引用本文
尤明庆. 牵引斜碰撞的过程分析及应用. 力学实践, 2018,40(1): 111-115  
Doi: 10.6052/1000-0879-17-033
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牵引斜碰撞的过程分析及应用
尤明庆
河南理工大学能源科学与工程学院,河南焦作 454010
收稿日期: 2017-01-24
摘要

与中学物理不同,力学问题需要具体确认相关原理的适用条件.物体因绳索作用而速度急剧变化的牵引碰撞,受到速度方向、绳子变形以及地面摩擦等多种因素的影响,可能作直线、圆周或抛体运动,且可以追上牵引者.不过,汽车牵拉石头从静止起动似难以砸到后窗,相关视频的解释需要在绳索拉力之外寻找引起竖直速度的外力.

关键词: 牵引碰撞; 斜碰撞; 绳索张力; 恢复系数
中图分类号:O313 文献标志码:A

物体与物体短时间相互作用引起物体速度急剧变化的现象称为碰撞; 若物体以不可伸长的绳索相连, 则称为牵引碰撞[11-2], 而速度不沿着绳索方向则是斜碰撞, 如动图《汽车自拉石头砸后窗》[3]. 相关讨论可以展示力学与中学物理的不同视野, 因而略作演绎.

1 牵引斜碰撞

绳子拴着沙包以速度\(V\)、半径\(H\) 在光滑水平面上做圆周运动; 绳子突然增长到\(L\)后, 沙包将沿切线飞出, 在距离\(OA\)达到\(L\)时产生碰撞(图1).若是完全非弹性碰撞, 则沙包沿绳方向的速度即径向速度消失, 而以切向速度\(VH / L\)再作圆周运动.这与绳子突然缩短时基于动量矩守恒得到的结果类似.

图1 牵引碰撞与动量矩守恒

普通绳子略有弹性恢复, 沙包可能做短暂直线运动\({AB}\)再产生第二次碰撞(图1).但切向速度的存在需要绳子拉伸变形以提供向心力或者说以平衡离心力, 碰撞不会持续下去.更为明确地说, 绳内弹性变形能不会全部转换为沙包反向运动的动能. 这是与牵引正碰撞不同的地方.

碰撞恢复系数有多种定义及测定方法\(^{[1, 4]}\).基于所讨论问题可将布带、塑料绳、尼龙绳或松紧带的一端系在高处, 另一端拴重物自由落下; 结果表明, 松紧带所拴重物回弹高度为下落高度的25{\%}, 其余都不足15{\%}, 即恢复系数\(e\)小于0.4.作为参考, 木球相撞及钢球相撞的\(e\)值分别为0.50和0.56[1]. 在角度 \(\theta \)不是很小时, 考虑到绳子内存在的拉伸变形能, 可假设碰撞后沙包不再具有径向速度.

若长\(L\)的绳子系在高\(H\)处, 质量为\(m\)的沙包在地面上运动, 其拉紧绳子的瞬间速度为\(V\).因牵引碰撞时间较短, 重力和摩 擦力的作用较小, 沙包以速度\(V\sin\theta = VH /L\)飞起, 方向与绳索垂直, 即做圆周运动. 其后沙包速度因重力作用而减小, 若在\(C\)点离心力等于重力的径向分力(图1), 即速度\(v\)满足

\[mv^2 / L = mg\sin \beta \ \ (1)\]

则绳索对石块拉力为零; 此后石块作抛体运动. 若沙包在时刻\(t\) 正好通过绳索拴扣点\(O\), 有

\[L\cos \beta = (v\sin \beta )t \ \ (2)\]

\[ - L\sin \beta = (v\cos \beta )t - gt^2 / 2 \ \ (3)\]

解得

\[v^2 = gL\sin \beta \ \ (4)\]

\[\sin \beta = \sqrt {3} / {3} \ \ (5)\]

基于能量守恒, 有

\[\dfrac{1}{2}m(V\sin \theta )^2 = \dfrac{1}{2}mv^2 + mg(H + L\sin \beta ) \ \ (6)\]

可得石块通过绳索拴扣点\(O\)所需要的速度

\[V^2 = 2gH \Big(\dfrac{L}{H} \Big)^2\Big(1 + \dfrac{\sqrt 3 }{2}\dfrac{L}{H} \Big) \ \ (7)\]

以圆周运动通过最高点\(D\)所需速度则为

\[V^2 = 2gH\Big(\dfrac{L}{H}\Big)^2\Big(1 + \dfrac{3}{2}\dfrac{L}{H}\Big) \ \ (8)\]

上述结果可试验确证. 将绳子一端抓在手中或系扣在椅背, 用脚向前踢出另一端的沙包. 若\(L=1.5 \) m和\( H=1\) m, 在\(V=10.1\) m/s时沙包可砸到系绳处; 而在\(V=12.0\) m/s 时沙包则可作完整的圆周运动而飞到人的背后.人脚完全可以踢出这样的速度------足球的出脚速度可达到 30 m/s[5].

若将前述绳子突然系到速度 36 km/h 向左行驶汽车的后视镜上, 沙包也能飞起砸到后视镜.汽车匀速运动, 可在与汽车固结的坐标 系来讨论.这等价于汽车不动, 沙包以速度\(V\)向右无摩擦运动, 与图1讨论的问题等价.

沙包在运动坐标系和地面静止坐标系的运动轨迹不同. 就沙包离地瞬间的速度而言, 在运动坐标系中垂直于绳索的速度\(V\sin \theta \)保持不变, 而沿绳索速度反向为 \(\eta V\cos\theta \), 系数\(\eta\)满足\(0 \leqslant \eta < e< 1\); 在地面静止坐标系则需要叠加水平向左的速度\(V\), 因而沙包在垂直于绳索的速度为0, 只有沿绳索方向的速度\((1+\eta)V\cos \theta \)--沙包原处于静止状态, 其速度方向必然与绳索提供的冲量相同.就此而言, 沙包在静止地面坐标系的运动轨迹全部位于离地瞬间绳子所在直线的下方.

2 牵引斜碰撞的过程分析

以上讨论可以看作中学物理的习题, 实际情况当然复杂. 设地面摩擦因子为\(\mu =\tan \varphi \); 绳子不能承压且受拉刚度为\(K\), 质量不计; 其余参数同前. 人脚踢出沙包, \(t=0\)时绳子正好拉直, 沙包具有向右的速度\(V\), 而受到向左的摩擦力 (图2).

图2 沙包离地过程的分析

2.1 离地条件

沙包在地面向右的位移\(S\), 绳内张力为\(F\), 有

\[m\dfrac{d ^2S}{d t^2} = - \mu (mg - F\sin \theta ) - F\cos \theta \ \ (9)\]

通常绳子总是有一定的刚度, 因而\(S\)远小于绳子在水平方向投影\(L\cos \theta \), 可认为角度\(\theta \)不变而绳的伸长量近似为\(S\cos \theta \), 可确定张力

\[F = KS\cos \theta \ \ (10)\]

若\(\theta \)只是略小于90\(^\circ\), 则式(10)不能成立, 但此种情形沙包容易离地, 不必考虑. 将式(10)代入式(9)积分可得沙包 沿地面向右的速度\(u\)

\[V^2 - u^2 = 2\mu gS + \dfrac{K}{m}\cos \theta (\cos \theta - \mu \sin \theta )S^2 \ \ (11)\]

在\(F\sin \theta = mg\)时沙包离开地面, 相应的速度

\[u^2 = V^2 - \lambda g^2\dfrac{m}{K}\dfrac{1}{\sin ^2\theta } \ \ (12)\]

式中

\[\lambda = \dfrac{\cos (\theta - \varphi )}{\cos \theta \cos \varphi } \ \ (13)\]

表示摩擦影响, 对于光滑地面, 其达到下限1. 显然, 若

\[V\sin \theta < V^\ast = g\sqrt {\lambda m / K} \ \ (14)\]

沙包则不能离地. 这可利用刚度较小的松紧带或橡皮筋试验确认. 在此情形, 沙包达到地面最大位移\(S^{\ast}\)即\(u=0\)时地面对沙包的摩擦力将转为向右, 若其大于绳子拉力的水平分力, 即

\[\mu (mg - KS^ * \sin \theta ) > KS^\ast \cos \theta \ \ (15)\]

则停止不动; 否则将在地面上反向运动, 停止位置由系统参数决定. 如果摩擦因子较小, 沙包完全可以运动至\(O\)点左侧, 乃至多次 振动往复. 当然, 绳子具有显著的松弛特性, 内力会随时间变化; 此处只是解释试验现象的简化分析.

若沙包静止于地面而绳索在\(O\)点受汽车牵引向左运动, 那么在汽车坐标系中, 地面与沙包一起向右运动; 在绳子拉直、沙包运动受阻后, 地面将对沙包作用向右的摩擦力, 沙包相对于地面向左滑动, 即沙包向右的速度减小.利用式(9)分析时摩擦因子应设定为负值.就摩擦力的作用而言, 脚踢出沙包与汽车牵引沙包并不完全等价; 不过, 通常绳索变形较小, 碰撞的时间也较短, 摩擦作用并不显著, 也就不再具体分析和比较.

2.2 飞起方式

普通绳子长1 m时刚度在10\(^{4}\) N/m 量级, 即悬挂 10 kg物体时伸长 1 cm 左右; 沙包质量在 1 kg量级, 式(14)确定的\(V ^{\ast }\)在0.1 m/s 量级; 因而只要速度\(V\)和角度\(\theta\)不是过小, 沙包总能离地, 且离地时速度\(u\)与\(V\)差别不大; 沿绳子方向的 分量\(u\cos \theta\)使其伸长, 而垂直方向的分量\(u\sin \theta \)使沙包作圆周运动.

绳子离地时已被拉伸, 故达到最大伸长的时间小于弹簧-质量系统的1/4周期; 绳子刚度在10\(^{4}\) N/m、沙包质量在1 kg的量级, 则相应时间在0.015 s 左右, 或在0.03 s之内, 重力对此时沙包位置的影响不必考虑.

为简单起见, 忽略前述离地过程, 沙包动能引起的绳内最大张力\(F\)满足

\[\dfrac{F^2}{2K} = \dfrac{1}{2}\zeta _1 m(V\cos \theta )^2 \ \ (16)\]

式中\(\zeta _{1}\)表示动能转换为弹性势能的折减系数. 张力与离心力的比值为

\[\delta = \dfrac{\sqrt {\zeta _1 Km} V\cos \theta }{m(V\sin \theta )^2 / L} = \sqrt {\dfrac{\zeta _1 K}{m}}\dfrac{L}{V}\dfrac{\cos \theta }{\sin ^2\theta } \ \ (17)\]

显然, 角度 \(\theta \) 较大时沙包沿绳子方向的速度\(V\cos\theta \)产生的张力较小, 满足\(\delta \leqslant1\), 离地初期, 沙 包将切向牵引而增加张力以平衡离心力; 因绳子伸长并不显著, 可认为沙包以圆周运动方式飞起.

绳内最大张力大于离心力时, 绳子会回弹, 沙包获得径向速度.当然, 绳子回弹时其弹性势能也不能全部转换为沙包的动能, 若转换系数为\(\zeta_{2}\), 则有

\[\zeta _1 \zeta _2 = e^2 \ \ (18)\]

即前述试验中绳子所拴重物回弹高度与下落高度的比值, 其小于0.15, 因而大致可认为式(18)中3个参数都是0.4或更低.此外, 绳子也具有质量, 因而沙包沿绳子方向的回弹速度将远小于初始速度\(V\cos \theta \).

绳子拉力消失之前的时间大致是弹簧-质量系统的1/2 周期, 约0.03 s左右, 其间沙包作圆周运动.若切向速度达到 5 m/s, 则大致垂直向上运动 15 cm后再向左上方斜抛. 若沙包速度较大, 则会受到绳子制约产生第二次牵引碰撞而作圆周运动; 若速度较小, 则因重力作用 而以抛物线路径落地.

与荡秋千、飞石系绳[6, 7]类似, 沙包因绳子张拉和收缩作径向运动时, 切向速度也将产生相应变化; 不过, 运动距离较小, 相关影响似可不作考虑.

3 车拉石头砸车否

Youtube 上22 s视频[8] 的主体被转换为4.8 s 的gif 图, 以car-rock为题贴到wanna-joke.com等众多网页[3], 也曾有多人在科学网博客讨论[9]：汽车后面高\(H\)约40 cm处固定长\(L\)约2.0 m的绳索, 其末端拴系石头或树根(图3); 汽车从静止起动牵拉石头飞起而砸到后窗.若依前述完全非弹性碰撞即式(7)计算, 石块砸到拴绳处车速需达到V =32.3 m/s=116.4 km/h.不过, 汽车从起动到拉飞石头的运行距离不足1 m, 难以达到这样的速度. 相关现象需另作解释.

从原始视频[8] 间隔0.1 s分帧出图, 第20帧汽车开始向前, 24帧绳子绷紧、25帧石头离地、36帧砸破后窗(图3).其间汽车运行总距离在4 m之内, 即平均速度大约 2.5 m/s. 第24 \(\sim\)26帧0.2 s的拍摄位置和角度没有明显变动：汽车运行距离约0.5m, 车速约2.5 m/s; 从绳子角度和车行距离估计, 石头水平运动距离1\(\sim \)1.5 m, 飞起的高度在1.5\(\sim\)2 m, 因时间可能略小于0.2 s, 估计水平速度6\(\sim \)8 m/s、竖直速度8\(\sim \)10 m/s.考虑到空气阻力和绳子的影响, 石头能够在1.2 s内水平运动5.5\(\sim \)6 m砸到高约 1.2 m的后窗.

需要研究的是, 石头如何获得竖直向上的离地速度.具有抗弯能力的钢丝绳在沿轴向快速收缩时可能产生类似于压杆失稳的横向摆动, 但通常也不会向上.当然, 增加石头离地前的阻力可使绳子储存较多弹性势能, 从而提高起飞速度; 但从地面观察(图3), 石头运动轨迹应在起飞瞬间绳子所在直线下方, 而其实际起飞角度远大于绳子的初始角度, 相应的速度显然不是来自绳子提供的冲量.此外, 从 图3可见绳子所系石头的主体似仍在地上.或许, 第25、26帧图片中尘土源于爆炸物, 其使部分石块腾空向前, 而绳子拉力只是提供部分水平速度.

图3 车拉石头砸破窗[8]

网上还有车拉树椴砸到车顶的视频[10], 图4给出汽车启动向前瞬间及树椴起飞的截图.显然, 因起动距离较短汽车的速度不会很高, 而近乎水平的绳索不能使树椴从静止状态加速产生竖直向上的速度.仔细察看视频, 似乎树椴因下方爆炸 而腾空\linebreak (图4右). 或许, 此类视频仅是精心设计的笑话.

博文[9]假设"理想绳(无机械能损耗)"而认为"拉住石头的绳等价于挡住皮球的墙, 从汽车的角度看, 石头以汽车的速度、两倍角度飞起追击"------离地后即作抛体运动, 绳子就没有任何作用.这不仅过于理想而与实际情况差异较大, 且与所讨论问题不能自洽：抛物线在初始速度即切线的下方, 该切线在系绳处的高度为(\(L\cos \theta )\tan 2 \theta =83.5\) cm, 低于汽车后备箱约110 cm的顶高(图3); 因而若以两倍角度飞起, 则不管石头速度多快都不能"砸倒后窗".文献[9]及其后续博文只是列出公式, 并没有给出具体的计算结果以及前述假设的适用条件.

图4 车拉树椴的飞起过程[10]

4 结语

物体如沙包的运动受绳索阻止或受到绳索突然牵引可视作碰撞, 影响参数众多而运动状态复杂, 需要具体讨论.沙包动能转换为绳子弹性势能所产生的张力, 若其竖直分量小于沙包重力则沙包不能离地, 否则可离地做圆周运动或抛体运动.

普通绳子的碰撞恢复系数较低, 且绳子拉伸变形以平衡切向速度引起的离心力, 假设牵引碰撞为完全非弹性而沙包以圆周运动方式离地, 与真实情形大致相符.牵引斜碰撞时, 若速度较高物体可以圆周运动或斜抛运动追上前面的牵引者; 不过, 汽车牵拉树椴或石头从静止起动运行1 m距离, 难以达到飞砸后窗所需速度, 应寻找其他外力 解释相关视频.

致谢：写作中得到多位朋友 的建议和帮助, 谨致以衷心的感谢.

The authors have declared that no competing interests exist.

参考文献
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[3] http://wanna-joke.com/moving-a-rock-with-a-rope-and-your-car/ [本文引用:2]
[4] 李逸良, 邱信明, 张雄. 恢复系数的不同定义及其适用性分析. 力学与实践, 2015, 37(6): 773-777 [本文引用:1]
[5] 冯敏, 从曙光, 郑百林. 不同运动条件下足球气动力及流场分析. 力学与实践, 2015, 37(4): 518-522 [本文引用:1]
[6] 尤明庆. 关于荡秋千力学原理的一个注记. 力学与实践, 2010, 32(3): 136 [本文引用:1]
[7] 尤明庆. 飞石系绳的力学分析. 力学与实践, 2011, 33(5): 93-94 [本文引用:1]
[8] https://youtube/EVtAoBU3rgk [本文引用:2]
[9] 岳东晓. 石头砸到汽车的物理与数学. http://blog.sciencenet.cn/blog-684007-984728.html [本文引用:2]
[10] https://www.youtube.com/watch?v=XrLfHdgF8zU [本文引用:1]