{{f}'\left( a \right)}} = F\left( a \right) \ \ (11)\] \(P_{\rm R}\)称为裂纹扩展阻力, 与裂纹尺寸\(a\)的关系如图6所示.

图6

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	图6 裂纹扩展阻力曲线

由图6可知, 对于含裂纹体的最大承载能力\(P_{\rm R, \max}\), 有\(\dfrac{d P_{\rm R} }{d a} = 0\), 对式(11)求导可以得到对应的临界裂纹尺寸为

\[a_{\rm c} = \dfrac{1}{m}\dfrac{{f}'\left( a \right)}{{f}''\left( a \right)} - \dfrac{1}{\eta } + a_0 \ \ (12)\]而且结构的最大承载能力为\[P_{\rm R, \max } = P_{\rm R, C} = \sqrt { \left[ {\dfrac{ {1}}{\alpha }\dfrac{{f}'\left( {a_{\rm c} } \right)}{{f}''\left( {a_{\rm c}} \right)}} \right]^{\tfrac{1}{m}} \cdot \dfrac{ {2}B}{{f}'\left( {a_{\rm c} } \right)}} = F\left( {a_{\rm c} } \right) \ \ (13) \]

考虑到加载过程中往往不能完全保证外加载荷P在裂纹扩展时完全不变, 所以将上述实验方法进行一般性扩展, 而一般性的载荷-位移曲线如图7所示.

图7

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	图7 实际加载过程中的P-u曲线

裂纹扩展微段出现\(\Delta a\)的增量时, 沿载荷作用方向的位移\(u\)产生增量\(d u\), 由两部分组成\[d u = d u_{\rm P} + d u_{\rm a} = \left. {\dfrac{\partial u}{\partial P}} \right|_{a = \rm const} d P +\left. {\dfrac{\partial u}{\partial a}} \right|_{P =\rm const} d a \ \ (14)\]由式(1)可得到\[ d u_{\rm P} = \left. {\dfrac{\partial u}{\partial P}} \right|_{a =\rm const} d P = f\left( a \right)d P \\ d u_{\rm a} = \left. {\dfrac{\partial u}{\partial a}} \right|_{P = \rm const} d a = P{f}'\left(a \right)d a = \\ \qquad P{f}'\left( a \right)\dfrac{d a}{d P}d P = P{f}'\left( a \right)\dfrac{1}{{P}'_{\rm R} \left( a \right)} d P \] 其中, \({P}'_{\rm R} \left( a \right) = \dfrac{ d P_{\rm R} }{d a}\), 可参照式(13)求得. 将上两式代入式(14)后有\[d u = \left[ {f\left( a \right) + P{f}'\left( a \right)\dfrac{1}{{P}'_{\rm R} \left( a \right)}} \right] d P \ \ (15)\]式中, \(f(a)\)与\(f '(a)\)仍取决于式(2).

将式(15)代回式(3)计算外力功, 可得到

\[W = \int {Pd u} = f\left( a \right)\int {Pd P + {f}'\left( a \right)} \int {\dfrac{1}{{P}'_{\rm R} \left( a \right)}P d P}\ \ (16) \]

\[G = \dfrac{1}{B}\dfrac{\partial W}{\partial a} = \dfrac{1}{2B}P^2{f}'\left( a \right) + \dfrac{{f}''\left( a \right){P}'_{\rm R} \left( a \right) - {P}''_{\rm R} \left( a \right){f}'\left( a \right)}{\left[ {{P}'_{\rm R} \left( a \right)} \right]^2}\dfrac{P^2}{2B}\ \ (17)\]

将实际载荷位移曲线(需实验测得)代入式(17), 即可计算出对应的能量释放率以及裂纹扩展阻力等参数.

本文中所提出的界面断裂实验分析方法具有以下特点：

(1)考虑到界面断裂问题中多型裂纹混合, 舍弃应力强度因子而以更加简洁普适的能量释放率为研究对象, 基于清晰而严谨的理论推导建立本文实验测量方法;

(2)对于已知尺寸的试件, 可先利用有限元拟合其柔度曲线, 在不同裂纹长度情况下, 可对裂纹扩展进行理论评估, 为结构设计提供理论指导和参考;

(3)本实验方法可以利用任意一组发生扩展的裂纹长度以及对应的载荷和相应的位移, 得到该裂纹长度下试件的能量释放率, 并且可以确定待测试件的裂纹扩展阻力曲线, 根据阻力曲线也可以预测整个构件的最大承载.