摘要: 不久前，王振东给朱照宣写信说道："我那本《诗情画意谈力学》在出版时，曾对'无量纲数'一事与出版社有过讨论。""我指出：某页某行，将'无量纲化'、'无量纲的'错为'量纲一化'、'量纲一的'。这已经是概念性错误了。"回函称："根据现在的'物理量和单位'的标准，凡是'无量纲'的说法现在都改为'量纲为1'这种说法了，就是说无量纲的量并不是没有量纲，而是它的量纲是单位1。这是现在法制推行的国家标准，遇到时必须要改。"朱照宣先生收到信以后，很快就转给了我，并要我为《力学与实践》写篇短文，把量纲和单位等几个基本术语和概念说说清楚。我查了上面提到的国家标准，其中的确清楚地说明了，把没有量纲的量的量纲说成是1的来由；并提出了"量纲一"的说法，且指出： 的缩写"ppm不是量纲一的单位的专门名称"。后面一句话既绕嘴又含混。 是个纯数，既没有任何属性，更谈不上是单位，所以标准中的这种说法确实是"概念性错误"。这里先简单回溯一下历史，大家公认傅立叶（J. Fourier）是量纲和量纲分析的开创者。他在1822年出版的"Theorie Analytique de la Chaleur（热的分析理论）"一书中，首次提出下述量纲齐次性的观点。他说："每一个待定的量或常量具有属于它自己的量纲，而且同一个方程中的各项是不能比较的，如果它们的量纲的幂次是不相同的话。"他又说："（这一齐次性的观点）源自对对量的原始诠释；因此，在几何学和力学中，这等价于希腊人未作证明留给我们的基础（公理）。"下面要从量纲的定义说起。量纲最简明的定义是量的属性，在物理中就是一个物理量的属性。讨论一个物理问题或工程问题，必然涉及到多个物理量，首先应该明确每个物理量的属性，只有在这个基础上，才能进一步分析问题，分析问题中各量之间的关系。最简单的分析乃是比较量的大小。要注意，只有具有同样属性的量才能比较大小，而一个量自己是无所谓大小的。长度量只能和长度量比，长度量不能和面积量（长度量的平方）比；长度量和时间量也是不能比较的。在做比较的情况下，就引入了"单位"这个概念。在比较量纲相同的两个量 和 的大小时，可以把其中任意一个量作为单位，记作U。那么就有两种可能，即：（1）取 作单位来度量 ，那么U就是 ，则有 ，其中， 乃是 与单位 相比的倍数，是个纯数。（2）取 作单位来度量 ，那么U就是 ，则有 ，其中， 乃是 与单位 相比的倍数，也是个纯数。显然， 与 互为倒数。可以看出，倍数 与 都是纯数，而纯数是没有物理属性的。如果我们讨论数学问题，那么大家知道数学是关于数和形的科学。这里的数均无任何属性，而这里的形，则是指几何形状，涉及长度、面积、体积诸量，它们的属性依次是长度、长度的平方以及长度的立方。我们规定将一个量X的量纲用方括号来表示，即X。讨论一个长方体，它有长 、宽 和高 ；它有六个表面，上下、左右和前后三对表面积分别是 、 和 ；它的体积是 。谈到这些量的量纲，可以看出，长、宽和高都是长度量，其属性均为长度，或者说，它们的量纲就是长度，并用英文字Length的第一个大写字母L来表示，即可记为 。根据面积和体积的定义，显然表面积的量纲是长度的乘积，即长度的平方，而体积的量纲则是长度的立方，即可分别记为 ， 以及 。显然，长、宽、高和表面积以及体积之间，是不能互相比较的，它们的量纲虽然都和长度有关，但是相应的幂次是不相同的。讨论一个运动学的问题，涉及到位移量 和时间量 ，以及速度量 和加速度量 等。这类问题与几何学问题相比，多了一类时间量，其属性是时间，并用英文字Time的第一个字母T来表示，可记时间量的量纲为 。按照速度和加速度的定义，速度量 和加速度量 的量纲可记为 。讨论一个动力学的问题，涉及到加速度的原因，於是牛顿总结出著名的牛顿第二定律，即 。这一定律引入了力f和质量m这两个物理量。如果将它们的量纲分别记为 ，其中，F和M分别是英文字Force和Mass的第一个字母，那么F和M这两个量纲不是相互独立的。根据牛顿第二定律，它们可以相互表示，利用加速度a的量纲是 ，可以分别表示为 。在物理和工程问题中，免不了涉及一些纯数，包括刚才讲的倍数，还有用弧度表示的角度量（实际上角度是用弧长和半径的比值来定义的），还有自然数、实数、复数以及一些通用的常数e和 等等。这些纯数都没有任何属性或没有量纲，为了区别于其他有属性或有量纲的量，那么在力学中怎么用符号来记它们的量纲呢？既然它们的属性与力学中最基本的量纲均无关系，便借用数学的语言，也按前面所用的幂次表示的方式，记为 ，等等。意思是说，e和 等纯数的量纲与长度、质量和时间均无关系，干脆继续借用数学的语言，即任何一个幂次为零的数就是1，将没有任何属性的量的量纲记为1，例如 ，等等。并且把这些纯数称之为没有量纲的量，简称为无量纲量。但是，这里要注意，将纯数的量纲记为1不等于说纯数的属性是1，不能说它的量纲是一。纯数没有属性，也可以说，纯数没有量纲，是无量纲的量。至于说到的"无量纲化"，乃指：将一个包含有量纲的多个物理量之间的函数关系，转化为物理实质相同但是由无量纲量组成的函数关系。这是分析问题中极为本质的一步。这里就不详细说了。综上所述，量纲乃是一个量的属性，没有任何属性的纯数被称为无量纲量，或简单地把它的量纲记为1。至于量纲和单位，它们完全是两个不同的概念，决不能说什么" 量纲是单位1"，量纲只是属性，论属性就谈不上单位。至于上面引述的我们的"国家标准"，看来谈不上"标准"。我们不知道这样的国家标准是怎么出台的；又怎么能让民众来贯彻实施呢！